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2023年四川省达州市中考数学试卷（含答案与解析）
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这是一份2023年四川省达州市中考数学试卷（含答案与解析），共29页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2023的倒数为（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
2．（4分）下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（ ）
A．2502.7×108 B．2.5027×1011
C．2.5027×1010 D．2.5027×103
4．（4分）一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．3和5 B．2和5 C．2和3 D．3和2
5．（4分）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（ ）
A．52° B．50° C．45° D．25°
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a6
C．（2a3b）3＝6a3b3 D．a6÷a4＝a2
7．（4分）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价，设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A．＝﹣40 B．﹣40＝
C．+40＝ D．+40＝
8．（4分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
9．（4分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1…，、、、的圆心依次为A、B、C、D循环，则的长是（ ）
A． B．2023π C． D．2022π
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值 ．
13．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm．（结果保留根号）
14．（4分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为 ．
15．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，在边BC上有一点P，且BP＝AC，连接AP，则AP的最小值为
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（8分）（1）计算：+|﹣4|﹣（2003﹣π）0﹣2cos30°；
（2）先化简，再求值：（a+2﹣）÷，其中a为满足0＜a＜4的整数．
17．（8分）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达100%，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）该班共有学生 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝ ，n＝ ，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
18．（9分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
19．（7分）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50≈1.2）
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积．
21．（8分）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长．
22．（10分）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；
（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
23．（9分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I＝，通过实验得出如下数据：
R/Ω
…
1
a
3
4
6
…
I/A
…
4
3
2.4
2
b
…
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y＝（x≥0），结合表格信息，探究函数y＝（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 ．
24．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB＝6，BC＝10，求的值；
（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC•CE＝24，AB＝6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝10，AE＝6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE＝2∠DAC，直接写出BD+EF的值．
2023年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2023的倒数为（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
【答案】D．
2．（4分）下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
3．（4分）某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（ ）
A．2502.7×108 B．2.5027×1011
C．2.5027×1010 D．2.5027×103
【答案】B．
4．（4分）一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．3和5 B．2和5 C．2和3 D．3和2
【答案】C．
5．（4分）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（ ）
A．52° B．50° C．45° D．25°
【答案】：B．
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a6
C．（2a3b）3＝6a3b3 D．a6÷a4＝a2
【答案】D．
7．（4分）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价，设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A．＝﹣40 B．﹣40＝
C．+40＝ D．+40＝
【答案】A．
8．（4分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
