2023年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（新课标Ⅱ卷）-教师用卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（新课标Ⅱ卷）

一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.  在复平面内，对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查复数的乘法运算和复数在复平面内的几何意义，为基础题．

【解答】

解：，对应点的坐标为，位于第一象限，选  

2.  设集合，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查集合的包含关系，为基础题．

【解答】

解：，则，，，，满足，选  

3.  某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有和名学生，则不同的抽样结果共有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查比例分配的分层随机抽样方法的应用，考查组合数公式的应用，为基础题．

【解答】

解：结合题意初中部和高中部所占的比例为，抽取初中部人，高中部人，故不同的抽样结果为 种，故选 

4.  若为偶函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的奇偶性求解函数的解析式，为基础题．

【解答】

解：为偶函数，，，，故选  

5.  已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若面积是面积的倍，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查直线与椭圆的位置关系，分别求出两焦点到直线的距离，建立关系求解，为中档题．

【解答】

解：到的距离，到距离，，，

，或，又直线与椭圆相交，

消可得，，，

，选  

6.  已知函数在区间单调递增，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．

由题意，对恒成立，构造函数，利用其单调性，即可求解．

【解答】

解：由题意，对恒成立，

，由于在单调递减，

，

故答案选：

7.  已知为锐角，，则(    )

A.   B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查倍角公式，属于基础题．

观察题干，发现未知角为已知角的一半，考虑倍角公式，即可得证．

【解答】

解：  

故选：．

8.  记为等比数列的前项和，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的基本性质，属于中档题．

利用等比数列前项和之间差的关系可知，，，成等比数列，列出关系式计算即可得解．

【解答】

解：，，，成等比数列，

从而计算可得

故选．

二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

9.  已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，点在底面圆周上，且二面角为，则(    )

A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为
C.  D. 的面积为

【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查求圆锥的体积与侧面积，及圆锥中的其他量，属于基础题．

，选项，通过解，求出圆锥的高与底面直径，从而求出体积与侧面积；，选项，利用为二面角的平面角，解三角形求出的长，进一步求出的面积．

【解答】

解：对于：在中，，则，，

故圆锥的体积，故 A正确；

对于：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为，弧长为，

故圆锥的侧面积为，故 B错误；

对于：取中点，连接，则，

则为二面角的平面角，即，

在中，，故，

在中，，故，故 C正确；

对于：，故 D正确．

故选AC．

10.  设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则(    )

A.  B.
C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形

【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与抛物线位置关系的综合应用，属于中档题．

利用直线过抛物线焦点，得出抛物线方程，再结合抛物线性质，可逐项判断．

【解答】

解：因为过抛物线的焦点，则焦点，，选项正确；

抛物线，的倾斜角，，选项错误；

以为直径的圆一定与准线相切，选项正确；

联立，解得，设，

，，，

所以不是等腰三角形，选项错误；

故选：．

11.  若函数既有极大值也有极小值，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查函数的极值问题，属中档题．
通过求导，问题可转化成有两个不相等的正根，通过根的分布可判断选项．

【解答】

解：因为，所以定义域为，

得，由题意知有两个不相等的正解

则，易得．

故选

12.  在信道内传输，信号，信号的传输相互独立发送时，收到的概率为，收到的概率为发送时，收到的概率为，收到的概率为考虑两种传输方案：单次传输和三次传输单次传输是指每个信号只发送次三次传输是指每个信号重复发送次收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码例如，若依次收到，，，则译码为．

A. 采用单次传输方案，若依次发送，，，则依次收到，，的概率为
B. 采用三次传输方案，若发送，则依次收到，，的概率为
C. 采用三次传输方案，若发送，则译码为的概率为
D. 当时，若发送，则采用三次传输方案译码为的概率大于采用单次传输方案译码为的概率

