重庆市南开中学2020-2021高一上学期数学期末试卷及答案

重庆南开中学2020-2021学年第一学期高2023级期末考试

数学试题

一､选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 函数的零点所在区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知扇形的周长为16cm，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知函数(，，)的部分图象如图所示，则的解析式是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 定义在R上的奇函数满足，且时，，则（    ）

A. 2 B. 1 C. 0 D.

8. 已知函数在区间上最大值为，最小值为则函数的最小值为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

二､多选题

9. 下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的单调递增区间是

B. 函数的值域是R

C. 函数的图象关于对称

D. 不等式的解集是

11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的初相为

B. 若函数上单调递增，则

C. 若函数关于点对称，则可以为

D. 将函数的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则可以为2023

12. 已知函数，若关于方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 的最小值为10

三､填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果，不写过程).

13. 已知幂函数为定义在R上的偶函数，则实数___________.

14. ___________.

15. 已知，满足，，，，则___________.

16. 已知函数，，若使关于的不等式成立，则实数的范围为___________.

四､解答题：本大题6个小题，共70分.各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程).

17. 已知，且.

（1）求的值；

（2）求的值.

18. 2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.

（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；

（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：，.

19. 函数且满足___________.

①函数的最小正周期为；②已知，，且的最小值为，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题.

（1）确定的值并求函数的单调区间；

（2）求函数在上的值域.

20. 已知函数，.

（1）当时，解不等式：；

（2）若函数的图象和函数的图象交于不同两点，，若，求实数的值.

21. 先将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图像.

（1）求函数解析式；

（2）若，满足，且，设，求函数在上的最大值.

22. 已知函数，.

（1）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围；

（2）已知函数，且不等式，对恒成立，求实数的取值范围.

重庆南开中学2020-2021学年第一学期高2023级期末考试

数学试题

一､选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

分别化简集合与，再求交集即可.

【详解】由得，由的

所以，，则

故选：A

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

解正弦不等式结合充分条件和必要条件的性质进行判断即可.

【详解】当时，或

当时，

即“”是“”的必要不充分条件

故选：B

3. 函数的零点所在区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先判断的单调性，然后根据零点存在性定理判断出正确答案.

【详解】的定义域为，且为定义域上的增函数，

，

，故零点所在区间是.

故选：B

4. 已知扇形的周长为16cm，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．

【详解】设此扇形半径为，扇形弧长为

则，，

∴扇形的面积为

故选：A.

5. 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用“”分段法比较出三者的大小关系.

【详解】，，

所以.

故选：C

6. 已知函数(，，)的部分图象如图所示，则的解析式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

结合图象，依次求得值.

【详解】由图象可知，，所以，

依题意，则，

，所以.

故选：D.

【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：

（1）求、，；

（2）求出函数的最小正周期，进而得出；

（3）取特殊点代入函数可求得的值.

7. 定义在R上的奇函数满足，且时，，则（    ）

A. 2 B. 1 C. 0 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由条件可得是以4为周期的周期函数，然后可求出答案.

【详解】因为定义在R上的奇函数满足，所以

所以，所以是以4为周期的周期函数

所以

故选：C

8. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为则函数的最小值为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间，关于的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案．

【详解】函数，

所以函数的周期为，区间的区间长度刚好是函数的四分之一个周期，

因为在区间上的最大值为，最小值为，由函数的对称性可知，当区间，关于的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数取最小值，

区间，的中点为，此时取得最值±1，

不妨取得最大值，

则有，解得，所以

所以

故取最小值为．

故选：D．

【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间关于的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.

二､多选题

9. 下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】

分别利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.

【详解】四个函数的定义域为，定义域关于原点对称

A：记，所以，所以函数是奇函数，又因为是增函数，是减函数，所以是增函数，符合题意；B：记，则，所以函数是偶函数，不符合题意；C：记，则，所以函数是奇函数，根据幂函数的性质，函数是增函数，符合题意；D：记，则，所以函数为偶函数.

故选：AC

10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的单调递增区间是

B. 函数的值域是R

C. 函数的图象关于对称

D. 不等式的解集是

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.

【详解】对于A:因为为增函数,所以求的单调递增区间即求的单调递增区间,即.又对数函数的定义域有,解得.故函数的单调递增区间是.A错误；

对于B：，由对数函数的定义域解得：，则，由于，所以，即函数的值域是，B正确；

对于C: ,关于对称，所以函数的图象关于对称，故C正确；

对于D: ,即，解得：，故D正确；

故选：BCD.

11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数初相为

B. 若函数在上单调递增，则

C. 若函数关于点对称，则可以为

D. 将函数的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则可以为2023

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据选项条件一一判断即可得结果.

【详解】A选项：函数的初相为，正确；

B选项：若函数在上单调递增，则，，，所以，，又因为，则，正确；

C选项：若函数关于点对称，则，所以

故不可以为，错误；

D选项：将函数的图象向左平移一个单位得到是偶函数，则，所以故不是整数，则不可以为2023，错误；

故选：AB

【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.

12. 已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 的最小值为10

【答案】ACD

【解析】

【分析】

画出的图象，结合图象求得的取值范围，利用特殊值确定B选项错误，利用基本不等式确定CD选项正确.

【详解】画出的图象如下图所示，

由于关于的方程有四个不等实根，，，，

由图可知，故A选项正确.

