新高一数学暑期衔接教材第9讲-不等式的证明与讨论

主    题

不等式的证明与讨论

教学内容

1. 掌握证明不等式的三种基本方法；

2. 会讨论参数的范围求不等式解集。

（以提问的形式回顾）

设，求证：.

证明：

上面的证明方法，是我们在学习不等式的性质时就用到的，我们称之为比较法。

比较法

   （1）应用范围：当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，常用此法。

（2）方法：欲证A>B,只需要证A-B>0

（3）步骤：“作差----变形----判断符号”。

（4）使用此法作差后主要变形形式的处理：

○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征判断差的符号。

○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。

○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。

总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

例1. 已知 求证

证明：

∴要证：

只需证：

两边平方得：

即：，而成立

所以

试一试：求证

证明：因为都是正数，所以为了证明

只需证明

展开得 

即 

因为成立，所以

成立

即证明了

综合法：用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“可知”，逐步推出“结论”综合法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在步步注明推理依据。常用的不等式有：

（1）

（2）

（3）

（4）

例2.  已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

证明：∵≥2bc,a＞0,

∴≥2abc             ①

同理 ≥2abc          ②

≥2abc               ③

因为a，b，c不全相等，所以≥2bc, ≥2ca, ≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号

∴

试一试：求证：

证明：∵    ∴

∴

例3. 解不等式

解：当或时，，当时，

当或时，。

试一试：解不等式

分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。

解：∵  ∴当即时，解集为；当即Δ＝0时，解集为；

当或即,此时两根分别为，，显然,

∴不等式的解集为

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 已知,求证:.

分析:要证不等式是一个分式不等式可以使用不等式的基本性质先证逐步变形即可.

证明:因为,所以,,故,而,所以, .即原不等式得证.

2. 求证:(x≥4)

欲证(x≥4)

只需证(x≥4)

即证(x≥4)

展开得2x-5+2

即

只需证［］2<［］2

即证x2-5x+4<x2-5x+6

即4<6这显然成立

故(x≥4)成立

3. 设、、是互不相等的正数，求证：

证：∵

∴

∵ 同理：  

   ∴

4. 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：

证： 即：

5. 解不等式

解 因，所以当，即时，解集为；

当，即时，解集为；

当，即时，解集为R。

本节课主要知识点：不等式的证明方法，含参数的不等式讨论

【巩固练习】

1. 已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤

分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立

(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,

只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

即证2abcd≤b2c2+a2d2

即证0≤(bc-ad)2

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,

综合(1)、(2)可知:原不等式成立

分析二:用综合法

证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2

∴≥|ac+bd|≥ac+bd

故命题得证

分析三:用比较法

证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,

∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

∴≥|ac+bd|≥ac+bd,

即ac+bd≤

2. 解不等式，

分析 此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小.

解 原不等式可化为：，对应方程的两根为

  ，当时，即，解集为；当时，即，解集为

【预习思考】

1.       A={1},B={x|xA}，用列举法表示集合B的结果为_________。
2.       已知集合A={(x,y)|y=x+3}，B={(x,y)|y=3x-1}，则A∩B=________。
3.       写出x>1的一个必要非充分条件__________。
4.       不等式的解集为_____________。（用区间表示）
5.       命题“已知x、y∈R，如果x+y≠2，那么x≠0或y≠2.”是_____命题。（填“真”或“假”）