【答案】C．
9．（4分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1…，、、、的圆心依次为A、B、C、D循环，则的长是（ ）
A． B．2023π C． D．2022π
解：由已知可得，的半径为为1，的半径为，的半径为2，的半径为...，
∴后一段90°的圆心角所对的弧比相邻的前一段90°的圆心角所对的弧的半径大，
∴的半径为3，的半径为5，的半径为7...，
∴的半径为2×2023﹣1＝4045，
∴的长为×2π×4045＝，
故选：A．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称，
∴﹣＝1，
∵a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②正确；
∵x＝0时，y＜0，对称轴为直线x＝1，
∴x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故③错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
故④错误；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴b＝﹣2a，
∴3a+c＞0．
故⑤正确．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x＞1 ．
12．（4分）已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值 7 ．
13．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 （80﹣160） cm．（结果保留根号）
14．（4分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为 ﹣6 ．
解：由题意，建立方程组，
∴或．
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）．
∴A、B关于原点对称．
∴AB的垂直平分线OC过原点．
∵直线AB为y＝2x，
∴直线OC为y＝﹣．
∴可设C（a，﹣）．
又△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB．
∴根据两点间的距离公式可得：．
∴a＝±2．
∴C（2，﹣）或（﹣2，）．
将点C代入y＝得，
k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
15．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，在边BC上有一点P，且BP＝AC，连接AP，则AP的最小值为 2﹣2
解：如图，作△ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN（PN）为半径作圆；
∵∠C＝60°，M为△ABC的外接圆的圆心，
∴∠AMB＝120°，AM＝BM，
∴∠MAB＝∠MBA＝30°，
∴，
∵MD⊥AB，
∴，
在Rt△ADM中，
∵AM2＝MD2+AD2，
∴，
∴AM＝4，
即AM＝BM＝CM＝4，
由作图可知BN⊥AB，N在BP的垂直平分线上，
∴∠PBN＝∠BPN＝90°﹣∠ABC，
∴∠PNB＝180°﹣（∠PBN+∠BPN）＝2∠ABC，
又∵M为△ABC的外接圆的圆心，
∴∠AMC＝2∠ABC，
∴∠AMC＝∠PNB，
∵，
∴△AMC∽△PNB，
∴，
∵，
∴，
即，
∴PN＝BN＝2，
在Rt△ABN 中，，
在△APN中，，
即AP最小值为，
故答案为：．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（8分）（1）计算：+|﹣4|﹣（2003﹣π）0﹣2cos30°；
（2）先化简，再求值：（a+2﹣）÷，其中a为满足0＜a＜4的整数．
解：（1）原式＝2+4﹣1﹣2×
＝2+4﹣1﹣
＝+3；
（2）原式＝
＝
＝
＝﹣2（a+3）
＝﹣2a﹣6．
∵a为满足0＜a＜4的整数，
∴a＝1，2，3，
∵a﹣2≠0，a﹣3≠0，
∴a＝1．
当a＝1时，
原式＝﹣2﹣6＝﹣8．
17．（8分）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达100%，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）该班共有学生 50 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝ 20 ，n＝ 10 ，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 144 度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
解：（1）该班共有学生人数为：5÷10%＝50（人），
则D的人数为：50﹣20﹣10﹣5﹣10＝5（人），
故答案为：50，
把条形统计图补充完整如下：
（2）∵m%＝10÷50×100%＝20%，n%＝5÷50×100%＝10%，
∴m＝20，n＝10，
参加剪纸社团对应的扇形圆心角为：360°×＝144°，
故答案为：20，10，144；
（3）把小鹏和小兵分别记为a、b，其他3位同学分别记为c、d、e，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种，
∴恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为＝．
18．（9分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）＝，
∵AC＝，
∴＝＝，
∴在（2）的运动过程中△ABC扫过的面积＝＝+．
19．（7分）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50≈1.2）
解：过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，如图：
在Rt△OBT中，
OT＝OB•cos26°＝3×0.9＝2.7（m），
∵∠M＝∠MNT＝∠BTN＝90°，
∴四边形BMNT是矩形，
∴TN＝BM＝0.9m，
∴ON＝OT+TN＝3.6（m），
在Rt△AOK中，
OK＝OA•cos50°＝3×0.64＝1.92（m），
∴KN＝ON﹣OK＝3.6﹣1.92≈1.7（m），
∴座板距地面的最大高度为1.7m．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积．
解：（1）如图所示：AP即为所求；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝，
∴AC＝＝2，
过点P作PD⊥AB于D，
∵AP是∠BAC的角平分线，
∴PD＝PC，
∵△ABC的面积为＝△ACP的面积+△ABP的面积，
∴AC•PC+AB•PD＝AC•BC，
∴2PD+5PD＝2，
解得PD＝，
∴△ABP的面积＝AB•PD＝＝．
21．（8分）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长．
