【单元测试】第二十一章 一元二次方程（夯实基础）（解析版）

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【单元测试】第二十一章 一元二次方程（夯实基础卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________考 号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程根的情况为（       ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】直接利用根的判别式进而判断得出答案．
【详解】由题意可知：a=1，b=-2，c=3，

此方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
2．（2022·山东淄博·八年级期中）方程的解是（       ）
A．x =1 B．x = 2 C．x1 = 0，x2 = 1 D．x1 = 0，x2 = 2
【答案】D
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x（x-1）=x，
∴x（x-1）-x=0，
∴x（x-1-1）=0，
∴x=0或x-1-1=0，
∴x1=0，x2=2．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
3．（2022·浙江金华·八年级期中）已知一元二次方程，下列判断正确的是（       ）
A．该方程有两个不相等的实数根 B．该方程有两个相等的实数根
C．该方程无实数根 D．该方程根的情况无法确定
【答案】C
【分析】把a=1，b=1，c=1代入判别式Δ=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】解：在方程x2+x+1=0中，a=1，b=1，c=1，
∴Δ=12-4×1×1=-3＜0，
∴方程x2+x+1=0没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac的关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（2022·湖南岳阳·七年级期中）已知方程的两个根分别是2和－3，则可分解为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次三项式的因式分解法以及根与系数的关系可得：2+（-3）=-1=-p，2×（-3）=-6=q，可知x2-px+q=x2-x-6，然后即可分解．
【详解】解：据题意得
2+（-3）=-1=-p，2×（-3）=-6=q，
∴p=1，q=-6，
可知x2-px+q=x2-x-6，
∴x2-x-6=（x+2）（x-3）．
故选：D．
【点睛】此题十字相乘法分解因式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练应用十字相乘法分解因式．
5．（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（       ）
A．和 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据的形式去判断即可．
【详解】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的基本概念，熟练化成一元二次方程的一般形式是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋1＝0，要使该方程有实数根，则m必须满足（       ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【答案】D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根，
∴m-1≠0，且Δ=22-4×(m-1)×1≥0，
解得：m≤2且m≠1．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
7．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在中，，AB=，BC=．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为(     )

A． B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】先求出的面积，得出当四边形的面积为时△BPQ的面积，设运动时间为t，则，，根据三角形面积公式列出关于他t的方程，解方程即可．
【详解】解：∵在中，，AB=，BC=，
∴，
∴当四边形的面积为时，
，
设运动时间为t，则，，
∴，
解得：，，
∵点P在AB上的运动时间为：，
∴，
∴不符合题意，
即当四边形的面积为时，点的运动时间为2s，故C正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解二元一次方程组，设运动时间为t，根据题意列出关于t的方程，是解题的关键．
8．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学七年级期末）某班50位同学在图书馆共借了132书，其中男生每人借3本，女生每人借2本．设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得等量关系：①男生人数＋女生人数=50；②男生借书本数+女生借书本数=132，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设男生有x人，女生有y人，根据题意得：
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
9．（2022·四川宜宾·九年级期末）某口罩厂10月份的口罩产量为24万只，因预防疫情需要，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万只．设该厂11、12月份的口罩产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（       ）
A．88（1＋x）2＝24 B．88（1－x）2＝24
C．24（1＋x）2＝88 D．24＋24（1＋x）＋24（1＋x）2＝88
【答案】D
【分析】设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，再表示出该口罩厂11月、12月份的口罩的产量，然后再根据等量关系“第四季度的总产量达到88万”列出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，则11月份产量为24（1+x），12月份产量为：24（1+x）2，根据题意可列方程为：
24+24（1+x）+24（1+x）2＝88．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意找准等量关系是正确列出一元二次方程的关键．
10．（2022·辽宁大连·九年级期末）有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（       ）


A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求得底面的长为，宽为，即可求解．
【详解】设切去的正方形的边长为，则底面的长为，宽为，则

