![21.2.3 因式分解法 人教版数学九年级上册课件01](http://img-preview.51jiaoxi.com/2/3/14413420/0/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
![21.2.3 因式分解法 人教版数学九年级上册课件02](http://img-preview.51jiaoxi.com/2/3/14413420/0/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
![21.2.3 因式分解法 人教版数学九年级上册课件03](http://img-preview.51jiaoxi.com/2/3/14413420/0/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
![21.2.3 因式分解法 人教版数学九年级上册课件04](http://img-preview.51jiaoxi.com/2/3/14413420/0/3.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
![21.2.3 因式分解法 人教版数学九年级上册课件05](http://img-preview.51jiaoxi.com/2/3/14413420/0/4.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
![21.2.3 因式分解法 人教版数学九年级上册课件06](http://img-preview.51jiaoxi.com/2/3/14413420/0/5.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794/sharpen,100)
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人教版21.2.3 因式分解法课堂教学ppt课件
展开引例:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛,那么物体经过 x s 离地面的高度 (单位:m)为 10x - 4.9x2. 根据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
分析:设物体经过 x s 落回地面,这时它离地面的高度为 0 m,即
10x - 4.9x2 = 0. ①
a = 4.9,b = -10,c = 0.
∴ Δ = b2-4ac = (-10)2 - 4×4.9×0 = 100.
公式法解方程10x - 4.9x2 = 0.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
4.9x2 - 10x = 0.
两个因式乘积为 0,说明什么?
或 10 - 4.9x = 0
降次,化为两个一次方程
解两个一次方程,得出原方程的根
这种解法是不是很简单?
10x - 4.9x2 = 0 ①
x(10 - 4.9x) = 0 ②
思考2 解方程①时,二次方程是如何降为一次的?
思考1 除上述方法以外,有更简单的方法解方程①吗?
使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式,再使这两个一次式分别等于 0,从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
一移——使方程的右边为 0;
二分——将方程的左边因式分解;
三化——将方程化为两个一元一次方程;
四解——写出方程的两个解.
简记歌诀:右化零,左分解;两因式,各求解.
试一试:下列各方程的根分别是多少?
(1) x(x - 2) = 0;
解:(1) x1 = 0,x2 = 2.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0;
(2) y1 = -2,y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0;
(3) x1 = -2,x2 = 2.
(4) x2 = x.
(4) x1 = 0,x2 = 1.
解:(1)因式分解,得
∴ x - 2 = 0,或 x+1 = 0.
解得 x1 = 2,x2 = -1.
(2) 移项、合并同类项,得
因式分解,得 (2x+1)(2x - 1) = 0.
∴ 2x+1 = 0,或 2x - 1 = 0.
(x - 2)(x+1) = 0.
练一练 解下列方程:
(1) (x + 1)2 = 5x + 5;
即 x1 = −1,x2 = 4.
(2) x2 − 6x + 9 = (5 − 2x)2.
解:∵ (x + 1)2 = 5(x + 1),
∴ (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0.
则 (x + 1)(x − 4) = 0.
∴ x + 1 = 0,或 x − 4 = 0,
解:方程整理得 (x − 3)2 − (5 − 2x)2 = 0,则
[(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]=0,
∴ 2 − x = 0,或 3x − 8 = 0,
即 (2 − x)(3x − 8) = 0.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (a,b 均为常数)
两个一次二项式相乘的积
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积,而且一次项系数 p 又恰好是 a + b,那么 x2 + px + q 就可以用如上的方法进行因式分解.
简记口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中.
试一试 解方程:x2 + 6x - 7 = 0.
解:因式分解得(x + 7)(x − 1) = 0.
∴ x + 7 = 0, 或 x − 1 = 0.
∴ x1= −7, x2 = 1.
(1) x2 −5x + 6 = 0;
解:分解因式,得(x − 2)(x − 3) = 0,
(2) x2 + 4x − 5 = 0;
解:分解因式,得(x + 5)(x − 1) = 0,
解得 x1 = 2,x2 = 3.
解得 x1 = −5,x2 = 1.
