2023年吉林省白山市抚松县三校中考数学四模试卷（含解析）

2023年吉林省白山市抚松县三校中考数学四模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图数轴上的、、、四点所表示的数分别为、、、，且为原点．根据图中各点的位置判断，下列哪个选项的值最小(    )

 

A.  B.  C.  D.

2.  神舟十三号飞船在近地点高度，远地点高度的轨道上驻留了个月后，于年月日顺利返回．将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各数中，为不等式组的解的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是由个大小相同的小正方体拼成的几何体，当去掉某一个小正方体时，与原几何体比较，则下列说法正确的是(    )

A. 去掉，主视图不变
B. 去掉，俯视图不变
C. 去掉，左视图不变
D. 去掉，俯视图不变

5.  在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接若，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  计算的结果是        ．

8.  因式分解：______．

9.  如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是______ ．

10.  小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______．

 

11.  如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点逆时针旋转，再向右平移一个单位后点的对应点的坐标是______．

12.  如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______．

13.  如图，为的直径，交于点，点是弧上的一个动点可与、重合，若弧所对的圆周角的度数为，则的取值范围是______ ．

14.  孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根长木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺，依据题意，可列方程组为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
如图，将下列张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．

从中随机抽取张，抽得扑克牌上的数字为的概率为______；
从中随机抽取张，用列表或画树状图的方法，求抽得张扑克牌的数字不同的概率．

17.  本小题分
已知：如图，点是内一点，，求证：≌．

18.  本小题分
某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用元购买玻璃杯，用元购买保温杯已知一个保温杯比一个玻璃杯贵元，求一个玻璃杯的价格．

19.  本小题分
如图，在的方格纸中，点，，均在格点上，试按要求画出相应格点图形．

如图，作一条线段，使它是向右平移一格后的图形；
如图，作一个轴对称图形，使和是它的两条边；
如图，作一个与相似的三角形，相似比不等于．

20.  本小题分
习近平总书记于年月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片．如图是根据兰州市环境保护局公布的年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．

请结合统计图解答下列问题：
年比年的全年空气质量优良天数增加了______天；
这七年的全年空气质量优良天数的中位数是______天；
求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；
兰州市“十三五”质量发展规划中指出：年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达以上．试计算年共天兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标．

21.  本小题分
小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行，小强在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处到他的距离是多少？结果精确到，参考数据：，，
 

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，是轴正半轴上的一个动点，且四边形是平行四边形．
求和的值；
若点落在反比例函数的图象上，则边的长为______；
当的中点落在反比例函数的图象上时，▱的面积是______．

23.  本小题分
一个深为米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了小时内个时刻的水位高度，其中表示进水用时单位：小时，表示水位高度单位：米．

为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．













在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．
当水位高度达到米时，求进水用时．

24.  本小题分
【证明推断】
如图，在正方形中，点是对角线上一点，过点作，的垂线，分别交直线于点，．
求证：≌；
推断：的值为______ ．
【类比探究】
如图，在矩形中，，点是对角线上一点，过点作，的垂线分别交直线于点，探究的值用含的式子表示，并写出探究过程．

 

25.  本小题分
如图，在中，，，于点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以相同的速度沿向终点运动，当点停止时，点也随之停止，以、为邻边作▱，设点的运动时间为．
求的值；
当点落在内部时，求的取值范围
当▱与的重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式
分别作点关于直线、直线的对称点、，连接，直接写出所在的直线与的边平行或垂直时的值．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线为常数的最低点纵坐标为，点、均在这个抛物线上，点、的横坐标分别为、．
求抛物线所对应的函数表达式；
连结，当轴时，求线段的长；
将此抛物线上、两点之间包括、两点的部分记为图象．
当图象的最低点到两坐标轴距离之和为时，求的值；
过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为点、点，当线段与图象有交点时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
根据绝对值的定义：数轴上一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值即可得出答案．
本题考查了绝对值，数轴，掌握绝对值的几何定义是解题的关键．
【解答】
解：表示的点到原点的距离最近，
最小，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法即可得出答案．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握的指数比原来的整数位数少是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
由得，，
由得，，
不等式组的解集为．
四个选项中在中的只有．
故选：．
分别求出两个不等式的解集，再找到其公共部分即可．
本题考查了不等式组的解集和解一元一次不等式，能找到各不等式的解集的公共部分是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：去掉，左视图不变，主视图改变了，故此选项不合题意；
B.去掉，左视图不变，俯视图改变了，故此选项不合题意；
C.去掉，主视图不变，左视图改变了，故此选项不合题意；
D.去掉，俯视图不变，说法符合题意，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以选项不符合题意；
B.由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以选项不符合题意；
C.由作图痕迹，作的垂直平分线把分成两线段，则，所以选项不符合题意；
D.由作图痕迹，作的垂直平分线，则，所以选项符合题意．
故选：．
利用基本作图可直接对由选项和选项得到，根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，由选项得到，由选项得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，直线与交于点，如图所示，
扇形中，，
，
翻折后点与圆心重合，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得，
阴影部分的面积为．
故选B．
根据垂直平分线的性质和等边三角形的性质，可以得到，即可求出扇形的面积，再算出的面积，即可求出阴影部分面积．
本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，本题属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式先用提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据方程没有实数根，得到，
解得：．
故答案为：．
根据方程没有实数根，得到根的判别式小于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
此题考查了根的判别式，根的判别式大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于，方程没有实数根．
 

