2023年江苏省淮安市清江浦区淮阴中学集团校中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省淮安市清江浦区淮阴中学集团校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列四个实数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列几何体的左视图和俯视图相同的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  数据、、、、、的众数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，菱形的对角线，的长分别为和，则这个菱形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  一次函数是常数，的图象，如图所示，则不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  若关于的方程没有实数根，则的值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  分解因式：______．

10.  年我国参加高考的考生人数预计约为，数据用科学记数法表示为______ ．

11.  正五边形每个内角的度数为______．

12.  方程的解为 ______ ．

13.  如图，的两个锐角顶点，在函数的图象上，轴，，若点的坐标为，则点的坐标为______．

14.  已知圆锥侧面展开图的半径为，圆心角为，则该圆锥的侧面积为______ 结果保留
 

15.  对于实数、，定义新运算“”：，如若，则实数的值是______ ．

16.  如图，在边长为的正方形中，点为正方形的中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为        ．

三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
计算：；
解不等式组：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
利用二元一次方程组解应用题：某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元；只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．

20.  本小题分
为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间单位：分钟按照完成时间分成五组：组“”，组“”，组“”，组“”，组“”将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
在扇形统计图中，组的圆心角是______度，本次调查数据的中位数落在______组内；
若该校有名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．

 

21.  本小题分
年月日，李克强总理称赞地摊经济、小店经济是人间的烟火，是中国的生机一时间，祖国大地上掀起了一股地摊经济的热潮根据城管部门统一规划，甲，乙两兄弟只能从，，，四个街道中各随机选取一个街道摆地摊．
“甲，乙两兄弟都到街道摆地摊”是______ 事件填“必然”，“不可能”或“随机”
试用画树状图或列表的方法求甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率．

22.  本小题分
夏季易暴发山洪，某些地方的学校易被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过时，可以确保山体不滑坡，某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知，斜坡长米，坡角，为确保安全，学校计划改造时保持坡脚不动，坡顶沿削进到点处，求至少是多少米？结果保留根号
 

23.  本小题分
请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹，不写画法．
如图，中，，点，分别在，边上，且，作出的角平分线；
如图，四边形中，，，为边上一点，在边上作一点，使．

24.  本小题分
如图，已知是的弦，为上一点，．
请判断是否为的切线，并证明你的结论；
若于点，，，求半径．

25.  本小题分
某网店专门销售某种品牌的笔筒，成本为元件，每天销售量件与销售单价元之间存在一次函数关系，如图，其中规定每天笔筒的销售量不低于件．
写出与之间的函数关系式______ ；
当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

26.  本小题分
我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？
【方法回顾】
证明：三角形中位线定理．
已知：如图，在中，、分别是、的中点．
求证：，．
证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成，下面是其中一种证法的添加辅助线方法，阅读并完成填空：
添加辅助线，如图，在中，过点作，与的延长线交于点可证≌ ______ ，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出四边形是______ ，根据图形性质可证得，．
【方法迁移】
如图，在四边形中，，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
【定理应用】
如图，在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点，直接写出的值用含的式子表示．

 

27.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，为抛物线上一动点．
写出抛物线的对称轴为直线______ ，抛物线的解析式为______ ；
如图，连结，若在上方，作轴交于，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值；
若在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点，，请探索以，，，是点关于轴的对称点为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
设为抛物线对称轴上一动点，当，运动时，在坐标轴上是否存在点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查实数的大小比较，数轴表示数，掌握实数大小比较的方法是解决问题的关键．将，，，在数轴上表示，根据数轴表示数的大小规律可得答案．
【解答】
解：将，，，在数轴上表示如图所示：

于是有，
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
利用幂的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A中的几何体的左视图和俯视图为：

选项B中的几何体的左视图和俯视图为：

选项C中的几何体的左视图和俯视图为：

选项D中的几何体的左视图和俯视图为：

因此左视图和俯视图相同的选项D中的几何体，
故选：．
分别画出各种几何体的左视图和俯视图，进而进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的画法是得出正确结论的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：出现的次数最多，所以众数是．
故选：．
根据众数的定义就可以求解．
主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
 

5.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据等边三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理计算出，然后根据平行线的性质得到的度数．
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于也考查了平行线的性质．熟知知识点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线，的长分别为和，
，这个菱形的面积，
故选：．
由菱形的面积等于对角线长乘积的一半，列式计算即可．
本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数的图象经过点，并且函数值随的增大而减小，
所以当时，函数值大于，即关于的不等式的解集是．
故选A．
从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零．
根据关于的方程没有实数根，判断出，求出的取值范围，再找出符合条件的的值．
【解答】
解：关于的方程没有实数根，
，
解得：，
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案是：．
根据观察可知公因式是，因此提出即可得出答案．
此题考查的是对公因式的提取．通过观察可以得出公因式，然后就可以解题．观察法是解此类题目常见的办法．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

