2022-2023学年广东省广州重点中学九年级（下）月考数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省广州重点中学九年级（下）月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州重点中学九年级（下）月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的相反数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列图形是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则(    )
 A.
B.
C.
D. 4.  下列运算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  计算，结果是(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知正比例函数的图象上两点、，且，则下列不等式中恒成立的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，直径为的上经过点和点，是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为(    )

 A.  B.  C.  D. 8.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )A.  B. 且 C. 且 D. 9.  如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与交于点若，则的面积为(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，四边形、都是正方形，点在线段上，连接、，和相交于点，设，下列结论：≌；；；其中结论正确的个数是(    )
 
  
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  分解因式：______．12.  科学记数法： ______ ．13.  代数式有意义时，应满足的条件为______ ．14.  一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积是______ 结果保留．
 15.  在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为          ．
16.  如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若方程的两根为，，且，则其中一定正确的是______填序号
 
三、计算题（本大题共2小题，共8.0分）17.  计算：．18.  先化简，再求值：，其中． 四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
某校初三班名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：自选项目人数频率立定跳远三级蛙跳一分钟跳绳投掷实心球推铅球合计求，的值；
若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；
在选报“推铅球”的学生中，有名男生，名女生，为了了解学生的训练效果，从这名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中有一名女生的概率．20.  本小题分
如图，为了测出某塔的高度，在塔前的平地上选择一点，用测角仪测得塔顶的仰角为，在、之间选择一点、、三点在同一直线上用测角仪测得塔顶的仰角为，且间的距离为．
求点到的距离；
求塔高结果用根号表示．
21.  本小题分
如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为．
求反比例函数的解析式；
若点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，延长交直线于点，求的面积．
22.  本小题分
在年春季环境整治活动中，红旗社区计划对面积为的区域进行绿化经投标由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天．
求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
设甲工程队施工天，乙工程队施工天，刚好完成绿化任务已知甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元，且甲乙两队施工的总天数不超过天，请问应该如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？最低费用是多少？23.  本小题分
如图，在中，是它的角平分线，，在边上，以为直径的半圆经过点，交于点．
求证：是的切线；
已知，的半径为，求图中阴影部分的面积．
24.  本小题分
在中，，，是上一点，连接．
如图，若，是延长线上一点，与垂直，求证：．
过点作，为垂足，连接并延长交于点．
如图，若，求证：．
如图，若是的中点，直接写出的值．用含的式子表示

 25.  本小题分
如图，抛物线的顶点坐标为，并且经过，点是抛物线上点，间的一个动点含端点，过点作直线的垂线，垂足为点，点，的坐标分别为，，连接，，．

求抛物线的解析式；
猜想并探究：对于任意一点，与的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；
求：当的周长最小时的点坐标；使的面积为整数的点的个数．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．依据相反数的定义解答即可．
【解答】解：的相反数是．
故选A．  2.【答案】 【解析】解：将、、、四个选项中图形旋转后，和原图形重合的只有中图形．
故选D．
将四个选项中图形形旋转后，与原图形对比即可得出结论．
本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数的定义．
在直角中利用正切的定义即可求解．
【解答】
解：在直角中，，
．
故选D．  4.【答案】 【解析】解：、，此选项错误；
B、，此选项正确；
C、，选项错误；
D、，此选项错误；
故选：．
根据合并同类项法则、同底数幂的除法、分式的加法及积的乘方与幂的乘方逐一计算可得．
本题主要考查整式和分式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的除法、分式的加法及积的乘方与幂的乘方．
 5.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了约分，关键是正确把分子分解因式．
首先利用平方差公式分解分子，再约去分子分母中得公因式．
【解答】
解：，
故选：．  6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查正比例函数的增减性．
根据，正比例函数的函数值随的增大而减小解答．
【解答】
解：直线的，
函数值随的增大而减小，
，
，
．
故选：．  7.【答案】 【解析】解：如图，连接并延长交与点，连接，

同弧所对的圆周角相等，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
即的余弦值为．
故选：．
首先根据圆周角定理，判断出；然后根据是的直径，判断出，在中，用的长度除以的长度，求出的余弦值为多少，进而判断出的余弦值为多少即可．
此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
此题还考查了锐角三角函数值的求法，要熟练掌握．
 8.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
根据一元二次方程有实数根，可得，求出的取值范围即可，注意二次项系数不能为．
本题主要考查根的判别式，熟知一元二次方程的根与根的判别式的关系是解题关键．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 9.【答案】 【解析】解：连接，
，轴，
，
解得，由勾股定理，得，
由菱形的性质，可知，
，
与同底等高，
．
故选：．
连接，已知，轴，根据求，根据勾股定理求，根据菱形的性质，求解．
本题考查了反比例函数的综合运用．关键是求菱形的边长，讲所求三角形的面积进行转化．
 10.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质．
由四边形和四边形是正方形，根据正方形的性质，即可得，，，则可根据证得≌；然后延长交于点，根据全等三角形的对应角相等，求得，则可得由与相似即可判定错误，由与相似即可求得．
【解答】
解：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
故正确；

