江苏省南京市江宁区2021-2022高一下学期数学期末试卷及答案

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2021-2022学年第二学期期末试卷高一数学              2022.06一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.的值为A.1               B.－1             C.              D. 2. 数据0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的60百分位数为A.6              B.6.5             C.7            D.5.53.设为平面内一个基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是A.2     B.1            C.－2    D.－14.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A．1 cm               B．2 cm            C．3 cm             D. cm5. 设函数在区间（k,k+1）（）内有零点，则k的值为A．-1         B．0          C．1        D．2 6.已知，则A． B． C． D．7.《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有如图所示的“堑堵"，其中，，当“阳马”（即四棱锥）体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为A．     B．      C．      D．  8. 在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为A．            B．            C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9. 下列有关复数的说法正确的是A. 若复数，则 B. 若，则是纯虚数C. 若是复数，则一定有  D. 若，则10.已知是不同的平面，m,n是不同的直线，则使得成立的充分条件是A.  B. C.  D. 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，下列说法正确的是A．若有两解B．若有两解C．若为锐角三角形，则b的取值范围是D．若为钝角三角形，则b的取值范围是12. 已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有A．              B.直线过边的中点C．              D.若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空3分，第二空2分，共20分。13. tan15°=    ▲    ．14. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为    ▲    15. 在平面直角坐标系xoy中，点A(1,2)、B(2,3)、C(3,－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为    ▲    16. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即 (其中为三角形面积，a,b,c为三角形的三边). 在非直角中，a,b,c为内角A,B,C所对应的三边，若a=3且，则面积的最大值是    ▲    ，此时外接圆的半径为    ▲    四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”.(1)求实数；(2)定义复数的一种运算“”：，求.    18.社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，按笔试成绩从高分到低分排序，根据面试人数确定面试人员，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、……、分组，得到如图所示频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值；(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．     19.已知为锐角，．(1)求的值；  (2)求的值．   20.在中，分别为角的对边，，且，.(1)求角大小.(2)为边上一点，，且    ▲    ，求的面积.（从①为的平分线，②为的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.）      21．如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，， (1)求证：；(2)当与平面BCD所成角为45°时，求二面角的余弦值．        22.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝＝＝2，∠CAQ＝．（1）求AQ的长；（2）过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy≠0），求x+y的最小值．              2021-2022学年第二学期期末试卷高一数学参考答案一、 单选题：1．B   2.D   3.D   4.B   5.C   6.D   7.B   8.C二、多选题9.AD   10.BC    11.AC   12.ACD三、填空题13.2 -      14.    15.      16. . 四、解答题17.由题得……………………………………………………2分是“理想复数”……………………………………………………4分(2)由（1）知，则由……………………………………………………6分得…………………10分18. 解：(1)由题意有，解得.…………2分(2)应聘者笔试成绩的众数为，…………4分应聘者笔试成绩的平均数为．…………7分(3)方法一：因为面试150人，，所以最低分数在前25%，应该在 范围内；所以最低分数线估计为：60+=65方法二，所以，面试成绩的最低分为百分位数，前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，设百分位数为，则，解得.因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.…………12分 19. (1)因，所以.…………………………………5分(2)因为锐角，则，而，则，……………………………………………………7分 于是得，所以.………10分∴ ……………………………………………………12分20. (1) ……………………………………………………2分由正弦定理得： ，……………………………………………………4分(2)选①：由平分得：，所以，（1）……………………………………………6分在中，由余弦定理得：所以，（2）………………………………………………8分（1）（2）联立得解得，解得，………………………………………………10分所以，………………………………………………12分选②：，，得（1）……………………………………6分中，由余弦定理得所以，（2）……………………………………………8分（2）-（1）即可得，………………………………………………10分.……………………………………………12分21. (1)在三棱锥中，平面平面，平面平面，而， 平面，因此有平面，又有平面，所以.……………………………………………4分(2)取BC中点F，连接AF，DF，如图， 因为等边三角形，则，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，是与平面BCD所成角，即，………………6分令，则，因，即有，由(1)知，，则有，过C作交AD于O，在平面内过O作交BD于E，连CE，从而得是二面角的平面角，………………………………8分中，，，中，由余弦定理得，，，显然E是斜边中点，则，中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值.……………………………………………12分22. 解：（1）在△ABD与△AQC中分别有正弦定理可得：＝和＝，两式相除可得：＝，又因为＝＝＝2，所以可得sin∠BAQ＝sin∠CAQ，因为∠CAQ＝，∠BAQ∈（0，π），所以∠BAQ＝或π（舍），……………………………………………2分因为＝＝2，所以CP＝2BP，AB＝2AC，又a＝6，在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccos∠BAC，可得b2＝，……………………………………………4分在△ABQ和△ACQ中由余弦定理可得：，可得AQ2＝2b2﹣8＝2×﹣8＝，所以AQ＝；……………………………………………6分（2）因为＝2，所以CP＝2BP，得＝﹣2，得﹣＝﹣2（﹣），所以＝+，同理：设＝﹣λ，λ≠0，得＝+，…………………………………………8分因为E为AP中点，所以＝+＝+，所以可得：，可得：+＝1，……………………………………………10分x+y＝（x+y）•（+）＝+++≥+2＝+，当且仅当：＝时取等号，即x＝，y＝，所以x+y的最小值．……………………………………………12分