（1）证明：连接OA，如图，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA．
∵∠PAB＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠PAB．
∵AB＝BC，
∴，
∴OB⊥AC，
∴∠BAC+∠ABO＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠BAO+∠∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠PAB＝90°，
∴∠PAO＝90°，
即OA⊥AP，
∵OA为⊙O的半径，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：∵OA⊥AP，∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AO＝AB．
由（1）知：∠BAC＝∠BCA，
∵∠BCA＝∠D，
∴∠BAC＝∠D．
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴AB2＝12，
∴AB＝2，
∴OA＝2．
在Rt△OAP中，
∵tanP＝，
∴AP＝＝6．
22．（10分）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；
（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
解：（1）设每件豆笋的进价为x元，每件豆干的进价为y元，
由题意得：，
解得：，
∴每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元；
（2）设购进豆笋a件，则购进豆干（200﹣a）件，
由题意可得：，
解得：120≤a≤122，且a为整数，
∴该特产店有以下三种进货方案：
当a＝120时，200﹣a＝80，即购进豆笋120件，购进豆干80件，
当a＝121时，200﹣a＝79，即购进豆笋121件，购进豆干79件，
当a＝122时，200﹣a＝78，即购进豆笋122件，购进豆干78件，
（3）设总利润为w元，
则w＝（80﹣60）•a+（55﹣40）•（200﹣a）＝5a+3000，
∵5＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝122时，w取得最大值，最大值为5×122+3000＝3610，
∴购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元．
23．（9分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I＝，通过实验得出如下数据：
R/Ω
…
1
a
3
4
6
…
I/A
…
4
3
2.4
2
b
…
（1）a＝ 2 ，b＝ 1.5 ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y＝（x≥0），结合表格信息，探究函数y＝（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 不断减小 ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 x≥2或x＝0 ．
解：（1）根据题意，3＝，b＝，
∴a＝2，b＝1.5；
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图：
由函数图象知，当x≥2或x＝0时，≥﹣x+6，
即当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 x≥2或x＝0，
故答案为：x≥2或x＝0．
24．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
故点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，
解得：t1＝+3，t2＝﹣+3，
，
∴x＝4，y＝t﹣3，
∴N1（4，），N2（4，﹣）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，
解得：t3＝，t4＝﹣，
，
∴x＝﹣2，y＝3+t，
∴N3（﹣2，），N4（﹣2，﹣）；
即点N的坐标为：（4，﹣）或（4，）或（﹣2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
25．（12分）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB＝6，BC＝10，求的值；
（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC•CE＝24，AB＝6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝10，AE＝6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE＝2∠DAC，直接写出BD+EF的值．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
由翻折性质得AD＝AD＝10，AE＝AE，
在Rt△ACD 中，，
∴A'B＝BC﹣AC＝2，
设AE＝A'E＝x，则BE＝AB﹣AE＝6﹣x，
在Rt△ABE 中，由勾股定理得 BE2+AB2＝AE2，
∴（6﹣x）2+22＝x2，
解得 ，
∴，，
∴＝＝；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折性质得，A'B'＝AB＝6，A'D＝AD，∠DA'B'＝∠ABE＝∠BCD＝∠90°，
∴∠EB'C+∠AB'D＝90°＝∠A'B'D+∠B'DA'，
∴∠EB'C＝∠B'DA'，
∴△EB'C∽△B'DA'，
∴＝，即＝，
又BC•CE＝24，
∴B'C＝＝＝4，
∴B'D＝B'C+CD＝10，
在Rt△A'BD'中，
AD＝＝8，
∴BC＝AD＝A'D＝8，则CE＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣3＝5；
（3）∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ADC，
∵AD＝10，AE＝6，
∴，
∴CD＝EF，
则，
设EF＝3k，CD＝5k，
过点D作DH⊥AC于H，则∠CHD＝∠ADC＝90°，
∴∠CDH＝∠DAC＝90°﹣∠C，
∵EF∥BC，
∴∠CDF＝∠DFE＝2∠DAC＝2∠CDH，
∴∠CDH＝∠FDH，
又∵DH＝DH，∠CHD＝∠FHD＝90°，
∴△CHD≌△FHD（ASA），
∴DF＝CD＝5k，
在Rt△EFD中，由勾股定理得 EF2+DE2＝DF2，
∴（3k）2+42＝（5k）2，解得k＝1，
∴EF＝3，DF＝CD＝5，
在Rt△ADC中，，
过B作BG⊥AC于G，
则∠BGA＝∠BGC＝∠CHD＝90°，
∴BG∥DH，
∴∠CBG＝∠CDH＝∠DAC，
∴，，
∵∠BAC＝45°，∠AGB＝90°，
∴∠ABG＝90°﹣∠BAC＝45°＝∠BAC，
∴AG＝BG，
在Rt△BCG中，
BG＝BC•cos∠CBG＝BC，CG＝BC•sin∠CBG＝BC，