延长交于点，
≌，
，
又，
，
，
；
．
故正确；

四边形是正方形，
，
，
是错误的．
故错误；

，
，
，
∽，
，
．
故正确，

故选：．  11.【答案】 【解析】解：原式
．
故答案为：
本题首先提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为，其中是关键．
 13.【答案】且 【解析】解：由题意得，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解的取值范围．
本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：由三视图得几何体为圆锥，圆锥的高为，圆锥底面圆的半径为，
所以圆锥的母线长，
所以圆锥的表面积．
故答案为．
根据三视图得到几何体为圆锥，圆锥的高为，圆锥底面圆的半径为，则根据勾股定理可计算出母线长，然后计算侧面积和底面积的和即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
 15.【答案】 【解析】在中，，，
，即为直角三角形，．
又于，于，
四边形是矩形．
，时，最短，同样也最短．
当时，，即．
当最短时，．
根据已知得当时，最短，同样也最短，从而不难根据面积相等求得其值．
解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短．
 16.【答案】 【解析】解：由图象可知：，，，
，
，
故错误；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
故正确；
二次函数的图象过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另外一个交点坐标为，

若方程，
即方程的两根为，，
则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
，
，
故正确；
故答案为：．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】本题考查的是绝对值，特殊三角函数值，零指数幂，负指数幂有关知识，首先对该式进行变形，然后再进行计算即可．
 18.【答案】解：原式，
当时，原式． 【解析】先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．再把的值代入求值．
主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的顺序，正确解题．
 19.【答案】解：根据题意得：；
；

作出扇形统计图，如图所示：

根据题意得：；

男生编号为、、，女生编号为、，
由枚举法可得：、、、、、、、、、共种，其中为女女组合，
抽取的两名学生中至多有一名女生的概率为：． 【解析】此题考查了用列举法求概率，扇形统计图，频数分布表，弄清题意是解本题的关键．
根据表格求出与的值即可；
根据表示做出扇形统计图，求出“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数即可；
列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两名学生中至多有一名女生的情况，即可求出所求概率．
 20.【答案】解：过点作于点，
，，
，，
即点到的距离为；

在中，
，
，
，
，
，
则，
在中，，
．
答：塔高为． 【解析】过点作于点，然后根据，，可求得点到的距离；
先求出的度数，然后求出的长度，然后根据即可求出的高度．
本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 21.【答案】解：将点的坐标代入，可得：，
将点代入反比例函数，可得：，
故反比例函数解析式为：．

将点的纵坐标，代入反比例函数关系式可得：，
将点的横坐标代入直线解析式可得：，
故可得，，
故可得． 【解析】将点的坐标代入直线解析式求出的值，再将点的坐标代入反比例函数解析式可求出的值，继而得出反比例函数关系式；
将点的纵坐标代入反比例函数解析式可求出点的横坐标，将点的横坐标和点的横坐标相等，将点的横坐标代入直线解析式可求出点的纵坐标，将点的坐标转换为线段的长度后，即可计算的面积．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答本题的关键是确定点的坐标，要求同学们能结合图象及直角坐标系，将点的坐标转化为线段的长度．
 22.【答案】解：设乙队每天能完成绿化面积为，则甲队每天能完成绿化面积为，根据题意得：
，
解得，
经检验，为原方程的解，且符合题意，
则甲队每天能完成绿化面积为，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别为、；
由得，
整理：，
由已知，
，
解得，
总费用，
，
随的增大而增大，
当时，，
甲队施工天，乙队施工天，最低费用为万元． 【解析】设出两队的每天绿化的面积，以两队工作时间为等量构造分式方程；
以为基础表示甲乙两队分别工作天、天的工作总量，工作总量和为；用甲乙两队施工的总天数不超过天确定自变量取值范围，用表示总施工费用，根据一次函数增减性求得最低费用．
本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
 23.【答案】解：连接，

                                       
是的角平分线


                                             

                                      
是的切线；
                              
连接．
，                               
的半径为，，
，，
，
，，
．
，，
是正三角形．
，，
．
．
                      
． 【解析】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．
连接根据得到，然后再根据是的角平分线得到，从而判定，最后根据得到证得结论是的切线．
连接，利用求解即可．
 24.【答案】证明：如图中，延长交于点．

，
，
，
，，
，
，
，，
≌，
．

证明：如图中，作交的延长线于．

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
．

解：如图中，作交的延长线于，作于不妨设，则．

则，，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
． 【解析】如图中，延长交于点想办法证明≌即可．
如图中，作交的延长线于利用全等三角形的性质证明，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
如图中，作交的延长线于，作于不妨设，则想办法求出，用表示，即可解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
 25.【答案】解：设抛物线的解析式为．
经过点，
，解得．
抛物线的解析式为：．
与的差是定值．
理由如下：设，则，
，
，．
．
当点运动时，大小不变，则与的和最小时，的周长最小，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，此时点，的横坐标都为，
将代入，得，
，此时的周长最小．
如图所示：过点做轴，垂足为．

设
，，
．
点是抛物线上点，间的一个动点含端点，
，
当时，取最大值为当时，取最小值为即，其中，当时，有两个点．
共有个令为整数的点． 【解析】设抛物线的解析式为将点的坐标代入求得的值，从而得到抛物线的解析式；
设，则，依据两点间的距离公式求得的长用含的式子表示，然后由点和点的坐标可求得的长用含的式子表示，于是可求得与的差；
由可知，故此三角形的周长，由两点之间线段最短可知当、、三点共线时，的周长最小，从而可求得点的坐标；如图所示：过点做轴，垂足为设，依据列出阴影部分面积与的函数关系，然后依据的取值范围可求得面积的取值范围，从而可确定出点的个数．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的函数值的范围、不规则图形的面积计算，列出的面积与的函数关系式是解题的关键．