初中人教版21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系随堂练习题

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

一、单选题

1．若一元二次方程的两根是m，n，则下列说法正确的是（）

A． B．

C． D．

2．一元二次方程的两个根为，则的值为（）

A．2 B．6 C．8 D．14

3．一元二次方程的根的情况为（）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

4．已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是(   )

A． B．

C． D．

5．下列一元二次方程中，两根均为负数的是(   )

A． B．

C． D．

6．若，满足，，且，则的值为（）

A． B． C． D．

7．一元二次方程的两个根为，则的值是（）

A．10 B．9 C．8 D．7

8．是方程的两根，的值是（）

A．2017 B．2018 C．2019 D．2020

9．已知，且，，则（）

A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5

10．关于x的方程（a﹣1）x2+2ax+a﹣1＝0，下列说法正确的是（  ）

A．一定是一个一元二次方程

B．a＝﹣1时，方程的两根x1和x2满足x1+x2＝﹣1

C．a＝3时，方程的两根x1和x2满足x1•x2＝1

D．a＝1时，方程无实数根

11．已知，，，则方程的根的情况是（）.

A．有两个负根 B．两根异号且正根绝对值较大

C．有两个正根 D．两根异号且负根绝对值较大

12．若方程x2-kx+6=0的两个实数根分别比方程x2+kx+6=0的两个实数根大5,则k的值为(   )

A．2 B． C．5 D．-5

二、填空题

13．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是___．

14．若关于的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是________．

15．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的最大整数时，m的值为 _____．

16．若方程x2-3x-3=0两根为x1、x2，则x1·x2=_____.

17．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为_______．

18．如果关于的一元二次方程的两个根分别是与，那么的值为__________.

19．设方程的两根为，则______．

三、解答题

20．已知关于x的一元二次方程．

（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；

（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值．

21．已知关于x的一元二次方程．

（1）证明：无论k取任何实数，方程总有实数根．

（2）若，求k的值．

（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

参考答案

1．D

【分析】

根据根与系数的关系可得出m+n=4，mn=-3，此题得解．

【详解】

解：∵一元二次方程x2-4x-3=0的两根是m，n，

∴m+n=4，mn=-3．

故选：D．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．

2．D

【分析】

根据两根之和是一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积是常数项与二次项系数的商．

【详解】

根据题意得．

，

故选D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解决的关键是完全平方公式的变形x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2，．

3．D

【分析】

直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况；

【详解】

解：

方程没有实数根．

故选D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程（a≠0）的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

4．C

【分析】

利用根与系数的关系直接写出方程．

【详解】

∵3-2=1，3×（-2）=-6，
∴根为3和-2的一元二次方程为：x2-x-6．
故选C．

【点睛】

考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握根与系数的关系（若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=-，x1x2=）是解决本题的关键．

5．C

【分析】

因为两根均为负数，所以两实数根的和小于零，两根之积大于零．解题时检验两根之和−是否小于零及两根之积是否大于零，同时△必须大于等于0．

【详解】

检查方程是否正确，不要只看两实数根的和是否小于零，两根之积是否大于零，还要检验△是否大于等于0．
A选项中，两根之和大于零，两根之积大于零，所以此选项不正确；
B选项中，两根之和大于零，两根之积小于零，所以此选项不正确；
C选项中，两根之和小于零，两根之积大于零，所以此选项正确；
D选项中，两根之和小于零，两根之积小于零，所以此选项不正确；
故选C．

【点睛】

考查了根与系数之间的关系，解题关键是抓住：两根之积为正，说明两根同号，反之为异号；两根之和为正，说明两根为正或两根中绝对值大的为正，两根之和为负说明两根为负或两根中绝对值大的为负．

6．D

【分析】

由题意可知m、n是方程的根，根据一元二次方程的根与系数的关系得到m+n=-5，mn=-3，然后对所求式子进行变形，然后整体代入计算即可．

【详解】

∵、满足，，

∴、是方程的根，

∴由根与系数的关系可知，

，，

∴．

故选D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个分别为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．也考查了整体的思想．

7．D

【分析】

利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．

【详解】

为一元二次方程的根，

，

．

根据题意得，，

．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．

8．D

【分析】

将m，n代入方程得到从而得出

，再代入即可求解．

【详解】

解：∵m，n是方程的两根，代入得：

∴

∴代入得：

∴

=

将代入得：

=

根据韦达定理：

故答案选：D

【点睛】

本题考查一元二次方程的解、韦达定理，利用整体思想进行代换是解题关键．

9．A

【分析】

由满足的条件及，可得出为一元二次方程的两个不等实根，再利用根与系数的关系即可求出的值.

