2023年安徽省芜湖市南陵县桃园中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年安徽省芜湖市南陵县桃园中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “学习强国”平台上线的某天，全国约有人在平台上学习，将这个数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图(    )

A.
B.
C.
D.

5.  将一副三角尺按如图摆放，点在上，点在的延长线上，，，，，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  电影我和我的祖国一上映，第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若增长率记作，方程可以列为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，是的内接三角形，，的半径为，若点是上的一点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  “五一”劳动节期间，某快餐店统计了月日至月日每天的用水量单位：吨，并绘制成如图所示的折线统计图．下列结论正确的是(    )

A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是

9.  二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有种不同剪法，那么长的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  若点在第四象限，则的取值范围是______．

12.  已知反比例函数的图象经过点，则______．

13.  如图，是边长为的等边三角形，是的中点，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接则在点的运动过程中，的最小值是______．

14.  已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点的坐标为．
画出将关于轴对称的图形，并写出的坐标．
在网格内画出以为位似中心，将按相似比：放大，得到，并写出的坐标．

17.  本小题分
甲仓库和乙仓库共存粮吨，现从甲仓库运出存量的，从乙仓库运出存粮的，结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多吨．求甲、乙仓库原来各存粮多少吨？

18.  本小题分
将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：，，，，，

按照以上规律，解决下列问题：
第个图中有______个黑色圆点；第个图中有______个黑色圆点；
第______个图中有个黑色圆点．

19.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
求证：是的切线；
若直径，，求的长．

20.  本小题分
如图，数学兴趣小组成员在热气球上看到正面为横跨河流两岸的大桥，并测得，两点的角分别为和，已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为米，又知此时地面气温为，海拔每升高米，气温会下降约，试求此时热气球体积忽略不计附近的温度．参考数据：，，
 

21.  本小题分
新角度概率、几何结合如图，线段和相交于点，连接，四张纸牌除正面分别写着如图所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．

若小明第一次抽到纸牌后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明≌成立的概率是______ ；
若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明≌成立的概率，先补全图中的树状图，再计算．

22.  本小题分
如图，四边形是正方形，点在射线上，点在射线上，且，连结，点为线段中点．
【感知】如图，当点在线段上时，
易证：≌不需要证明进而得到与的数量关系是______．
过点作于点，于点，易证：≌不需要证明进而得到与的位置关系是______．
【探究】如图，当点在线段上点不与点、重合时，试写出与的数量关系和位置关系，并说明理由．
【应用】如图，当点在线段的延长线上时，直接写出当，时线段的长．

 

23.  本小题分
如图，小明和小亮分别站在平地上的、两地先后竖直向上抛小球、抛出前两小球在同一水平面上，小球到达最高点后会自由竖直下落到地面、两球到地面的距离和与小球离开小明手掌后运动的时间之间的函数图象分别是图中的抛物线、已知抛物线经过点，顶点是，抛物线经过和两点，两抛物线的开口大小相同．
分别求出、与之间的函数表达式．
在小球离开小亮手掌到小球落到地面的过程中．
当的值为______ 时，两小球到地面的距离相等；
当为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据积的乘方运算、合并同类项法则、整式的加减运算、乘除运算法则即可求出答案．
本题考查积的乘方运算、合并同类项法则、整式的加减运算、乘除运算法则，属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：的俯视图为．
故选：．
俯视图即从上往下看，直接选择即可．
此题考查三视图，掌握空间想象能力是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
根据三角形的内角和定理，得，，根据可得，根据三角形的外角性质得，进而可得答案．
【解答】
解：，，
．
，，
．
，
，
，
．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
第一天为，根据增长率为得出第二天为，第三天为，根据三天累计为，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接、，连接交于，
由圆周角定理得，，
，
，，
的半径为，
，
，
．
故选：．
连接、，连接交于，根据圆周角定理得到，根据正弦的概念计算即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、解直角三角形的知识是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由折线图知：日用水吨，二日用水吨，三日用水吨，四日用水吨，日用水吨，
数据、、、、的平均数是，
中位数是，
由于各数据都出现了一次，故其众数为、、、、．
方差是
．
综上只有选项D正确．
故选：．
由折线图得到相关五天的用水数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
本题考查了折线图、平均数、中位数、众数及方差等知识，读折线图得到用水量数据是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：观察二次函数图象可得出：，，，
，
反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限．
故选：．
根据二次函数的图象可得出、、，由此即可得出反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限，再结合四个选项即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象得出、、是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，过作交于或交于，则∽或∽，
此时；

如图所示，过作交于，则∽，
此时；

如图所示，过作交于，则∽，
此时，∽，
当点与点重合时，，即，
，，
此时，；

综上所述，长的取值范围是．
故选：．
分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长的取值范围．
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
 

11.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，
则，
故答案为：．
根据第四象限内点的坐标符号特点列出关于的不等式，解之可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
．
故答案为：．
坐标代入函数关系式即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．
取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理“”证明≌，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解．
【解答】
解：取线段的中点，连接，如图所示．
为等边三角形，且为的对称轴，
，，
，
．
在和中，
，
≌，
．
当时，最小，
点为的中点，
此时．
故答案为．  