由图可知关于直线对称，故，

由解得或，

所以，

，当时，，所以B选项错误.

令，，，

，是此方程的解，

所以，或，

故

，

当且仅当时等号成立，故D选项正确.

由图象可知，

，，，

由，解得或，

由，解得或，

所以，

①.

令或，

所以①的等号不成立，即，故C选项正确.

故选：ACD

【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.

三､填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果，不写过程).

13. 已知幂函数为定义在R上的偶函数，则实数___________.

【答案】0

【解析】

【分析】

根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.

【详解】为幂函数，

 ，

解得：或；

当时，，是偶函数，满足题意；

当时，，是奇函数，不满足题意；

综上所述：；

故答案为：0.

14. ___________.

【答案】

【解析】

【分析】

结合指数运算、对数运算，化简求得表达的值.

【详解】原式

.

故答案为：

15. 已知，满足，，，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】

求得值，由此求得的值.

【详解】由于，所以，

由于，所以，

所以，

.

故答案为：

16. 已知函数，，若使关于的不等式成立，则实数的范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

证明函数图象关于点对称，再判断函数的单调性，从而把不等式变形后应用单调性化简，然后分离参数，转化为三角函数的最值，利用换元法可得结果．

【详解】显然函数定义域是，

，

∴的图象关于点对称，

原不等式可化为，

即，(*)

设，则，

∵，∴，∴，

∴，即，

，由得，

∴，

∴是增函数，

不等式(*)化为，(**)

令，

∵，∴，

不等式(**)化为，，

问题转化为存在，使不等式成立，

当时，的最小值为2．

∴．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：本题考查能成立问题，解题方法是确定函数的对称性与单调性，把不等式化简变形，然后再利用换元法把问题转化为一元二次不等式能成立问题．分离参数后变成求函数的最大值．

四､解答题：本大题6个小题，共70分.各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程).

17. 已知，且.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】

（1）解一元二次方程，结合角的范围求解；

（2）利用诱导公式化简后，弦化切即可求解.

【详解】（1）由题意可得：，

或，

又，，

，

（2）原式.

18. 2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.

（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；

（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：，.

【答案】（1）；（2）在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.

【解析】

【分析】

（1）代入公式中直接计算即可

（2）由题意得，，则，求出的范围即可

【详解】（1），

（2），.

因为要使火箭的最大速度至少增加，

所以，

即：，

所以，

即，所以，

因为，所以.

所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.

【点睛】此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题

19. 函数且满足___________.

①函数的最小正周期为；②已知，，且的最小值为，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题.

（1）确定的值并求函数的单调区间；

（2）求函数在上的值域.

【答案】条件选择见解析；（1），单调增区为，单调减区间为；（2）.

【解析】

【分析】

化简.

（1）若选① ，根据周期公式可得；若选②，由，可得周期和，

再根据正弦函数的单调性可得单调区间；

（2）由的范围求出及的范围可得答案.

【详解】

.

（1）若选① ，则有，，即，

若选②，则有，

，即，

综上，

于是由，

解得，

即单调增区为，

由，

解得，

所以单调减区间为.

（2），

若，则，

则，

所以值域为.

【点睛】本题考查了的性质，有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期、对称性有关的问题，考查了计算能力.

20. 已知函数，.

（1）当时，解不等式：；

（2）若函数的图象和函数的图象交于不同两点，，若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）令换元后，解分式不等式，再由对数函数的单调性即可求解；

（2）由题意转化为方程，令转化为一元二次方程，由根与系数的关系求解.

【详解】（1），令，

则，

所以.

（2），令，

即，

则有，，

所以解得，

令，则有单调递增，且，

所以.

【点睛】关键点点睛：解决含对数函数的较复杂解析式的函数问题，利用换元法可化繁为简，突出问题本质，本题换元法处理后，变成简单的分式不等式及一元二次方程根的问题，解题可变得简单，注意换元后新元的取值范围.

21. 先将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图像.

（1）求函数的解析式；

（2）若，满足，且，设，求函数在上的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先对函数化简变形可得，再由三角函数图像变换规律可求出的解析式；

（2）由已知条件可得，，则可得，然后令，则，从而可求出其最值

【详解】（1）原函数化简得到，

将图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，可得，再将的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到

所以.

（2）由题意知，

因为

所以，

解得，则有：

.

令，，

则对称轴为.所以.

【点睛】关键点点睛：此题考查三角恒等变换公式的应用，考查三角函数图像变换规律，考查数学转化思想，解题的关键是由求出，再对两边取余弦化简可求出，从而可对化简可得，再利用换元法可求得结果，属于中档题

22. 已知函数，.

（1）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围；

（2）已知函数，且不等式，对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）根据单调性的定义，结合函数在上为单调递增函数，可得恒成立，从而可求出实数的取值范围；

（2）根据条件可转化为对于任意恒成立，然后利用换元法，结合二次函数的性质，讨论对称轴，从而可求出实数的取值范围；

【详解】（1）在上任取两个数，且，

因为函数在上为单调递增函数，所以，

所以恒成立，

因为，所以，

所以，所以恒成立，

因为，所以，

所以，所以，

解得，

（2）当时：，则，

因为，所以.

又因为当对成立，

所以对成立即可，

其中，

令，则原函数为，

记为，对称轴.

①当，即时，，

②当，即时：，

③当，即时，(舍).

综上所述，或.