初中数学人教版九年级上册21.2.1 配方法精练

21.2.1 配方法

一、单选题

1．用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（）

A． B． C． D．

2．将一元二次方程配方，其正确的结果是（）

A． B． C． D．

3．一元二次方程配方后可变形为（）

A． B． C． D．

4．一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得（    ）

A．（x＋3）2＝3 B．（x﹣3）2＝3 C．（x＋3）2＝12 D．（x﹣3）2＝12

5．方程的解是（  ）

A． B．2 C． D．

6．用配方法解方程：，开始出现错误的一步是（）

①，②，③，④．

A．① B．② C．③ D．④

7．若方程可通过配方写成的形式，则可配方成（）

A． B． C． D．

8．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

9．用配方法解方程一元二次方程时，配方结果正确的是（）

A． B． C． D．

10．如果一个一元二次方程的二次项是，经过配方整理得，那么它的一次项和常数项分别是（）

A．x， B． C． D．x，

11．已知（为任意实数），则的大小关系为（   ）

A． B． C． D．不能确定

12．已知为实数，且，则之间的大小关系是（）

A． B． C． D．

13．已知是方程的根，那么代数式的值是（）

A． B． C．或 D．或

二、填空题

14．已知方程可以配方成的形式，那么的值为________．

15．设A＝a+3，B＝a2﹣a+5，则A与B的大小关系是A_____B（填“＞，＝，＜”之一）

16．将代数式化成的形式，则_________．

17．把方程化为的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h，k为常数，那么本题中的值是_________．

三、解答题

18．用配方法求的最大值．

19．解一元二次方程：

20．已知：是不等式的最小整数解，请用配方法解关于的方程．

21．（1）已知，，求的值．

（2）已知，求的值；

（3）用配方法求代数式的最小值．

22．先阅读后解题：

若，求和的值．

解：等式可变形为：

即

因为，，

所以，

即，．

像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：

（1）已知，求的值；

（2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长是________；

（3）在实数范围内，请比较多项式与的大小，并说明理由．

23．阅读：我们知道一个分式有意义的条件是字母的取值使得分母不为零，所以分式中取值往往会受到限制，但分式中b却可以取任意实数，理由是b2+3≥3，所以不可能为0且分母的最小值为3，根据你的理解回答下列问题：

（1）多项式x2+2x﹣3有最大值还是最小值？如果有，请求出这个最值；

（2）已知关于x的多项式A＝4x2﹣3x+a2（a为常数）和多项式B＝3x2+5x﹣17，试比较A和B的大小，并说明理由；

（3）已知关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3（m为常数）的最大值为2，求x和m的值．

参考答案

1．C

【详解】

．

．

2．D

【分析】

两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．

【详解】

解：，

配方得：，即．

故选：D．

【点睛】

本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握其步骤是解答本题的关键．

3．A

【分析】

先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．

【详解】

解：，

∴，

∴，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．

4．D

【分析】

把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．

【详解】

解：x2﹣6x＝3，

方程两边加上9得：x2﹣6x＋9＝12，

写成平方得形式：（x﹣3）2＝12.

故选：D．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，配方法：将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

5．C

【分析】

由，可得再利用直接开平方法解方程可得答案．

【详解】

解：，

故选：

【点睛】

本题考查的是直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．

6．C

【详解】∵，∴．∴．∴．即．∴从用配方法的解题过程中可知，第③步开始出现错误．

7．D

【分析】

已知方程x2-8x+m=0可以配方成（x-n）2=6的形式，把x2-8x+m=0配方即可得到一个关于m的方程，求得m的值，再利用配方法即可确定x2+8x+m=5配方后的形式．

【详解】

解：∵x2-8x+m=0，

∴x2-8x=-m，

∴x2-8x+16=-m+16，

∴（x-4）2=-m+16，

依题意有n=4，-m+16=6，

∴n=4，m=10，

∴x2+8x+m=5是x2+8x+5=0，

∴x2+8x+16=-5+16，

∴（x+4）2=11，

即（x+n）2=11．

故选：D．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

8．D

【分析】

根据同底数幂的乘法，多项式除以单项式，配方法，分式的加减运算法则分别判断即可．

【详解】

解：A、，故选项错误；

B、，故选项错误；

C、，故选项错误；

D、，故选项正确；

故选D．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘法，多项式除以单项式，配方法，分式的加减运算，熟练掌握计算法则是解题的关键．