∵AG+CG＝BG+CG＝AC，
∴，
∴，
∴BD+EF＝BC＝．
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2023年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2023的倒数为（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
2．（4分）下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（ ）
A．2502.7×108 B．2.5027×1011
C．2.5027×1010 D．2.5027×103
4．（4分）一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．3和5 B．2和5 C．2和3 D．3和2
5．（4分）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（ ）
A．52° B．50° C．45° D．25°
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a6
C．（2a3b）3＝6a3b3 D．a6÷a4＝a2
7．（4分）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价，设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A．＝﹣40 B．﹣40＝
C．+40＝ D．+40＝
8．（4分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
9．（4分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1…，、、、的圆心依次为A、B、C、D循环，则的长是（ ）
A． B．2023π C． D．2022π
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值 ．
13．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm．（结果保留根号）
14．（4分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为 ．
15．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，在边BC上有一点P，且BP＝AC，连接AP，则AP的最小值为
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（8分）（1）计算：+|﹣4|﹣（2003﹣π）0﹣2cos30°；
（2）先化简，再求值：（a+2﹣）÷，其中a为满足0＜a＜4的整数．
17．（8分）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达100%，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）该班共有学生 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝ ，n＝ ，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
18．（9分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
19．（7分）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50≈1.2）
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积．
21．（8分）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长．
22．（10分）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；
（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
23．（9分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I＝，通过实验得出如下数据：
R/Ω
…
1
a
3
4
6
…
I/A
…
4
3
2.4
2
b
…
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y＝（x≥0），结合表格信息，探究函数y＝（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 ．
24．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB＝6，BC＝10，求的值；
（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC•CE＝24，AB＝6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝10，AE＝6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE＝2∠DAC，直接写出BD+EF的值．
2023年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2023的倒数为（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
【答案】D．
2．（4分）下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
3．（4分）某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（ ）
A．2502.7×108 B．2.5027×1011
C．2.5027×1010 D．2.5027×103
【答案】B．
4．（4分）一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．3和5 B．2和5 C．2和3 D．3和2
【答案】C．
5．（4分）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（ ）
A．52° B．50° C．45° D．25°
【答案】：B．
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a6
C．（2a3b）3＝6a3b3 D．a6÷a4＝a2
【答案】D．
7．（4分）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价，设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A．＝﹣40 B．﹣40＝
C．+40＝ D．+40＝
【答案】A．
8．（4分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
【答案】C．
9．（4分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1…，、、、的圆心依次为A、B、C、D循环，则的长是（ ）