故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分）
11．（2022·河北保定·九年级期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根为________，m的值是________．
【答案】     3     6
【分析】设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到2+t=5，2t=m，计算求解即可．
【详解】解：设方程另一个根为t，
则2+t=5，2t=m，
所以t=3，m=6，
方程的另一个根为3，即m的值为6；
故答案为3，6．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
12．（2022·浙江金华·八年级期中）已知x＝1是方程的一个根，则2a－2b＋2024＝______．
【答案】2022
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，整体代入即可求解．
【详解】解：∵x＝1是方程的一个根，
∴，
即，
∴2a－2b＋2024．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，理解一元二次方程解的定义是解题的关键．
13．（2022·江苏·九年级单元测试）已知方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是x1，x2，则x1+x2的值是 _____．
【答案】1
【分析】先将已知方程转化为一般式，然后利用根与系数的关系解答．
【详解】解：由方程（x−1）（x＋2）＝2（x＋2），得x2−x−6＝0，
∵方程（x−1）（x＋2）＝2（x＋2）的根是x1，x2，
∴x1＋x2＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1＋x2＝，x1·x2＝．
14．（2022·全国·九年级单元测试）某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去72张贺卡，则该学习小组________有名成员；
【答案】9
【分析】设这个小组有x名成员，则小组内每名成员需送出（x−1）张贺卡，由该小组新年互送新年贺卡共72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这个小组有x名成员，则小组内每名成员需送出（x−1）张贺卡，
根据题意得：x（x−1）＝72，
解得：x1＝9，x2＝−8（不合题意，舍去）．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在一块长17m、宽12m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为176m2，则修建的路宽应为________ m．

【答案】1
【分析】设修建的路宽应为，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据绿化面积为建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设修建的路宽应为，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则修建的路宽应为，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
16．（2022·河南南阳·九年级期中）已知关于x的方程（2x﹣m）（mx+1）＝（3x+1）（mx﹣1）有一个根是0，则m的值等于 _____．
【答案】1
【分析】将x=0代入方程求出m的值，再把m的值代入方程，就可以求出方程的另一个根．
【详解】解：把x=0代入方程（2x﹣m）（mx+1）＝（3x+1）（mx﹣1）
得：-m=-1
∴m=1
把m=1代入方程（2x﹣m）（mx+1）＝（3x+1）（mx﹣1）
得：（2x﹣1）（x+1）＝（3x+1）（x﹣1）
整理得：x2-3x=0
因式分解:x（x-3）=0
∴x1=0，x2=3．
故另一根为3，m的值为1．
故填1．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，先把方程的解代入方程求出字母系数的值，然后把字母系数代入就可以求出另一个根．
17．（2021·江苏淮安·九年级期中）如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________．

【答案】2
【分析】设人行通道的宽度为xm，由题意得（30-3x）（24-2x）=480，解方程即可．
【详解】解：设人行通道的宽度为xm，
由题意得（30-3x）（24-2x）=480，
解得x1=2，x2=20（舍去），
∴人行通道的宽度为2m，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键．
18．（2022·江苏泰州·九年级期末）随着退耕还林政策的进一步落实，某村从2017年底到2019年底林地面积变化如图所示，则2018，2019这两年该村林地面积年平均增长的百分率为_______．

