第21章 一元二次方程 初中数学人教版九年级上册章末测试(含答案)

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第21章一元二次方程章末检测卷01本卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．一元二次方程化为的形式，正确的是（）A． B． C． D．以上都不对【答案】A【分析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可．【详解】解：∵2x2-3x+1=0，∴2x2-3x=-1，，，，∴一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式是：，故选：A．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2．用配方法解方程时，原方程应变形为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】常数项移到方程左边，两边都加上一次项系数一半的平方，最后再把左边写成完全平方式，右边化简即可．【详解】解：∵ x2-2x-5=0∴ x2-2x=5∴ x2-2x+1=5+1∴．故答案为：B．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程．其关键是化二次项系数为1，算准一项系数一半的平方及用准完全平方公式．当一项系数为负时，用完全平方差公式；当一项系数为正时，用完全平方和公式3．已知关于x的一元二次方程有实数根，若k为非负整数，则k等于（   ）A．0 B．1 C．0，1 D．2【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根可得：△≥0，从而得到关于k的一元一次不等式，求得k的范围，再由k为非负整数即可得出结果.【详解】∵a=k，b=﹣2，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×1=4﹣4k≥0，解得：k≤1．∵k是二次项系数不能为0，k≠0，即k≤1且k≠0．∵k为非负整数，∴k=1．故选B．【点睛】考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．4．方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（  ）A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝1【答案】D【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0，∴（x﹣5）（x﹣1）＝0，则x﹣5＝0或x﹣1＝0，解得x＝5或x＝1，故选：D．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（   ）A．a=c B．a=b C．b=c D．【答案】A【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根∴△=b2−4ac=0，又a+b+c=0，即b=−a−c，代入b2−4ac=0得(−a−c)2−4ac=0，即(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2=0，∴a=c故选：A【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系．6．下列方程中，一元二次方程共有（  ）①3x2+x＝20     ②2x2﹣3xy+4＝0     ③x3﹣x＝1      ④x2＝1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义逐一分析即可．【详解】解：一元二次方程有：3x2+x＝20，x2＝1，共2个，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程定义的三个条件是解题的关键：（1）只含有一个未知数；（2）未知数最高次数为2次；（3）是整式方程．7．已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法判断【答案】A【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断．【详解】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）．∵a，b，c分别是三角形的三边，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，∴△＜0，∴方程没有实数根．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2-4（a+b）（a+b）进行因式分解．8．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（  ）A．a＞﹣ B．a≥﹣ C．a≥﹣且a≠0 D．a＞且a≠0【答案】C【分析】在判断一元二次不等式组的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根的情况下必须满足△＝b2−4ac≥0．【详解】依题意列方程组，解得a≥−且a≠0．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．9．方程的根是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察原方程，可用公式法求解.【详解】解：∵，，，∴，∴；故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.10．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（    ）A．x2+65x-350=0 B．x2+130x-1400=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0【答案】A【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．【详解】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
即4000+260x+4x2=5400，
化简为：4x2+260x-1400=0，
即x2+65x-350=0．
故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．11．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）．A．x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B．x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C．2t2-7t-4=0化为 D．3y2-4y-2=0化为【答案】B【分析】根据配方法，对各个选项分别计算，即可得到答案．【详解】即∴选项A正确；即∴选项B不正确；即∴选项C正确；即∴选项D正确；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程配方法的性质，从而完成求解．12．我们知道方程x2＋2x-3＝0的解是x1＝1，x2＝-3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)-3＝0，它的解是()．A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝-3C．x1＝-1，x2＝3 D．x1＝-1，x2＝-3【答案】D【分析】将作为一个整体，根据题意，即可得到的值，再通过求解一元一次方程，即可得到答案．【详解】根据题意，得：或∴或故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．请写出一个解为的一元一次方程：______．【答案】x-2=0（答案不唯一）【分析】根据方程的解的定义，只要使x=2能使方程左右两边相等即可．【详解】解：写出一个解为x=2的一元一次方程是x-2=0．
