新高一数学暑期衔接教材第8讲-基本不等式及其应用

主    题

基本不等式及其应用

教学内容

1. 掌握两个基本不等式；

2.能用基本不等式解决一些简单问题.

（以提问的形式回顾）

1. 证明不等式，并说明a、b的范围及取等号的条件。

通过作差，构成完全平方公式即可证明，这里的a、b是任意实数，当且仅当a=b时取等。

2. 明不等式，并说明a、b的范围及取等号的条件。

通过作差，构成完全平方公式即可证明，这里的a、b是正实数，当且仅当a=b时取等。

基本不等式1：若_________，则，当且仅当_________时取等号；

基本不等式2：若_________，则（或），当且仅当_________时取等号. 

两个基本不等式的异同：

 ① 两个基本不等式中实数的取值范围是不同的，运用第二个不等式时，必须都是____________.

 ② 两个基本不等式中等号成立的条件：当且仅当__________时取等号； 

 ③ 两个基本不等式的变形：

     第一个不等式可变形为或，其中；

     第二个不等式可变形为或，其中.

这里的变形要让学生理解是如何得来的，同时也让学生试着去发现这些不等式都出现了哪些运算形式，有求和，乘积，平方和，开方和。

④ 常用基本不等式2来求最值：当两个正数的积为定值时，由可得当时，它们的和有最__________值；当两个正数的和为定值时，由可得当时，它们的积有最__________值，正所谓“积定和最__________，和定积最__________”.

小，大，小，大

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 若，求的取值范围.

答案：当时，，当且仅当时取等号；

当时，，当且仅当时取等号.

这里学生更多的是想到第一种情况，教师讲解时可以重点讲下第二种情况，同时也让学生见识遇到两个负数和的时候，如何求解最大值

试一试：求下列各式的取值范围：

（1）若，求的取值范围；

（2）求的取值范围；        

（3）求的取值范围.

答案：（1），当且仅当即时取等号；

（2）当时，，当且仅当即时取等号；

当时，，所以，当且仅当即时取等号；

（3）由题可知，，所以，当且仅当即时取等号.

例2.  已知且，下列各式中最大的是（     ）

.；　　　  　.；　　　　　.；　　 　　　..

答案：. 由基本不等式，可排除.选项.又由可得：.

试一试：下列结论中不正确的是（     ）

.时，；                   .；

 .；                         ..

答案：.当异号时，，等式不成立.

例3. 已知，求的最小值；

答案：，当且仅当，即时取等号.

可以提问一下学生，凑出x-3的目的何在？

试一试：已知，求的最大值.

答案：，由于，，所以，，当且仅当即时取等号.

例4. 当时，求的最小值.

答案：当时，原式，当且仅当即时取等号.

【当学生没有思路时，可举例说明，如通分后能得到什么，启发学生的思路】

试一试：求的最小值.

答案：方法一：当时，，当且仅当即时取等号.

方法二：设，则，原式

当且仅当即时取等号.

通过例4的练习，可以简单总结一下，当我们遇到分子是二次式，分母是一次式的时候，如何求解取值范围，为后面学习函数求值域奠定基础。

例5. 已知，且，求的最小值

答案：，当且仅当即，代入可得时取等号.所以的最小值为16.

【提问学生为什么由可直接得到：的最小值就是16？继而提问当改为时，答案会发生什么变化？】

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1.当满足条件                               .时，成立，当且仅当_                   时取等号.

答案： ，

2.若，且，则的最大值为____________.

答案：

方法一（直接法）：由  ，即；

方法二（消元法）：，由于，所以，

下面转化为求二次函数在区间上的最大值，不难求得最大值为.

3. 若，，则将四个代数式按从小到大的顺序排列              

答案：

【可以让学生举特例，如，答案即可出来，但必须保证举例符合条件的要求】

4. （1）若，则的取值范围是____________；

答案：

（2）若，则的取值范围是____________.

答案：

5. （1）若且，则的最小值是____________；

（2）设，，则最小值是____________.

 答案：（1）18；

（2）.

6. 若的取值范围.

答案：当时，，当且仅当即时取等号.

本节课主要知识点：两个基本不等式及变形公式，基本不等式成立条件，应用及注意事项

【巩固练习】

1. 若x>0,y>0且，则xy的最小值是               ；     64

2. 设a，b，a+2b=3 ，则最小值是               ；       

3. 已知实数、，判断下列不等式中哪些一定是正确的？

（1） ；  （2）；   （3）；   （4）

（5）；      （6）         （7）

解：（1）错误。、为负实数时不正确

   （2）正确

   （3）正确

   （4）错误。、为负实数时不正确

   （5）错误。、为负实数时不正确

   （6）正确

   （7）正确

答案：（2）（3）（6）（7）

【预习思考】

设，求证：.

＜课后作业＞ 

1、   当x,求的最小值

2、   已知a＞b＞0，求a2+的最小值.

3、   设a＞0，b＞0，a2+=1，求a的最大值.

4、    某村计划建造一个室内面积为800 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1 宽的通道，沿前侧内墙保留3 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？