2023年河南省信阳市三校联考中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省信阳市三校联考中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  如图所示的几何体是由个相同的小正方体搭成的若抽掉其中一个有标号的小正方体后，分别从正面和上面看到的形状图仍没改变，则抽调的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  自从电子扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”已知，一根头发丝的直径约为，则一根头发丝的直径约为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  课堂上老师布置了四个计算题，以下是小林给出的四个题的答案，则小林做对了(    )

A. 题 B. 题 C. 题 D. 题

6.  不解方程，判别方程的根的情况(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 无实数根

7.  如图所示，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为(    )
 

A.  B.  C.   D.

8.  如图，在平行四边形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成的，如图所示．黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块块，设黑色皮块和白色皮块的块数依次为和，可列方程是(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是(    )

A. 月份的利润为万元
B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C. 月份该厂利润达到万元
D. 治污改造完成前后共有个月的利润低于万元

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  的算术平方根是______ ．

12.  不等式组的解集是        ．

13.  用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是______ ．

14.  如图，在半径为的上顺次取点，，，，，连接，，，，，若，，则与的长度之和为______结果保留．

15.  如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动设运动时间为，则当点的运动速度为______时，与全等．

三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）

16.  数学兴趣小组的李舒和林涵两位同学将连续的正整数，，，排成如图所示的数表，从中框出某些数，做了如下探索：
李舒在数表中框出“十”字形，并将相对的两数相乘，再左右积与上下积作差，请你帮忙完成研究过程．
计算：______，______，不难发现，结果都是______；
验证：图是从图中取出的一部分，在选中的五个数中，若设中心数为，则，，，所对应的数分别为______，______，______，______用含的代数式表示，请你利用整式的运算，对中的发现进行推理验证；
林涵在数表中框出“”字形，并将顶端左右两数相乘，再与底端数平方作差，即图中，若计算的结果是，求林涵框出“”字形的五个数中的最小数字．

 

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：丨丨；
化简：．

18.  本小题分
为了解学生线上学习期间居家劳动的开展情况，北关中学对该校名七年级学生和名八年级学生的平均每天居家劳动时间进行了调查，现从中各随机抽取名学生的平均每天居家劳动时间进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级名学生的平均每天居家劳动时间为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
八年级名学生的平均每天居家劳动时间的统计图如下：

七、八年级抽取的学生的平均每天居家劳动时间的平均数、众数、中位数如表所示：

根据以上信息，解答下列问题：
______ ， ______ ， ______ ；
如果学校要从中选取一个年级进行居家劳动活动的经验和心得分享，根据以上数据，你认为选择哪个
年级较好？请说明理由写出一条理由即可；
平均每天居家劳动时间大于或等于的学生会被授予“劳动达人”的称号，请估计此次七、八年
级的学生被授予此称号的人数共有多少？

19.  本小题分
一架飞机沿水平直线飞行，在点处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端的俯角为，面向方向继续飞行米至点处，测得该建筑物底端的俯角为，已知建筑物的高为米，求飞机飞行的高度结果精确到米，参考数据：，．

20.  本小题分
某经销商月份用元购进一批恤衫售完后，月份用元购进一批相同的恤衫，数量是月份的倍，但每件进价涨了元．
月份进了这批恤衫多少件？
月份，经销商将这批恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价元甲店按标价卖出件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出件，然后将件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
用含的代数式表示．
已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．

21.  本小题分
如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点，连接，．
求证：；
若，，求的半径．

22.  本小题分
根据以下素材，探索完成任务．

23.  本小题分
九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
操作探究：
如图，为等腰三角形，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接，则 ______ ，与的数量关系是______ ；
迁移探究：
如图，中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，点正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
拓展应用：
如图，在等腰三角形中，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接当时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．的相反数是．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
根据垂直定义求出，进而求出的度数，再利用对顶角相等得到答案．
此题考查了垂直的定义，对顶角相等，熟记对顶角相等的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：若抽掉其中一个有标号的小正方体后，分别从正面和上面看到的形状图仍没改变，则抽调的是．
故选：．
根据从正面和上面看到的形状图分别是主视图和俯视图判断即可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的主视图、左视图和俯视图的概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：
故选：．
先用科学记数法表示出，再代入用同底数幂相乘法则计算即可．
本题主要考查同底数幂相乘，科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．解题关键是正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故此选项错误；
，故此选项错误；
，故此选项错误；
，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式、合并同类项分别判断得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、完全平方公式、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程整理得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先把方程化为一般式得到，再计算，然后根据与的大小关系判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练应用根的判别式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题分两部分求解，首先设不规则图案的面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，继而根据折线图用频率估算概率，综合以上列方程求解即可．
本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行题目创新，解题的关键在于理解题意，能从复杂的题目背景中找到考点化繁为简．
【解答】解：假设不规则图案的面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为，
综上：，
解得：，
不规则图案的面积大约为，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，是的角平分线，
，
平行四边形，，，如图所示，设与交于点，