9．A

【分析】

根据用配方法解一元二次方程的方法和步骤解答即可．

【详解】

解：用配方法解方程：

a2-4a-1=0，

∴a2-4a+4=1+4，

∴（a-2）2=5，

故选：A．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握配方法．

10．C

【详解】

由题意得．∴．∴．∴．∴一次项为，常数项为．

11．B

【分析】

利用作差法比较即可．

【详解】

根据题意，得

＝，

∵

∴

∴，

故选B．

【点睛】

本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．

12．A

【分析】

先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案．

【详解】

，

，

，

，

，

，

又，

，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．

13．D

【分析】

先解方程，得出，再根据分式加减乘除的法则进行化简，再代入x即可

【详解】

解：由题意知，，解得

当时，原式

∴原式或．

故选D．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值以及解一元二次方程，熟练掌握法则是解题的关键

14．5

【详解】

∵，∴．∴．∴．∴．

15．＜

【分析】

通过作差法和配方法比较A与B的大小．

【详解】

解：∵A＝a+3，B＝a2﹣a+5，

∴B﹣A＝a2﹣a+5﹣a﹣3＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1

∵（a﹣1）2≥0．

∴（a﹣1）2+1＞0．

∴B＞A，即A＜B．

故答案是：＜．

【点睛】

考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式的加减，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．

16．

【分析】

利用配方法将转换成，得到和的值，即可算出结果．

【详解】

解：∵，

∴，，

∴．

故答案是：．

【点睛】

本题考查配方法，解题的关键是掌握配方的方法．

17．3

【分析】

首先把常数项移到等号右边，经配方，h和k即可求得，进而通过计算即可得到答案．

【详解】

根据题意，移项得，

配方得：，即，

∴，

∴

故答案是：3．

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法的性质，从而完成求解．

18．4

【分析】

将代数式前两项提取-3变形后，配方化为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式有最大值，求出即可．

【详解】

解：

=

=

=

∵，

∴，

∴的最大值为4．

【点睛】

本题考查了配方法的应用，难度不大，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

19．，

【分析】

运用配方法解一元二次方程即可得出答案．

【详解】

解：，

，

，

∴，．

【点睛】

本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解题的关键．

20．，

【分析】

先解不等式，结合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可

【详解】

解：∵；

∴；

∴；

∴；

∵是不等式的最小整数解，

∴；

∴关于的方程；

∴；

∴；

∴；

∴，．

【点睛】

本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键．

21．（1）；（2）；（3）代数式的最小值为2

【分析】

（1）由，可得、的值，由，然后代入求解即可；

（2）由等式的性质可把方程变形为，然后利用完全平方公式可进行求解；

（3）利用配方法可把代数式变形为，然后问题可求解．

【详解】

解：（1）∵，，

∴，，

∴；

（2）由可变形为：，

∴两边同时平方得：，

∴，

∴；

（3）根据配方法可得：

，

∵，

∴，

∴代数式的最小值为2．

【点睛】

本题主要考查完全平方公式、因式分解、二次根式的运算及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式、因式分解、二次根式的运算及配方法的应用是解题的关键．

22．（1）；（2）7；（3），理由见解析．

【分析】

（1）利用分组分解法进行配方即可解题；

（2）根据题意进行分组配方，解得，再利用三角形三边关系解得的值即可解题；

（3）利用作差法解题．

【详解】

解：（1）

因为，，

；

（2）

因为，，

、、都是正整数，

，

故答案为：7；

（3）

．

【点睛】

本题考查配方法，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

23．（1）有最小值，最小值是﹣4；（2）A＞B，见解析；（3）x的值为1，m的值为﹣．

【分析】

（1）原式配方后，利用非负数的性质确定出最值即可；

（2）利用作差法判断即可；

（3）先将关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3配方，再根据最大值为2，得出关于m的方程，解得m的值，然后可求得x的值．

【详解】

解：（1）∵x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，

∴多项式x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣4；

（2）∵A＝4x2﹣3x+a2，B＝3x2+5x﹣17，

∴A﹣B＝4x2﹣3x+a2﹣（3x2+5x﹣17）

＝x2﹣8x+a2+17

＝（x﹣4）2+a2+1，

∵（x﹣4）2≥0，a2+1≥1，

∴（x﹣4）2+a2+1≥1，

∴A＞B；

（3）﹣x2﹣4mx+4m+3

＝﹣（x2+4mx）+4m+3

＝﹣（x+2m）2+4m2+4m+3，

∵最大值为2，

∴4m2+4m+3＝2，

∴（2m+1）2＝0，

∴m1＝m2＝﹣，

∴x＝﹣2m＝1．

∴x的值为1，m的值为﹣．

【点睛】本题考查了配方法在最值问题以及多项式比较大小中的应用，熟练掌握配方法是解题的关键