2023年湖北省恩施州利川市柏杨中学中考数学适应性试卷（含解析）

2023年湖北省恩施州利川市柏杨中学中考数学适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  华为最新款手机芯片“麒麟”是一种微型处理器，每秒可进行亿次运算，它工作秒可进行的运算次数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  设的整数部分为，小数部分为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如果点在第三象限内，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，当时，的取值范围是(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

10.  如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：
；；；，
正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  单项式的系数为______．

12.  若分式有意义，则的取值范围是______．

13.  有甲、乙两组数据，如表所示：

甲、乙两组数据的方差分别为，，则______填“”、“”或“”．

14.  点，在一次函数的图像上，当时，，则的取值范围是______．

15.  已知：如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为______．

16.  我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”如图就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．
有如下四个结论：
；
当，时，代数式的值是；
当代数式的值是时，一定是，；
的展开式中的各项系数之和为．
上述结论中，正确的有______写出序号即可．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得______；
Ⅱ解不等式，得______；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为______．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程要求必须选修一门且只能选修一门？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
共有______名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度；
补全调查结果条形统计图；
小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

 

20.  本小题分
如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为点，，，在同一平面内．
求，两点的高度差；
求居民楼的高度．
结果精确到，参考数据：

21.  本小题分
如图，在中，，以为直径作，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．
求证：；
若，，求及的长．

22.  本小题分
某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件．
求与之间的函数关系式．
若该商店销售这种消毒用品每天获得元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

23.  本小题分
如图，抛物线为常数且与轴交于点
求该抛物线的解析式；
若直线与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为，，当时，求的值；
当时，有最大值，求的值．

24.  本小题分
在矩形中，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点．

当矩形是正方形时，以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．
如图，若点在线段上，则线段与之间的数量关系是______，位置关系是______；
如图，若点在线段的延长线上，中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
如图，若点在线段上，以和为邻边作平行四边形，是中点，连接，，，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是倒数的定义，乘积是的两数互为倒数．
根据倒数的定义解答即可．
【解答】
解：的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：的值等于，
故选：．
根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿，
，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同．
本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键要正确确定的值以及的值．要注意：亿．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左边看，可得如下图形：

故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
又因为的整数部分为，小数部分为，
所以，，
所以，
故选：．
根据算术平方根得到，所以，于是可得到，，然后把与的值代入中计算即可．
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，解题的关键是利用算术平方根对无理数的大小进行估算．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
由是二元一次方程组的解，根据二元一次方程根的定义，可得，即可求得与的值，继而求得的算术平方根．
此题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义．此题难度不大，注意理解方程组的解的定义
【解答】
解：是二元一次方程组的解，
，
解得：，
，
的算术平方根为．
故选：．
．  

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
解得．
则不等式组的解集是．
故选：．
根据点在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得的范围．
本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

9.【答案】 

【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
，
由图象可知，当时，的取值范围是或，
故选：．
根据反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用函数的对称性求得点的坐标，以及数形结合思想的运用是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【解答】
解：由抛物线的开口向下可得：，
根据抛物线的对称轴在轴右边可得：，异号，所以，
根据抛物线与轴的交点在正半轴可得：，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，故正确；
直线是抛物线的对称轴，所以，可得，
由图象可知，当时，，即，
，
即，故正确；
由图象可知，当时，；当时，，
两式相加得，，故正确．
结论正确的有个．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：单项式的系数为．
故答案为：．
应用单项式的定义进行判定即可得出答案．
本题主要考查了单项式，熟练掌握单项式的定义进行求解是解决本题的关键．
 

12.【答案】且 

【解析】解：，，
且．
故答案为：且．
根据分式和二次根式有意义的条件即可得出答案．
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

14.【答案】 

【解析】解：当时，，
，
，
故答案为：．
根据一次函数的性质，建立不等式计算即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，延长到使，连接，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
．
，
，
即，
，
故答案为．
延长到使，连接，通过≌，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：；
当，时，代数式；
当代数式时，，不一定是，；
的展开式中的各项系数之和为，不是．
故答案是：．
根据杨辉三角的规律可得的展开式的系数规律可使问题求解．
本题主要考查数式规律问题，先分析杨辉三角的展开式的系数规律，然后用规律解决问题．
 

17.【答案】     

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】；；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：

把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 

【解析】解：参与了本次问卷调查的学生人数为：名，
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：，；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：

把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：过点作，交的延长线于点，

在中，，，
．
．
答：，两点的高度差为．
过点作于，
由题意可得，，
设，
在中，，
解得，
在中，，，
，
解得，
．
答：居民楼的高度约为． 

【解析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．
过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，，
；

解：连接．
，，
，
，
，
，，

是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】利用等角的余角相等证明即可；
连接解直角三角形求出，，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，证明∽，利用相似三角形的性质求出即可．
本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设每天的销售量件与每件售价元函数关系式为：，
由题意可知：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
，
解得：，舍去，
若该商店销售这种消毒用品每天获得元的利润，则每件消毒用品的售价为元；
，
，
，
，
，且为整数，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为．
答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
根据每件的销售利润每天的销售量，解一元二次方程即可；
利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系．
 

23.【答案】解：抛物线与轴交于点，
，
，
；
直线与抛物线有两个交点，
，
整理得，
，
，，
，
或，
的值为或；
函数的对称轴为直线，
当时，当时，有最大值，
，
解得，
，
当时，当时，有最大值，
，
，
综上所述，的值为或． 

【解析】将点代入抛物线求出即可求解析式；
由已知联立方程，由韦达定理可得，，则有，求出即可；
分两种情况：当时，当时，有最大值，，得，当时，当时，有最大值，，得．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用二元一次方程的根与系数的关系是解题的关键．
 

24.【答案】相等  垂直 

【解析】解：四边形为正方形，
，，即，
，
，
，又，，
≌，
，，
为等腰直角三角形，
，，而，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
故答案为：相等；垂直；
成立，理由是：
当点在线段的延长线上时，
同理可得：≌，
，，
为等腰直角三角形，
，，而，
，
四边形为平行四边形，
且，
，；
，
、、、四点共圆，
四边形是平行四边形，为中点，
也是中点，
是四边形外接圆圆心，
则的最小值为圆半径的最小值，
，，
设，则，
同可得：，
又，
∽，
，即，
，
，
设，
当时，取最小值，
的最小值为，
故G的最小值为．

证明≌，得到，，再证明四边形为平行四边形，从而可得结果；
根据中同样的证明方法求证即可；
说明、、、四点共圆，得出的最小值为圆半径的最小值，设，证明∽，得到，再利用勾股定理表示出，求出最值即可得到的最小值．
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键．