，
，
，
是等腰三角形，即，
，
同理，，且，
，
是等腰三角形，即，
故选：．
根据题意可求出是等腰三角形，即，是等腰三角形，即，由此即可求解．
本题主要考查平行四边形，等腰三角形的综合，掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设黑色皮块和白色皮块的块数依次为和，由题意得．
故选：．
黑色皮块和白色皮块的块数依次为和，根据“黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形，球上共有黑白皮块块”列方程组即可．
本题考查的是多边形及二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：、设反比例函数的解析式为，
把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
月份的利润为万元，正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意；
C、设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：，
故时，，
解得：，
则治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意．
D、当时，，
解得：，
则只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意．
故选：．
直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：的算术平方根是．
故答案为：．
如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此即可得到答案．
本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
由得，；
由得，
，
，
不等式解集为．
故答案为：．
先分别求出各不等式的解集，有分母先去分母，然后移项、合并同类项，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确掌握解一元一次不等式的化简过程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中配成紫色的结果有种，
配成紫色的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中配成紫色的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的长度，
故答案为：
由圆周角定理可得的大小，从而可得的大小，进而求解．
本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆心角与圆周角的关系，掌握计算弧长的方法．
 

15.【答案】或 

【解析】解：设点的运动速度是，
，
与全等，有两种情况：
，，
则，
解得：，
则，
解得：；
，，
则，，
解得：，，
故答案为：或．
设点的运动速度是，有两种情况：，，，，列出方程，求出方程的解即可．
本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
 

16.【答案】             

【解析】解：；
；
故答案为：；；；
若设中心数为，则，，，所对应的数分别为：，，，；


，
设林涵框出“”字形的五个数中的最小数字为，即，，，
图中，若计算的结果是，
，
，
解得，
答：林涵框出“”字形的五个数中的最小数字是．
根据题意计算出结果即可．根据题意列出代数式，进行整式的混合运算．
根据题意列代数式，列等式方程，解方程即可．
本题考查对于新定义的阅读能力，做题的关键要读懂题意，从已知条件中找到规律解决实际情景问题．
 

17.【答案】解：丨丨


；



． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：八年级居家劳动时间为分的人数为：人，
居家劳动时间为分的人数为：人，
居家劳动时间为分的人数为：人，
；
由七年级名学生的平均每天居家劳动时间可得；
由八年级名学生的平均每天居家劳动时间的条形图可知．
故答案为：，，；
七、八年级抽取的学生的平均每天居家劳动时间的平均数相同，而众数和中位数八年级高于七年级，
八年级较好；
人，
答：估计此次七、八年级的学生被授予“劳动达人”称号的共有人．
根据扇形统计图求出居家劳动时间为分和分的人数，进而求出居家劳动时间为分的人数，即可求出；根据七年级名学生的平均每天居家劳动时间求出，根据八年级名学生的平均每天居家劳动时间求出；
根据七、八年级抽取的学生的平均每天居家劳动时间的众数、中位数判断八年级较好；
分别计算七、八“劳动达人”的人数，再相加即可．
本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
 

19.【答案】解：过作，交的延长线于，如图所示：
设米，
由题意得：米，，，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
，
解得：，
米，
答：飞机飞行的高度约为米． 

【解析】过作，交的延长线于，设米，由锐角三角函数定义求出米，米，再由米得出方程，求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：设月份购进件恤衫，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：月份进了这批恤衫件；
每件恤衫的进价为：元，

化简，得
；
设乙店的利润为元，




，
乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，
，
即，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：乙店利润的最大值是元． 

【解析】根据月份用元购进一批相同的恤衫，数量是月份的倍，可以得到相应的分式方程，从而可以求得月份进了这批恤衫多少件；
根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于、的方程，然后化简，即可用含的代数式表示；
根据题意，可以得到利润与的函数关系式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，可以得到的取值范围，从而可以求得乙店利润的最大值．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．
 

21.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
解：如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，即的半径为． 

【解析】连接，根据等腰对等角可得，再由等弧所对的圆周角相等可得，从而证明，可得，即可证明．
连接，由题意可证四边形是菱形，可得是等边三角形，从而可得，根据直角三角形的性质可得，即可求出结果．
本题考查了等腰三角形的性质、圆的切线的定理和圆周角定理、等边三角形的性质和菱形的判定和性质及平行线的性质，熟练综合运用这些知识点，并能准确作出辅助线是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：任务：分析表格数据，可得该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
设该抛物线的解析式为，将点代入，得，则，
该抛物线的解析式为，
任务：设调节后的水管喷出抛物线的解析式为，
由题意，当时，，
，解得，
喷头至少向上调节米，
米，
答：喷头距离湖面高度的最小值为米． 

【解析】任务：根据表格数据得到抛物线，再直接代值计算即可；
任务：根据函数解析式求出自变量范围内的最小值判断即可．
此题考查二次函数的实际应用，解题关键是根据表格数据直接求出函数解析式，再通过函数的图象判断最小值，来解决实际问题．
 

23.【答案】   

【解析】解：为等腰三角形，，，
为等边三角形，
将绕点旋转，得到，
≌，
为等边三角形，，，
，
，
，
，是的中点，
，
，
故答案为：，；
由旋转的性质，可知≌，
为等边三角形，平分，为等边三角形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
是的中点，
，
是等腰直角三角形，
；
分以下两种情况进行讨论：
如图当点在右边时，

，，
为等腰直角三角形，
．
，
，
由旋转的性质，得，
为等边三角形，
是的中点，
，平分，
，
，
；
如图，当点在左边时，

同理，可得，，
．
综上所述，的长为或．
证明为等边三角形，根据旋转的性质得≌，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，；
根据旋转的性质得≌，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得；
分以下两种情况进行讨论：当点在右边时，当点在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键．