A． B．2023π C． D．2022π
解：由已知可得，的半径为为1，的半径为，的半径为2，的半径为...，
∴后一段90°的圆心角所对的弧比相邻的前一段90°的圆心角所对的弧的半径大，
∴的半径为3，的半径为5，的半径为7...，
∴的半径为2×2023﹣1＝4045，
∴的长为×2π×4045＝，
故选：A．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称，
∴﹣＝1，
∵a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②正确；
∵x＝0时，y＜0，对称轴为直线x＝1，
∴x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故③错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
故④错误；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴b＝﹣2a，
∴3a+c＞0．
故⑤正确．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x＞1 ．
12．（4分）已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值 7 ．
13．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 （80﹣160） cm．（结果保留根号）
14．（4分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为 ﹣6 ．
解：由题意，建立方程组，
∴或．
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）．
∴A、B关于原点对称．
∴AB的垂直平分线OC过原点．
∵直线AB为y＝2x，
∴直线OC为y＝﹣．
∴可设C（a，﹣）．
又△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB．
∴根据两点间的距离公式可得：．
∴a＝±2．
∴C（2，﹣）或（﹣2，）．
将点C代入y＝得，
k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
15．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，在边BC上有一点P，且BP＝AC，连接AP，则AP的最小值为 2﹣2
解：如图，作△ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN（PN）为半径作圆；
∵∠C＝60°，M为△ABC的外接圆的圆心，
∴∠AMB＝120°，AM＝BM，
∴∠MAB＝∠MBA＝30°，
∴，
∵MD⊥AB，
∴，
在Rt△ADM中，
∵AM2＝MD2+AD2，
∴，
∴AM＝4，
即AM＝BM＝CM＝4，
由作图可知BN⊥AB，N在BP的垂直平分线上，
∴∠PBN＝∠BPN＝90°﹣∠ABC，
∴∠PNB＝180°﹣（∠PBN+∠BPN）＝2∠ABC，
又∵M为△ABC的外接圆的圆心，
∴∠AMC＝2∠ABC，
∴∠AMC＝∠PNB，
∵，
∴△AMC∽△PNB，
∴，
∵，
∴，
即，
∴PN＝BN＝2，
在Rt△ABN 中，，
在△APN中，，
即AP最小值为，
故答案为：．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（8分）（1）计算：+|﹣4|﹣（2003﹣π）0﹣2cos30°；
（2）先化简，再求值：（a+2﹣）÷，其中a为满足0＜a＜4的整数．
解：（1）原式＝2+4﹣1﹣2×
＝2+4﹣1﹣
＝+3；
（2）原式＝
＝
＝
＝﹣2（a+3）
＝﹣2a﹣6．
∵a为满足0＜a＜4的整数，
∴a＝1，2，3，
∵a﹣2≠0，a﹣3≠0，
∴a＝1．
当a＝1时，
原式＝﹣2﹣6＝﹣8．
17．（8分）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达100%，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）该班共有学生 50 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝ 20 ，n＝ 10 ，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 144 度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
解：（1）该班共有学生人数为：5÷10%＝50（人），
则D的人数为：50﹣20﹣10﹣5﹣10＝5（人），
故答案为：50，
把条形统计图补充完整如下：
（2）∵m%＝10÷50×100%＝20%，n%＝5÷50×100%＝10%，
∴m＝20，n＝10，
参加剪纸社团对应的扇形圆心角为：360°×＝144°，
故答案为：20，10，144；
（3）把小鹏和小兵分别记为a、b，其他3位同学分别记为c、d、e，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种，
∴恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为＝．
18．（9分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）＝，
∵AC＝，
∴＝＝，
∴在（2）的运动过程中△ABC扫过的面积＝＝+．
19．（7分）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50≈1.2）
解：过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，如图：
在Rt△OBT中，
OT＝OB•cos26°＝3×0.9＝2.7（m），
∵∠M＝∠MNT＝∠BTN＝90°，
∴四边形BMNT是矩形，
∴TN＝BM＝0.9m，
∴ON＝OT+TN＝3.6（m），
在Rt△AOK中，
OK＝OA•cos50°＝3×0.64＝1.92（m），
∴KN＝ON﹣OK＝3.6﹣1.92≈1.7（m），
∴座板距地面的最大高度为1.7m．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积．
解：（1）如图所示：AP即为所求；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝，
∴AC＝＝2，
过点P作PD⊥AB于D，
∵AP是∠BAC的角平分线，
∴PD＝PC，
∵△ABC的面积为＝△ACP的面积+△ABP的面积，
∴AC•PC+AB•PD＝AC•BC，
∴2PD+5PD＝2，
解得PD＝，
∴△ABP的面积＝AB•PD＝＝．
21．（8分）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长．
（1）证明：连接OA，如图，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA．
