初中数学人教版九年级上册21.2.1 配方法习题

21.2.2 公式法

一、单选题

1．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

2．一元二次方程的根的情况是（）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．无实数根

3．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（）

A． B． C． D．

4．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（  ）

A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≤1

5．若关于x的方程的一个根是2，则a的值为（）

A． B． C．或 D．或

6．形如的方程，下列说法错误的是（）

A．时，原方程有两个不相等的实数根

B．时，原方程有两个相等的实数根

C．时，原方程无实数根

D．原方程的根为

7．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（  ）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

8．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程．已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．一元二次方程的较大实数根在下列数轴中哪个范围之内（）

A． B．

C． D．

10．用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（）

A． B． C． D．

二、填空题

11．方程的解为________．

12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．

13．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则a应满足的条件_________________

14．已知关于的一元二次方程，若，则________．

15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是____．

16．若k为实数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，则实数k的取值范围为__．

17．一元二次方程，当=________时，方程有两个相等的实根；当_______时，方程有两个不相等的实根；当=______时，方程有一个根为0．

18．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．

三、解答题

19．已知关于的方程有两个不相等的实数根．

求的取值范围；

若，且方程的两个实数根都是整数，求的值．

20．若关于的一元二次方程无实数根，求的取值范围．

21．公式法解方程：

（1）；

（2）；

（3）．

22．李老师在课上布置了一个如下的练习题：

若，求的值．

看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：

晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．

23．已知：关于x的方程，

（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

参考答案

1．C

【分析】

根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解关于m的不等式即可．

【详解】

解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，
解得m＞1．
故选：C．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

2．D

【分析】

先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．

【详解】

解：∵，

∴方程没有实数根．
故选：D．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

3．A

【分析】

根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个．

【详解】

一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根．

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．

4．A

【分析】

根据一元二次方程根的判别式即可求解.

【详解】

解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，

∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＜0，

∴m＞1．

故选A．

【点睛】

此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式.

5．D

【分析】

将2代入方程，得到关于a的方程，求解方程即可；

【详解】

把代入方程，

得，

即，

所以，

解得或，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根的知识点，准确理解是解题的关键．

6．D

【分析】

根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．

【详解】

解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；

B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；

C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；

D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．

7．C

【分析】

由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

【详解】

解：由已知得：

，

解得：a≥1且a≠5，

故选：C．

【点睛】

本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．

8．D

【分析】

根据已知得出方程有x=-1，再判断即可．

【详解】

把x=−1代入方程得出a−b+c=0，

∴b=a+c，

∵方程有两个相等的实数根，

∴△=，

∴a=c，

故选D．

【点睛】

此题考查根的判别式，解题关键在于利用有两个相等的实数根.

9．B

【分析】

利用公式法解方程求得较大的实数根，根据无理数的估算得到这个实数根的范围，即可判断．

【详解】

解方程得．

设是方程的较大的实数根，

，

，

，

则，只有B符合要求．

故选：B．

【点睛】

本题考查了公式法解一元二次方程，无理数的估算以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程和无理数大小的估算是解题的关键．

10．A

【分析】

根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出．

【详解】

方程有两根，

且．

求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，

所以，即，

解得．

故选：A．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．

11．或

【分析】

首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．

【详解】

（x-1）（x+3）=12
x2+3x-x-3-12=0
x2+2x-15=0
x=,

∴x1=3，x2=-5
故答案是:3或-5．

【点睛】

考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．

12．9

【分析】

根据方程两个相等的实数根可得根的判别式，求出方程的解即可．

【详解】

解：一元二次方程有两个相等的实数根，

△，

解得：，

故答案为：9．

【点睛】

本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：

①当△时，方程有两个不相等的实数根；

②当△时，方程有两个相等的实数根；

③当△时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

13．a<1

【分析】

若一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．

【详解】

解：∵方程有两个不同的实数根，a＝1，b＝2，c＝a，
∴，
解得：，
故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

14．

【解析】

【分析】

找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，将a，b及c的值代入计算，即可求出m的值．

【详解】

∵a=1，b=m，c=6，

∴

∴m=.

故答案为：.

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键.

15．0

【分析】

根据一元二次方程根的存在性，利用判别式求解即可；

【详解】

一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴△=4，

∴

故答案为0

【点睛】

本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键．

16．且

【分析】

根据二次项系数非零及一元二次方程根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．

【详解】

∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，

∴

∴且

故答案为：且．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．

17．-1    ＞-1    0   

【分析】

先计算，当4+4m=0，方程有两个相等的实根；当4+4m＞0，方程有两个不等实根；把x=0代入方程，得-m=0；然后分别解方程或不等式即可得到对应得答案．

【详解】

∵，，，

，

当，即时，方程有两个相等的实根；
当，即时，方程有两个不等实根；
令，则有，即时，方程有一个根为0．
故答案为：；；0．

【点睛】

本题考查了一元二次方程()的根的判别式．当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．

18．且k≠0

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴

解得：﹣≤k＜且k≠0

故答案为﹣≤k＜且k≠0．

点睛：本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义、二次根式下非负以及根的判别式列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．

19．；，或．

【分析】

(1)关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0，即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；

 (2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值即可．

【详解】

∵关于的方程的二次项系数、一次项系数、常数项，

∴，

解得；

由原方程，得

，

解得，

∵方程的两个实数根都是整数，且，不是负数，

∴，且是完全平方形式，

∴，或，

解得，或．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

20．

【分析】

确定a、b、c，计算，根据方程没有实数根得关于m的不等式，继而根据一元二次方程的定义可得答案．

【详解】

∵，，，

∴，

∵方程无实数根，
∴，
解得，

又根据一元二次方程的定义，

解得，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程()的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．

21．（1）；（2）；（3）．

【分析】

（1）直接利用公式法求解即可；

（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；

（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．

【详解】

（1），

，

，

即；

（2），

，

，

，

，

；

（3），

整理，得，

，

，

，

．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

22．晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析．

【分析】

根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可．

【详解】

解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下：

，

，

．

不论为何值都不等于，

．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题．

23．（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为5．

【分析】

（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；

（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．

【详解】

（1）∵判别式△=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，

∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．

（2）当a=1为底边时，则b=c，

∴△=(k-2)²=0，

解得：k=2，

∴方程为x2-4x+4=0，

解得：x1=x2=2，即b=c=2，

∵1、2、2可以构成三角形，

∴△ABC的周长为：1+2+2=5．

当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，

∴1-（k+2）+2k=0，

解得：k=1，

∴方程为x2-3x+2=0，

解得：x1=1，x2=2，

∵1+1=2，

∴1、1、2不能构成三角形，

综上所述：△ABC的周长为5．

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键