新高一数学暑期衔接教材第3讲-命题与条件

主    题

命题与条件

教学内容

1. 理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义；

2. 理解四种命题及其相互关系；

3. 理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；

（以提问的形式回顾）

一、命题

1. 我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，

（1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等；

（2）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；

（3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；

（4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.

问题：命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？

在上面的例子中，

命题（2）的条件和结论分别是命题（1）的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题．

命题（3）的条件和结论分别是命题（1）的条件的否定和结论的否定，这两个命题称为互否命题．

命题（4）的条件和结论分别是命题（1）的结论的否定和条件的否定，这两个命题称为互为逆否命题．

2. 一般地，设“若则”为原命题，那么

“若则”就叫做原命题的逆命题；

“若非则非”就叫做原命题的否命题；

“若非则非”就叫做原命题的逆否命题．

3. 四种命题之间的关系如下：

练习：写出下列命题的的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：

（1）若a=0，则ab=0；

（2）若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形；

（3）全等三角形的对应边相等；

（4）四条边相等的四边形是正方形。

解答：（1）原命题真，逆命题假，否命题假，逆否命题真；

（2）原命题假，逆命题假，否命题假，逆否命题假；

（3）原命题真，逆命题真，否命题真，逆否命题真；

（4）原命题假，逆命题真，否命题真，逆否命题假。

4. 通过上面的练习思考：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？

原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假

结论：互为逆否命题的两个命题真假性相同

二、条件

讨论结果：一般地，“若p、则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q. 这时，我们就说，由p可推出q，记作：pq. 于是我们就把p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件.

定义：一般地如果命题若p、则q为真命题，即pq，那么我们就把p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件.

注意：1. 命题是“若p、则q”形式的，要认清p、q分别指什么。

      2. 命题必须是真命题

练习：下列“若p、则q”的命题中，哪些命题中的p是q 的充分条件？

（1）若，则.

（2）若x为无理数，则为无理数

分析：因为（1）是真命题，所以p是q 的充分条件；因为（2）是假命题，所以p不是q 的充分条件.

从这个练习可以看出判断条件的第一步是判断命题的真假。同时从（2）说明p、q的关系：p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。

讨论结果：（1）中p是q 的充分条件且p不是q 的必要条件，即：且，这时我们把p叫做q的充分不必要条件。

（2）中p是q 的必要条件且p不是q的充分条件，即：且，这时我们把p叫做q的必要不充分条件。

（3）中p是q的充分条件且p是q 的必要条件，即：且，这时我们把p叫做q的充分必要条件，简称充要条件。

（4）中p不是q的充分条件且p不是q 的必要条件，即：且，这时我们把p叫做q的既不充分也不必要条件。

定义：

（1）“若p、则q” 为真命题，且“若q、则p”为假命题，即：且，我们把p叫做q的充分不必要条件。

（2）“若p、则q” 为假命题，且“若q、则p”为真命题，即：且，我们把p叫做q的必要不充分条件。

（3）“若p、则q” 为真命题，且“若q、则p”为真命题，即：且，我们把p叫做q的充分必要条件，简称充要条件。

（4）“若p、则q” 为假命题，且“若q、则p”为假命题，即：且，我们把p叫做q的既不充分也不必要条件。

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 判断下列命题的真假：

（1）所有能被6整除的整数都是3的倍数；

（2）关于的方程有且只有一个实数根。

解：（1）真命题。

（2）假命题。

说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。 若判断为真命题，则需证明。

试一试：判断下列命题的真假：

（1）质数都是奇数；

（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角；

（3）若，，则。

（4）若则。

解：（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题；

例2.  已知命题：若，则，写出它的四种形式并判断真假。

解：逆命题：若，则。假命题。

否命题： 若，则。假命题。

逆否命题：若，则。真命题。

试一试：写出命题“已知，若，则”的其他三种形式。

解：逆命题：已知，若，则。  假命题

否命题：已知，若或，则。 假命题

逆否命题：已知，若，则或。 真命题

例3. 已知，“”是“”的什么条件？

解：必要非充分。

说明：写成命题形式，判断原命题及其逆命题的真假即可。

例4. 证明：是关于的一元二次方程有两个不同的实数根的充分非必要条件。

解：充分性：若，则方程的，方程有两个不同的实数根。

非必要性：当方程有两个不同的实数根，则，而不仅仅是。

说明：证明非必要性，只需证明不成立即可。

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 设，，那么是的（　　）      A

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

2. 从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：

（1）“有实根”是“”的_____________；   必要不充分条件
（2）“”是“”的_____________． 充分不必要条件

3. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．

（1）若,则；

（2）若，则．

解：逆命题：若，则。

否命题：若,则。

逆否命题：若，则。

4. 把下列命题改写成“若则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．

（1）对顶角相等；

（2）四条边相等的四边形是正方形．

解：（1）若两个角是对顶角，则它们相等.  真命题

   逆命题：若两个角相等，它们是对顶角. 假命题

   否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 假命题

   逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角. 真命题

   （2）若四边形的四条边都相等，则这个四边形是正方形。 假命题

   逆命题：若四边形是正方形，则四条边相等。 真命题

   否命题：若四边形的四条边不相等，则这个四条边不是正方形。真命题

   逆否命题：若四边形不是正方形，则四条边不相等。假命题

5. 已知，求证：成立的充分条件是。

证明：由，得：

， ，即

所以是的充分条件

本节课主要知识点：四种命题的改写，四种命题之间的真假关系，充分条件必要条件的判定

【巩固练习】

1. 从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：

（1）“四边形的对角线互相平分”是“四边形为矩形”的          ；

（2）“”是“”的           ；

（3）设，的半径为，，则“”是“两圆外切”的          ．

（1）必要不充分条件     （2）充要不必要条件  （3）充要条件．

2. 指出是的什么条件，简述理由。

答案：必要非充分条件。 理由：，反过来

【预习思考】

1. 设，则的一个必要不充分条件是（　　）

A．  B．  C．  D．

2.                   的整体叫做集合。

3. 元素与集合的关系有___ ___________及_____________两种。

4. 集合元素的三个特征：

（1） _______;(2)____________;(3)___________.

5. 集合的表示方法有_________、______________.

6. 按元素个数分，集合可以分为___________、 ______________、 _________。

7. 集合与集合之间存在三种关系：_____与_______与        .

8. （1）集合A与集合B的交集：___________________________.

（2）集合A与集合B的并集：_____________________________.

（3）集合A的补集：___________________.