【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率乘法原理，属于综合题．

根据题设的信号传递的概率值利用相互独立事件的概率乘法原理分别计算每种情况的概率即可求解．

【解答】

解：根据相互独立事件的概率乘法原理知：采用单次传输方案，若依次发送，，，则依次收到，，的概率为，故A对．

根据相互独立事件的概率乘法原理知三次传输方案，若发送，则依次收到，，的概率为为，故B对．

采用三次传输方案，若发送，译码为则收到的情况有种，

个个

个

故概率为，故错

三次传输方案译码为的概率：

单次传输方案译码为的概率：，作差

，即，故D对．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，满足，，则          

【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量模及向量数量积的运算，属于基础题．

将两等式分别平方，然后化简计算即可．

【解答】

解：将原式平方：

化简可得：

即，故．

14.  底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为的正四棱锥，所得棱台的体积为          

【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查棱台的体积，属于基础题．

根据题意正四棱锥被截后剩余部分为正四棱台，直接计算即可求解．

【解答】

解：由题意可得四棱台的高为，上底面面积为，下底面面积为，

故正四棱台的体积．

所得棱台的体积为．

15.  已知直线与交于、两点，写出满足“面积为”的的一个值          

【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．

设圆心到直线的距离为，根据面积为，求得的值，再根据点到直线的距离公式建立方程，即可求出的值．

【解答】

解：由题知的圆心为，半径为，

设圆心到直线的距离为，则，

于是，，得或，

若取，则，此时有，解得，

若取，则，此时有，解得，

故答案为：答案不唯一 

16.  已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则          ．
 

【答案】 

【解析】

【分析】

主要考查了函数的性质与图象，诱导公式等，属于一般题．

根据的长度求出函数图象过点，求诱导公式得到答案．

【解答】

解： 设相邻的两个交点，的横坐标为，，则

又，

，，，故

函数图象过点，，故．
时满足图片条件，故．
．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.  记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．

若，求；

若，求，．

【答案】解：，为的中点，

，即，解得，则．

过点作于点，则在中，，，

在中，，．

在中，，

，

，即，

又，，

，

，，．

再将代入，即可解得．

【解析】本题考查了解三角形的综合应用，属于中等题．

结合三角形面积和中点关系进行求解；

观察题目所给条件，结合中线的向量表示和三角形面积进行求解．

18.  已知为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，．

求的通项公式；

证明：当时，．

【答案】解：设数列的公差为，

由题意知：，即，解得．

．

由知，．

当为偶数时，

．

当为奇数时，，

当为偶数且时，即时，

，

当为奇数且时，即时，

．

当时，．

【解析】本题考查了等差数列的通项公式、前项和公式等．

由已知，，根据等差数列的前项和公式展开，即可得出等差数列的首项，公差，进而得出通项公式．

由知，可得，数列的通项公式，进而，分两情况讨论，当为偶数时，中含有偶数项，相邻两项两两一组先求和，得出当为奇数时，为偶数，此时最后只需证明即可．

19.  某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
 

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为假设数据在组内均匀分布以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．

当漏诊率时，求临界值和误诊率；

设函数当时，求的解析式，并求在区间的最小值．

【答案】解：因为

依据“患病者”的频率分布直方图得，

依据“未患病者”的频率分布直方图得．

当时，

当时，．

故．

所以在区间的最小值为：．

【解析】本题问考察了频率分布直方图频率的简单计算，问需结合分段函数解决概率统计的问题．

依据题意理解漏诊率即“患病者”的频率分布直方图中小于的各小矩形部分面积，观察到，故，即可求同理误诊率即“未患病者”的频率分布直方图中大于的各小矩形部分面积，即可求．

要求，观察到在区间，和区间小矩形高度不同，故分段考虑分别列式得时，，时，再利用函数的单调性得到在区间的最小值．

20.  如图三棱锥中，，，，为的中点．

证明：

点满足，求二面角的正弦值．

【答案】解：连接，，，，

又，，与均为等边三角形，

，，，平面，

设，，，，

，，又，，

平面，

如图建立空间直角坐标系，

，，，，

，

，，，

设平面与平面的一个法向量分别为，，

设二面角平面角为，

， 

【解析】本题考查了线面垂直的性质、二面角的求解，是中档题．

先判定线面垂直，再结合线面垂直的性质定理得结论；

建立空间直角坐标系，得出平面的法向量和平面的法向量，由空间向量求解可得结论．

21.  已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为

求的方程：

记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，

在第二象限，直线与交于点，证明：点在定直线上．

【答案】解：由题意可得，，

则，，

故的方程为

设直线，，，

由知，

则，

联立得：，

将代入得，

则，且，得

则有，；

代入式可得，

解得，

故点在定直线上 

【解析】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的离心率、双曲线的定直线问题，计算量较大，属于较难题．

根据题意得出，的值，即可求出结果；

先设出直线，，，，，可得到，，联立可得式再将将代入双曲线方程，由韦达定理可得，再结合式，即可得定直线即可证明点在定直线上．

22.  证明：当时，；

已知函数，若是的极大值点，求的取值范围．

【答案】证明：构造函数，

则，

令，

则，

所以在上单调递增，则，

所以在上单调递增，所以，即；

构造函数，则，

所以在上单调递增，则，即，

综上，当时，；

解：由，得函数的定义域为．

又，所以是偶函数，所以只需考虑区间．

，
令，则，
其中，
若，记时，易知存在，使得时，，在上递增，，
在上递增，这与是的极大值点矛盾，舍去．
若，记或时，存在，使得时，，在上递减，
注意到，当时，当时，，
满足是的极大值点，符合题意．
若，即时，由为偶函数，只需考虑的情形．
此时，时，
，在上递增，
这与是的极大值点矛盾，舍去．
综上：的取值范围为

【解析】本题考查利用导数证明不等式，利用导数研究函数的极值，属于压轴题．

构造函数，，利用导数研究函数的单调性，即可证明；

由题意知是上的偶函数，求导，利用极大值点的特征分类讨论，求得参数的取值范围．