∵∠PAB＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠PAB．
∵AB＝BC，
∴，
∴OB⊥AC，
∴∠BAC+∠ABO＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠BAO+∠∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠PAB＝90°，
∴∠PAO＝90°，
即OA⊥AP，
∵OA为⊙O的半径，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：∵OA⊥AP，∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AO＝AB．
由（1）知：∠BAC＝∠BCA，
∵∠BCA＝∠D，
∴∠BAC＝∠D．
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴AB2＝12，
∴AB＝2，
∴OA＝2．
在Rt△OAP中，
∵tanP＝，
∴AP＝＝6．
22．（10分）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；
（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
解：（1）设每件豆笋的进价为x元，每件豆干的进价为y元，
由题意得：，
解得：，
∴每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元；
（2）设购进豆笋a件，则购进豆干（200﹣a）件，
由题意可得：，
解得：120≤a≤122，且a为整数，
∴该特产店有以下三种进货方案：
当a＝120时，200﹣a＝80，即购进豆笋120件，购进豆干80件，
当a＝121时，200﹣a＝79，即购进豆笋121件，购进豆干79件，
当a＝122时，200﹣a＝78，即购进豆笋122件，购进豆干78件，
（3）设总利润为w元，
则w＝（80﹣60）•a+（55﹣40）•（200﹣a）＝5a+3000，
∵5＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝122时，w取得最大值，最大值为5×122+3000＝3610，
∴购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元．
23．（9分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I＝，通过实验得出如下数据：
R/Ω
…
1
a
3
4
6
…
I/A
…
4
3
2.4
2
b
…
（1）a＝ 2 ，b＝ 1.5 ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y＝（x≥0），结合表格信息，探究函数y＝（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 不断减小 ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 x≥2或x＝0 ．
解：（1）根据题意，3＝，b＝，
∴a＝2，b＝1.5；
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图：
由函数图象知，当x≥2或x＝0时，≥﹣x+6，
即当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 x≥2或x＝0，
故答案为：x≥2或x＝0．
24．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
故点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，
解得：t1＝+3，t2＝﹣+3，
，
∴x＝4，y＝t﹣3，
∴N1（4，），N2（4，﹣）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，
解得：t3＝，t4＝﹣，
，
∴x＝﹣2，y＝3+t，
∴N3（﹣2，），N4（﹣2，﹣）；
即点N的坐标为：（4，﹣）或（4，）或（﹣2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
25．（12分）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB＝6，BC＝10，求的值；
（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC•CE＝24，AB＝6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝10，AE＝6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE＝2∠DAC，直接写出BD+EF的值．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
由翻折性质得AD＝AD＝10，AE＝AE，
在Rt△ACD 中，，
∴A'B＝BC﹣AC＝2，
设AE＝A'E＝x，则BE＝AB﹣AE＝6﹣x，
在Rt△ABE 中，由勾股定理得 BE2+AB2＝AE2，
∴（6﹣x）2+22＝x2，
解得 ，
∴，，
∴＝＝；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折性质得，A'B'＝AB＝6，A'D＝AD，∠DA'B'＝∠ABE＝∠BCD＝∠90°，
∴∠EB'C+∠AB'D＝90°＝∠A'B'D+∠B'DA'，
∴∠EB'C＝∠B'DA'，
∴△EB'C∽△B'DA'，
∴＝，即＝，
又BC•CE＝24，
∴B'C＝＝＝4，
∴B'D＝B'C+CD＝10，
在Rt△A'BD'中，
AD＝＝8，
∴BC＝AD＝A'D＝8，则CE＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣3＝5；
（3）∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ADC，
∵AD＝10，AE＝6，
∴，
∴CD＝EF，
则，
设EF＝3k，CD＝5k，
过点D作DH⊥AC于H，则∠CHD＝∠ADC＝90°，
∴∠CDH＝∠DAC＝90°﹣∠C，
∵EF∥BC，
∴∠CDF＝∠DFE＝2∠DAC＝2∠CDH，
∴∠CDH＝∠FDH，
又∵DH＝DH，∠CHD＝∠FHD＝90°，
∴△CHD≌△FHD（ASA），
∴DF＝CD＝5k，
在Rt△EFD中，由勾股定理得 EF2+DE2＝DF2，
∴（3k）2+42＝（5k）2，解得k＝1，
∴EF＝3，DF＝CD＝5，
在Rt△ADC中，，
过B作BG⊥AC于G，
则∠BGA＝∠BGC＝∠CHD＝90°，
∴BG∥DH，
∴∠CBG＝∠CDH＝∠DAC，
∴，，
∵∠BAC＝45°，∠AGB＝90°，
∴∠ABG＝90°﹣∠BAC＝45°＝∠BAC，
∴AG＝BG，
在Rt△BCG中，
BG＝BC•cos∠CBG＝BC，CG＝BC•sin∠CBG＝BC，
∵AG+CG＝BG+CG＝AC，
∴，
∴，
∴BD+EF＝BC＝．
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