【答案】10%
【分析】设年平均增长率是x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设年平均增长率是x，
根据题意有：，
解得：x=10%，（负值舍去），
故年平均增长率是10%，
故答案为：10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
三、 解答题（本大题共8个小题，共54分；第19-22每小题6分，23-24每小题7分，25-26每小题8分）
19．（2021·辽宁锦州·九年级期中）用适当的方法解方程
(1)x2﹣2x﹣5＝0；（用配方法）
(2)x2﹣2x﹣4＝0；（用公式法）
(3)（x+1）2＝3（x+1）；（用因式分解法）
(4)2x2+3x＝1．（选择适当的方法）
【答案】(1)x1＝1+，x2＝1﹣
(2)x1＝+3，x2＝﹣3
(3)x1=﹣1，x2=2；
(4)x1＝，x2＝
【分析】（1）配方后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可；
（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．
【详解】（1）解：∵x2﹣2x﹣5=0，∴x2﹣2x=5，∴x2﹣2x+1=5+1，即（x﹣1）2=6，则x﹣1=，∴x1=1+，x2=1﹣；
（2）解：∵a=1，b=﹣2，c=﹣4，∴Δ=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）=36＞0，方程有两个不等的实数根，x=，即x1=+3，x2=﹣3；
（3）解：∵（x+1）2=3（x+1），∴（x+1）2﹣3（x+1）=0，∴（x+1）（x+1﹣3）=0，∴（x+1）（x﹣2）=0，∴x+1=0或x﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=2；
（4）解：方程化为2x2+3x﹣1＝0，∵a=2，b=3，c=﹣1，∴Δ=32﹣4×2×（﹣1）=17＞0，∴x=，∴x1=，x2=．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程．
20．（2022·全国·九年级单元测试）用适当的方法解下列一元二次方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）本题利用直接开平方法解方程即可；
（2）本题将移项到等号的左边，通过因式分解法解方程即可；
（3）先将移项到等号左边，化成一般式，利用公式法解方程即可；
（4）将移项到等号左边，利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：直接开平方得，解得，；
（2）解：由已知得，则，解得，；
（3）解：由已知得，，∴，解得，；
（4）解：由已知得，利用因式分解法可得，解得，．
【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，可以利用直接开平方法，公式法或因式分解法，选择恰当的方法解方程是解题的关键．
21．（2021·湖南永州·九年级期中）已知、是关于x的一元二次方程的两实根，
(1)则______；______；
(2)若，求k的值．
【答案】(1)2k＋2，k2＋2
(2)1
【分析】（1）根据根与系数关系即可求解；
（2）根据根与系数关系以及一元二次方程的判别式即可求出k的值．
【详解】（1）解：由跟与系数关系可知，，，故答案为：2k＋2，k2＋2；
（2）解：解：（x1＋1）（x2＋1）＝8x1x2＋x1＋x2＋1＝8 x1x2＝k2＋2，x1＋x2＝2k＋2 k2＋2＋2k＋2＋1＝8k2＋2k－3＝0 K＝－3或k＝1此一元二次方程有两实数根≥0即[－2（k＋1）]2－4×1×（k2＋2）≥0k≥，k＝1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，解一元二次方程，掌握根与系数的关系是解题的关键．
22．（2022·江苏·九年级单元测试）“你出地、我出苗，你种植、我培训”．在当地政府支持农业发展的政策带领下，李大伯家种植了车厘子和水蜜桃，今年开始收成并批发出售，水蜜桃的产量是300斤，车厘子的产量比水蜜桃产量的两倍多100斤，每斤车厘子批发价比水蜜桃多2元．
(1)李大伯把车厘子每斤批发价至少定为多少元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元；
(2)某水果店从李大伯家用（1）中的最低批发价购进车厘子销售．第一天每斤售价为40元，卖出了100斤，为了增加销量，水果店决定第二天每斤售价降低m元，销量则在第一天的基础上上涨了2m斤，后结算发现第二天比第一天多盈利320元，已知每天的售价均为整数．求m的值．
【答案】(1)李大伯把车厘子每斤批发价至少定为24元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元
(2)30
【分析】（1）设李大伯把车厘子每斤批发价定为x元，则把水蜜桃每件批发价定为（x﹣2）元，利用总价＝单价×数量，结合今年这两种水果的收入不低于23400元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）利用总利润＝每斤的销售利润×销售数量，结合第二天比第一天多盈利320元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合每天的售价均为整数，即可得出m的值为30．
【详解】（1）解：设李大伯把车厘子每斤批发价定为x元，则把水蜜桃每件批发价定为（x﹣2）元，依题意得：（300×2+100）x+300（x﹣2）≥23400，解得：x≥24．答：李大伯把车厘子每斤批发价至少定为24元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元．
（2）依题意得：（40﹣m﹣24）（100+2m）﹣（40﹣24）×100＝320，整理得：m2﹣70m+1200＝0，解得：m1＝30，m2＝40．又∵（40﹣m）为整数，∴m＝30．答：m的值为30．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（2022·河南周口·九年级期末）因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来．已知．
(1)填空：当时，，所以是的一个因式．于是．则________________；
(2)已知关于x的方程的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）f（x）两项结合后，提取公因式，再提取x−1变形，计算即可求出g（x）；
（2）由题易得1是方程的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程的根，代入求得k的值，再求出x的值即为三角形的三边长，经验证不满足三角形的三边关系；若1为等腰三角形的底边长，则方程有两个相等实根，得出△=0，进而求出x的值，得到三角形的三边长，经验证满足三角形的三边关系．
【详解】（1）解：∵f（x）＝x³−x²−4x²＋4x＋kx−k＝x²（x−1）−4x（x−1）＋k（x−1）＝（x−1）（x²−4x＋k）＝（x−1）g（x），∴g（x）＝x²−4x＋k．
（2）∵，∴1是方程的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程的根．把1代入，得．∵方程的两根为1和3，∴三角形的三边为1，1，3．∵＜3，不成立；若1为等腰三角形的底边长，则方程有两个相等实根．由△，得．∵方程的两个根为2，2，∴等腰三角形的三边为1，2，2．∵＞2，成立．综上所述，实数．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，方程两个相同解的情况下，Δ＝0这一条件，综合应用知识解题．
24．（2022·重庆市渝北区实验中学校九年级期中）某“5A”景区决定在“5.1”劳动节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2倍．
(1)若“亲子两人游”套票的预售额为21000元，“家庭三人行”套票的预售额为10500元，且“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套，求“亲子两人游”套票的价格.
(2)套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600张，“家庭三人行”套票400张，由于预售的火爆，景区决定将“亲子两人行”套票的价格（1）中价格的基础上增加元，而“家庭三人行”套票在（1）中“家庭三人行”套票票价上增加了a元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少32a套，“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求a的值．
【答案】(1)“亲子两人游”套票的价格为35元
(2)a的值为20
【分析】（1）设“亲子两人游”套票价格为x元，则“家庭三人行”套票的价格是2x元，根据“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套列出分式方程，计算即可；
（2）根据实际销售额和计划销售额相同，列出关于a的一元二次方程，计算即可．
【详解】(1)解：设“亲子两人游”套票价格为x元，则“家庭三人行”套票的价格是2x元．
由题意得   
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意
答：“亲子两人游”套票的价格为35元．
(2)