14.【答案】或 

【解析】解：抛物线可知对称轴为直线，
当时，有，
解得：；
当时，有，
解得：．
综上所述：或．
故答案为：或．
求得对称轴，然后分及两种情况考虑：当时，结合函数图形以及已知条件可得出关于的不等式组，解不等式组即可得出的取值范围；当时，利用二次函数的性质结合总有成立，即可得出关于的不等式组，解之即可得出的取值范围．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是分两种情况找出关于的不等式组．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】先分别化简二次根式、负整数指数幂、余弦、零指数幂、化简绝对值，然后进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的性质、负整数指数幂、余弦、零指数幂、化简绝对值等知识．解题的关键在于正确的运算．
 

16.【答案】解：如图所示：．

如图所示：．
 

【解析】根据关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
延长到使，延长到使，从而得到，再写出的坐标．
本题考查了作图位似变换，掌握位似图形的画法是解题的关键．
 

17.【答案】解：设甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨，
根据题意得：，
解得：．
答：甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨． 

【解析】设甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨，根据“甲仓库和乙仓库共存粮吨，现从甲仓库运出存量的，从乙仓库运出存粮的，结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：第一个图形的数量是，可以表示为；第二个图形的数量是，可以表示为；第三个图形的数量是，可以表示为；第四个图形的数量是，可以表示为，根据此规律可以得到第个图形的圆圈数量为，
第个图中有个黑色圆点；第个图中有个黑色圆点；
故答案为：；；
设第个图中有个黑色圆点，可得：，
解得：，
故答案为：．
图形问题，可以作差比较，发现第一个图形得两个得到第二个图形，第二个图形加三个得到第三个图形，第三个图形加四个得到第四个图形，以此类推，可找出规律．
此题考查图形的规律问题，图形问题可以通过作差发现规律，所以相邻两个的圆圈数量在逐渐增加，所以可以得出规律．
 

19.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切线；
解：，，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，，
又，
即，
解得取正值，
． 

【解析】根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得：：：：，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：过作，交延长线于点，如图所示：
则，，
在中，，
，
在中，，
，
由题意得：，
解得：，
此时地面气温为，海拔每升高米，气温会下降约，
此时热气球体积忽略不计附近的温度约为：，
答：此时热气球体积忽略不计附近的温度约为． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和锐角三角函数定义是解题的关键．
过作，交延长线于点，证是等腰直角三角形，则，再由锐角三角函数定义得，则，求出的长，即可解决问题．
 

21.【答案】 

【解析】解：，，
当抽中时，由能判断≌，符合题意；
当抽中时，由能判断≌，符合题意；
当抽中时，由不能判断≌，不符合题意；
共有三种等可能结果，其中能证明≌成立的情况有种
能证明≌概率是，
故答案为：；
补全树状图，如图，

，
当抽中，，不能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，不能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，不能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，不能判断≌；
共有个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明≌成立的结果有个，
摸出两张纸牌上的条件能证明≌成立的概率．
根据全等三角形的判定得到能证明≌成立的结果数，利用概率公式即可求解；
补全树状图，共有个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明≌成立的结果数，即可得求出概率．
本题考查的是全等三角形的判定以及用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
 

22.【答案】   

【解析】解：【感知】四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：；
过点作于点，于点，如图所示：
则，
四边形是正方形，
平分，，
四边形是矩形，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
，
故答案为：；
【探究】与的数量关系和位置关系为：，，理由如下：
设交于，如图所示：
四边形是正方形，
直线是正方形的对称轴，与是一对对应点，，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即，
四边形是正方形，
，
，
；
【应用】设交于，如图所示
四边形是正方形，
直线是正方形的对称轴，与是一对对应点，，，，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即，
四边形是正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
过点作于，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
【感知】证≌，得，再由，即可得出结论；
过点作于点，于点，证≌，得，再证，即可得出结论；
【探究】证≌，得，再证，然后由正方形的性质得，则，即可得出结论；
【应用】证≌，得，再证，然后证是等腰直角三角形，过点作于，则是等腰直角三角形，得，则，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：设与之间的函数表达式为．
顶点的坐标是，
，
因为点在抛物线上，
所以点的坐标满足，
即，解得，
，
两抛物线的开口大小相同，
设与之间的函数表达式为，
因为点和都在抛物线上，
所以点和的坐标满足，
即，解得，
；

；
令，则．
解方程得，不合题意，舍去，
在小球离开小亮手掌到小球落到地面这个过程中，．
当时，两球到地面的距离之差，
，
随的增大而减小．
当时，有最大值，最大值是，
当时，两球到地面的距离之差，
，
随的增大而增大．
当时，有最大值，最大值是，
．
当的值为时，两球到地面的距离之差最大，最大是． 

【解析】

【分析】
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的性质，分类求解和熟悉二次函数的图象和性质是本题解题的关键．
用待定系数法即可求解；
令，即可求解；
在小球离开小亮手掌到小球落到地面这个过程中，当时，两球到地面的距离之差，进而求解；当时，同理可得；当时，有最大值，最大值是，进而求解．
【解答】
见答案；
令，则，解得，
故答案为：；
见答案．