11.【答案】 

【解析】解：方法一：，
；
方法二：，
，
所以，正五边形每个内角的度数为．
故答案为：．
方法一：先根据多边形的内角和公式求出内角和，然后除以即可；
方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．
本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先求外角的度数更简单一些．
 

12.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．根据点的坐标可以求得反比例函数的解析式和点的横坐标，进而求得点的坐标，本题得以解决．
【解答】
解：点在函数的图象上，
，得，
在中，轴，，
点的横坐标是，
，
点的坐标为，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面展开是扇形，母线是扇形的半径．
扇形面积．
故答案为：．
利用进行计算即可．
本题考查了圆锥的计算，利用了扇形的面积公式和圆的面积公式求解，解题的关键是能够牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
解得：．
故答案为：．
直接利用新定义得出方程，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数运算以及解一元二次方程，正确运用新定义得出方程是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

由题意知，，，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，
是中点，
，
，，
如图，过作于，过作于，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
在线段上运动，
如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接，
由题意知，，
，
，，三点共线时，值最小，
，
在中，由勾股定理得，，
的最小值为，
故答案为：．
如图，连接，，由题意知，，，，由，得，，证明≌，则，是等腰直角三角形，由是中点，则，，，如图，过作于，过作于，由，可知，，，四点共圆，由，可得，进而可得在线段上运动，如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接，由题意知，，且，可知当，，三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，，计算求解的值即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点的运动轨迹．
 

17.【答案】解：原式

；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】先化简二次根式、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只的进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只的进价为元，
依题意得：，
解得：．
答：“冰墩墩”毛绒玩具每只的进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只的进价为元． 

【解析】设“冰墩墩”毛绒玩具每只的进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只的进价为元，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】，
补全的条形统计图如图所示：











；；
人，
答：估计该校每天完成书面作业不超过分钟的学生有人． 

【解析】解：这次调查的样本容量是：，
组的人数为：人，
故答案为：；
在扇形统计图中，组的圆心角是：，
本次调查了个数据，第个数据和个数据都在组，
中位数落在组，
故答案为：；；
见答案．

根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以计算出组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】不可能 

【解析】解：“甲，乙两兄弟都到街道摆地摊”是不可能事件，故答案为：不可能；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，甲、乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果有个，
甲、乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率为．
由不可能事件的定义解答即可；
画树状图，共有个等可能的结果，甲、乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法以及随机事件，概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，

当时，有最小值，
由题意得：，，
在中，米，，
米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
至少是米． 

【解析】过点作，垂足为，当时，有最小值，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，即为所求；

如图，点即为所求． 

【解析】连接，解题点，作直线交于点，射线即为所求；
延长交的延长线于点，同法作出射线，连接交于点，作射线交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：为的切线，
理由：连接，并延长交于点，连接，

是的直径，
，
，
，，
，
，
，
为的切线；
，
，
，
，
点、、三点在同一条直线上，
在中，，，
，
，，
∽，
，
，
解得：，
半径为． 

【解析】连接，并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，最后可得，即可解答；
根据垂直定义可得，从而可得，进而可得点、、三点在同一条直线上，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用的结论证明∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：设与之间的函数关系式为，
，
解得，，
与之间的函数关系式为，
故答案为：；
设利润为元，
则，
，
时，，
当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元．
可用待定系数法来确定与之间的函数关系式；
根据利润销售量单件的利润，然后将中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，利用函数性质得出最值是解题关键
 

26.【答案】  平行四边形 

【解析】证明：如图，过点作，与的延长线交于点，
，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
点是的中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
故答案为：；平行四边形；
解：如图，过点作的平行线交的延长线于点，过作的垂线，垂足为，连接，
，
又，，
≌，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
解：如图，取的中点，连接，

点是的中点，点是的中点，
，，
，，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
∽，
，
设，，
，，
．
由“”可证≌，可得，，可证四边形是平行四边形，可得结论；
由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解；
由“”可证≌，可得，通过证明∽，可得，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用参数表示线段的长是解题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】解：由题意得，抛物线的表达式为：，
则，则，
故抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为，
故答案为：，；

由题意得，平移后的抛物线表达式为：，
由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立得：，
则，
则，
即的最大值为：；

面积不变，为，理由：
设点的坐标为，

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
即点，
同理可得，点，则点，
则，
则，
即以，，，是点关于轴的对称点为顶点的四边形面积不随着点的运动而发生变化，这个四边形的面积为；

存在，理由如下：
如下图，当点在轴上时，四边形是矩形，此时，；

如图，当四边形是矩形时，设，，则，

由题意，
消去得，，
解得，
综上所述，满足条件的点的横坐标为：，．
用待定系数法即可求解；
平移后的抛物线表达式为：由，即可求解；
求出点，点，则，即可求解；
当点在轴上时，四边形是矩形，此时，；当四边形是矩形时，设，，则，由题意，即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．