(3) (x + 3)(x − 1) = 5;
解:整理得 x2 + 2x − 8 = 0,
(4) 2x2 − 7x + 3 = 0.
解:分解因式,得(2x − 1)(x − 3) = 0,
解得 x1 = −4,x2 = 2.
分解因式,得(x + 4)(x − 2) = 0,
例2 用适当的方法解方程:(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5); (2) (5x + 1)2 = 1;
分析:该式左右两边含公因式,所以用因式分解法解答较快.解:变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0,或 x + 5 = 0. 解得
分析:方程一边以平方形式出现,另一边是常数,可用直接开平方法.解:开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0,x2 =
(3) x2 - 12x = 4; (4) 3x2 = 4x + 1.
分析:二次项系数为 1,可用配方法解较快.解:配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得 x1 = , x2 =
分析:二次项系数不为 1,且不能直接开平方,也不能直接分解因式,可用公式法.解:整理成一般形式,得 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵ Δ = b2 - 4ac = 28 > 0,
1. 一般地,当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0),应选用直接开平方法;2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0),应选用因式分解法;3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后,若一次项系数和常数项都不为 0,先看左边是否容易因式分解,若容易,宜选用因式分解法,否则就选用公式法或配方法:此时若二次项系数为 1,且一次项系数为偶数,则可选用配方法;否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法.
一元二次方程的解法选择基本思路
填一填:一元二次方程的各种解法及适用类型.
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0,n≥0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0,b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
1. 填空:① x2 - 3x + 1 = 0; ② 3x2 - 1 = 0; ③ -3t2 + t = 0;④ x2 - 4x = 2; ⑤ 2x2 = x; ⑥ 5(m + 2)2 = 8;⑦ 3y2 - y - 1 = 0; ⑧ 2x2 + 4x = 1; ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2).最适合运用直接开平方法: ;最适合运用因式分解法: ;最适合运用公式法: ;最适合运用配方法: .
2. 解方程:x2 - 3x - 10 = 18. 下面的解法正确吗?如果不正确,错误在哪?并请改正过来.
解:原方程化为 (x - 5)(x + 2) = 18. ①
由 x - 5 = 3,得 x = 8; ②
由 x + 2 = 6,得 x = 4. ③
∴ 原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4. ④
3. 解方程 x(x + 1) = 2 时,要先把方程化为 ;再选择适当的方法求解,解得 x1 = ,x2 = .
x2 + x - 2 = 0
解:原方程化为 x2 - 3x - 28 = 0, (x - 7)(x + 4) = 0, x1 = 7,x2 = -4.
x2 - 2x + 1 = 0.
(x - 1)2 = 0.
∴ x - 1 = 0.
解得 x1 = x2 = 1.
(2x + 11)( 2x - 11) = 0.
∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0.
(4) x2 + 4x − 2 = 2x + 3;
(3) 2x2 − 5x +1 = 0;
解:a = 2,b = −5,c = 1.
∴ Δ = (−5)2−4×2×1=17.
解:整理,得 x2 + 2x = 5,
∴ x2 + 2x + 1 = 5 + 1,即 (x + 1)2 = 6.
(5)(3m + 2)2 − 7(3m + 2) + 10 = 0.
解:方程整理得m2 - m = 0.
分解因式,得m(m - 1) = 0.
解得 m1 = 0,m2 = 1.
解:分解因式,得(3m + 2 - 2)(3m + 2 - 5) = 0.
∴ 3m + 2 - 2 = 0, 或 3m + 2 - 5 = 0,
5. 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为 r,
根据题意得 π(r + 5)2 = 2πr2.
答:小圆形场地的半径是
解得 (舍去).
(2) 一个三角形的两边长分别为 3 和 5,其第三边是方程 x2 − 13x + 40 = 0 的根,则此三角形的周长为_____;
(1) 已知三角形的两边长为 4 和 5,第三边的长是方程x2 − 5x + 6 = 0 的根,则此三角形的周长是_________;
(3) 已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程 x2 − 7x + 10 = 0 的两根,则该等腰三角形的周长是______.
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