化简得
解得（舍去）
所以，a的值为20．
【点睛】本题考查了列分式方程解应用题、列一元二次方程解应用题，找准等量关系是解题的关键．
25．（2021·重庆渝中·九年级期末）年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为元/千克，水果商贩上门收购的价格为元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高元/千克．设网上销售价格为元/千克，本地自产自销的价格仍然为元/千克．
（1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？
（2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？
【答案】（1）吨；（2）300吨
【分析】（1）设利用网络平台进行销售前，每年有吨“留香瓜”卖给了水果商贩，根据题意列不等式即可求解；
（2）设每年在网络平台上销售了吨“留香瓜”，根据题意列方程即可求解．
【详解】解：（1）设利用网络平台进行销售前，每年有吨“留香瓜”卖给了水果商贩．
由题意，得
解之得：
答：利用电商平台进行销售前，每年至少有吨“留香瓜”卖给了水果商贩．
（2）本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值为:600-500=100(吨)
设每年在网络平台上销售了吨“留香瓜”．则

解得（舍去），，
答：每年在网络平台上销售了吨“留香瓜”．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题关键是理清题目中的数量关系，列出方程或不等式．
26．（2021·江苏南京·九年级期中）【阅读材料】
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
【直接应用】
方程的解是，________，________．
【类比迁移】
解方程：．
【问题解决】
如图，在矩形中，，，点在上，若，求的长．

【答案】（1）4，2；（2）或；（3）或
【分析】（1）首先提出，然后因式分解多项式，求解即可得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设的长为，根据勾股定理 可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可．
【详解】（1），
，
，
∴或或，
故答案为：4，2；
（2），
方程的两边平方，得，
即，
，
或，
当时，，
是原方程的解，
当时，，
是原方程的解，
的解是或；
（3）因为四边形是矩形，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
，
两边平方得：，
整理得：，
两边平方并整理得：，
解得：或，
的长为或．
【点睛】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根，解决（3）时，根据勾股定理和线段长，列出方程是关键．