故答案是：x-2=0（答案不唯一）．【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程的左右两边相等的未知数的值．14．若m，n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则mn的值为_____．【答案】-1【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案【详解】解：∵m，n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，∴mn＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握两根之积与系数的关系是解题的关键15．若是一元二次方程的两个根，则＝___________．【答案】3【分析】根据韦达定理可得，，将整理得到，代入即可．【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查韦达定理，掌握，是解题的关键．16．已知△ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根，则该三角形为_____三角形．【答案】直角或等腰【分析】先解方程，再根据三角形的三边关系定理求得第三边的范围，即可得出第三边，再根据勾股定理的逆定理得出该三角形的形状．【详解】解一元二次方程x2﹣9x+20=0，得：x=4或5，∵AB=3，AC=5，∴2＜BC＜7，∵第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根，∴BC=4或5，当BC=4时，AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形；当BC=5时，BC=AC，△ABC是等腰三角形；故答案为直角或等腰．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理，注意分类讨论思想的应用三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）如图，有一矩形空地，一边是长为20米的墙，另三边是由一根长34米的铁丝围成，且与墙平行的一边有一个1米宽的小门．已知矩形空地的面积是125平方米，求矩形空地的长和宽．【答案】12.5米和10米【分析】首先设垂直于墙的边长x米，平行于墙的边长为（34+1-2x）米，由题意得等量关系：长×宽=125，根据等量关系列出方程，再解即可．【详解】解：设垂直于墙的边长x米，平行于墙的边长为（34+1-2x）米． 依题意，得x（34+1-2x）=125，解得，，当时，，应舍去；当时，答：矩形空地长和宽分别为12.5米和10米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．18.（12分）竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式h=v0t-gt2，其中重力加速度g以10米/秒2计算.爆竹点燃后以初速度v0=20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？【答案】经过1秒或3秒时，爆竹离地15米.【解析】【分析】根据题意，可以将h=15代入题目中的关系式h=v0t-gt2，从而可以求得t的值．【详解】依题意得：当g=10,v0=20,h=15时20t-整理，得t2-4t+3=0解得t1=1,t2=3答:经过1秒或3秒时，爆竹离地15米.【点睛】考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会列一元二次方程19.（12分）解下列方程： (1)x2-49=0 (2)3x2-7x=0     (3)(2x-1)2=9(4)x2+3x-4=0     (5)(x+4)2=5(x+4) (6)x2+4x=2【答案】(1)±7；(2)0，；(3)2，-1；(4)-4，1；(5)-4，1 ；(6)-2±.【解析】【分析】（1）运用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；；（2）运用提公因式法分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）直接开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（5）先把方程整理成一般形式，再因式分解，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（6）移项后运用公式法即可得出方程的解；【详解】(1)x2-49=0 （x+7）(x-7)=0∴x1=7,x2=-7;(2)3x2-7x=0     x(3x-7)=0∴x1=0,x2=;(3)(2x-1)2=92x-1=2x-1=3或2x-1=-3∴x1=2,x2=-1;(4)x2+3x-4=0 (x+4)(x-1)=0∴ x1=-4,x2=1;(5)(x+4)2=5(x+4) x2+8x+16=5x+20x2+3x-4=0(x+4)(x-1)=0∴x1=-4,x2=1;(6)x2+4x=2x2+4x-2=0b2-4ac=16+8=24,∴x1=-2+,x2=-2－.【点睛】考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题时要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20.（12分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准各用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m；（2）不能，理由见解析．【分析】（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出结论；（2）不能，理由如下，设BC=ym，则AB=（33-3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-111＜0，即可得出结论．【详解】解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，依题意，得：x（33-3x）=90，解得：x1=6，x2=5．当x=6时，33-3x=15，符合题意，当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去．答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．（2）不能，理由如下：设BC=ym，则AB=（33-3y）m，依题意，得：y（33-3y）=100，整理，得：3y2-33y+100=0．∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0，∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键21.（12分）阅读下列材料，解答问题．．解：设，则，原方程可化为，，即．或，解得．请利用上述方法解方程：．【答案】x1=，x2=【分析】设m＝4x-5，n＝3x-2，则m-n＝（4x-5）-（3x-2）＝x-3，代入后求出mn＝0，即可得出（4x-5）（3x-2）＝0，求出即可．【详解】解：（4x-5）2+（3x-2）2＝（x-3）2，设m＝4x-5，n＝3x-2，则m-n＝（4x-5）-（3x-2）＝x-3，原方程化为：m2+n2＝（m-n）2，整理得：mn＝0，即（4x-5）（3x-2）＝0，∴4x-5＝0，3x-2＝0，∴x1=，x2=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成（4x-5）（3x-2）＝0是解此题的关键22.（12分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．【答案】（1）1秒或4秒；（2）不能，理由见解析【分析】（1）点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BQ和BP的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解．（2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．【详解】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4．则，整理，得t2﹣5t＋4＝0，解得＝1，＝4．答：如果P、Q两点同时出发，那么1秒或4秒后，△PBQ的面积等于4；（2）△PBQ的面积能不能等于7理由如下：设x秒后，△PBQ的面积等于4则，整理，得t2﹣5t＋7＝0，则△＝25﹣28＝﹣3＜0，所以该方程无解．∴△PBQ的面积不能等于7．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，判定所求的解是否符合题意，舍去不符合题意的解，找出等量关系是解题的关键