【详解】

解：∵且，

∴为一元二次方程的两个不等实根，

∴.

故选：A.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键.

10．C

【分析】

根据一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系逐一判断可得答案．

【详解】

解：A．当a＝1时，此方程为2x＝0，是一元一次方程，此选项错误，不符合题意；

B．当a＝﹣1时，方程为﹣2x2﹣2x﹣2＝0，即x2+x+1＝0，此时△＝﹣3＜0，此方程无解，故此选项错误，不符合题意；

C．a＝3时，方程为2x2+6x+2＝0，即x2+3x+1＝0，方程的两根x1和x2满足x1•x2＝1，故此选项正确，符合题意；

D．a＝1时，方程为2x＝0，此方程有一个实数根，为x＝0，此选项错误，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系．

11．D

【分析】

先计算△=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到△＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由得到方程有异号两实数根，再由得到负根的绝对值大．

【详解】

△=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．

∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．

设方程两根为x1，x2．

∵，∴方程有异号两实数根．

∵，∴负根的绝对值大．

故选D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

12．C

【分析】

设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则方程x2-kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，根据根与系数的关系得到a+b=-k，a+5+b+5=k，然后消去a+b即可得到k的方程，然后解关于k的方程即可．

【详解】

设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则方程x2-kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，根据题意得a+b=-k，a+5+b+5=k，所以10-k=k，解得k=5．故答案为C．

【点睛】

本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=.

13．

【分析】

由一元二次方程根与系数的关键可得：从而列不等式可得答案．

【详解】

解：关于的一元二次方程有实数根，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．

14．

【解析】

【分析】

首先把x=1代入方程，即可求得c的值，代入c的值，解方程即可求得．

【详解】

解：根据题意得：2×1-3×1+c=0
∴c=1
∴方程为：2x2-3x+1=0
解得：x1=1，x2=．
故答案为：．

【点睛】

本题考查方程的解的定义．还可利用根与系数的关系，解题时会更简单．

15．0或．

【详解】

∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，

∴△=16﹣4k＞0，解得k＜4，

∴k的最大整数值是3，即k=3；

∴x2﹣4x+3=0，即（x﹣1）（x﹣3）=0，

解得，x=1或x=3；

①当与x2+mx﹣1=0相同的根是x=1时，1+m﹣1=0，解得m=0；

②当与x2+mx﹣1=0相同的根是x=3时，9+3m﹣1=0，解得m=；

综合①②知，符合条件的m的值为0或．

故答案为0或．

16．-3

【详解】

∵是方程的两个根，

∴.

17．或

【解析】

根据题意，得

（2m-1）²-16=0

4m²-4m-15=0

（2m+3）（2m-5）=0

2m+3=0或2m-5=0

m=或m=

18．4

【详解】

分析：先把一元二次方程化为一般式，然后根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1·x2=，构造方程组，然后可求出m的值，然后代入求解即可.

详解：方程化为一般式为：ax2-b=0

x1+x2=m+1+2m-4=0   ①

x1·x2=（m+1）（2m-4）=-②

解方程①，得m=1

把m=1代入②，得=-2×（-2）=4.

故答案为：4.

点睛：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=-，x1·x2=，求出m的值，是中档题.

19．

【分析】

把原方程整理成一般式，根据一元二次方程根与系数的关系求得，的值，代入即可求解．

【详解】

，

，

．

∵，，，

，

．

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．

20．（1）-2；（2）2

【分析】

（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案；

（2）根据根与系数的关系即可求出答案．

【详解】

解：（1）根据题意得，解得，

∴m的最小整数值为；

（2）根据题意得，

∵，

∴，

∴，整理得，解得，

∵，

∴m的值为2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键．

21．（1）证明见解析；（2）；（3）这个等腰三角形的周长为21或18．

【分析】

（1）根据根的判别式即可得到结论；

（2）先计算△＝（8＋k）2−4×8k，整理得到△＝（k−8）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；

（3）先解出原方程的解为x1＝k，x2＝8，然后分类讨论：腰长为8时，则k＝8；当底边为8时，则得到k＝5，然后分别计算三角形的周长．

【详解】

（1）．

，

，

无论k取任何实数，方程总有实数根；

（2），，，

解得；

（3）解方程得．

①当腰长为8时，．

，能构成三角形，

周长为．

②当底边长为8时，．

能构成三角形，周长为．

综上，这个等腰三角形的周长为21或18．

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1＋x2＝−，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键