10.【答案】 

【解析】解：有一个角是的等腰三角形是等边三角形，
故答案为：．
根据等边三角形的判定定理填空即可．
本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：图形如图所示：．

故答案为：．
正确作出图形，可得结论．
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，
，，
，
是的中点，，
．
故答案为：．
由菱形的性质得，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由菱形的性质即可得解．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：当、重合时，，
当、重合时，；
所以的取值范围是：．
由图可知当、重合时，的度数最小，由圆周角定理知，此时的度数为的一半；当、重合时，的度数最大，此时为平角的一半，由此求得的取值范围．
此题主要考查的是圆周角定理的应用．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意得，
故答案为：．
本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此可列方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
 

15.【答案】解：原式
，
当时，
原式


． 

【解析】直接利用乘法公式、单项式乘多项式运算法则分别化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 

16.【答案】解：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽得张扑克牌的数字不同的结果有种，
抽得张扑克牌的数字不同的概率为． 

【解析】

【分析】
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽得张扑克牌的数字不同的结果有种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：从中随机抽取张，抽得扑克牌上的数字为的概率为，
故答案为：；
见答案．  

17.【答案】证明：，
．
，
，．
在和中，
，
≌． 

【解析】由题意可得，从而可求得，，利用即可证明≌．
本题主要考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．
 

18.【答案】解：设一个玻璃杯的价格是元，则一个保温杯的价格是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：一个玻璃杯的价格是元． 

【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设一个玻璃杯的价格是元，则一个保温杯的价格是元，根据用元购买玻璃杯的数量等于用元购买保温杯的数量，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
 

19.【答案】解：如图，为所作；
如图，
如图，为所作．
 

【解析】把点、向作平移个单位得到；
作点关于的对称点即可；
延长到使，延长到点使，则满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了相似三角形的判定与平移变换．
 

20.【答案】   

【解析】解：，
年比年的全年空气质量优良天数增加了天；
故答案为：；
这七年的全年空气质量优良天数分别为：
，，，，，，，
这七年的全年空气质量优良天数的中位数是天；
故答案为：；
天，
则这七年的全年空气质量优良天数的平均天数为天；
全年空气质量优良天数比率达以上．
天，
则兰州市空气质量优良天数至少需要天才能达标．
根据折线统计图可得年比年的全年空气质量优良天数增加的天数；
先将这七年的全年空气质量优良天数从小到大排列，即可得中位数；
根据表格数据利用加权平均数公式即可求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；
用即可得兰州市空气质量能达标的优良天数．
本题考查了折线统计图、加权平均数、中位数，解决本题的关键是掌握折线统计图．
 

21.【答案】解：连接，过点作，

由题意得：，，，，
，
，
，
在中，，
能看到的水平地面上最远处到他的距离约为． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，过点作，根据题意可得，，，，从而利用平行线的性质求出，进而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
 

22.【答案】   

【解析】解：把点代入直线中得：，
，
，
当时，，
，
点在反比例函数的图象上，
；
四边形是平行四边形，
点的横坐标为，
，
，
，
故答案为：；
点，，
的中点的横坐标为，
四边形是平行四边形，
的中点就是的中点，
的中点落在反比例函数的图象上，
这个中点的坐标为，
，
如图，过作轴，过点作轴，

▱的面积．
故答案为：．
根据点的坐标可得，由此可得点的坐标，确定；
根据平移的性质可得点的横坐标，根据反比例函数关系式可得的坐标；
根据面积差可得▱的面积．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式，平行四边形的面积等知识，作辅助线构造矩形是解题的关键．
 

23.【答案】解：函数的图象如图所示：

根据图象可知：选择函数，
将，代入，
得
解得
函数表达式为：；
当时，，
．
答：当水位高度达到米时，进水用时为小时． 

【解析】根据表格数对画出函数图象即可；然后利用待定系数法即可求出相应的函数表达式；
结合的函数表达式，代入值即可解决问题．
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质．
 

24.【答案】 

【解析】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：由知：≌，
，
故答案是：；
解：四边形是矩形，
，，
由得，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，是公共角，
∽，
．
推出是等腰三角形，从而，再推出，，从而命题得证；
根据求得结果；
根据，，进而得出∽，进一步求得结果．
本题考查了正方形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是掌握其性质定理．
 

25.【答案】解：如图中，，，
，
在中，，
．

如图中，当点在上时，

，
，
，
解得．
如图中，，

，
，
解得，
点落在内部时，的取值范围为．

如图中，当时，重叠部分是四边形，
．

如图中，当时，重叠部分是四边形．



如图中，当所在的直线时，设交于．
则有，
，
，
解得．

如图中，当时，根据，可得，解得．

易知当时，，当时，，
如图中，当时，根据，
，
解得不合题意舍弃

综上所述，当或或或时，所在的直线与的边平行或垂直． 

【解析】在中求出即可解决问题；
求出点在上和点在上的时间，即可解决问题；
分两种情形如图中，当时，重叠部分是四边形；如图中，当时，重叠部分是四边形分别求解即可；
分五种情形讨论求解即可解决问题；
本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质、锐角三角函数、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：，
该抛物线的顶点坐标为，
由题意得：，
解得：，
该抛物线所对应的函数表达式为；
，
该抛物线的对称轴为直线，
轴，
点与点关于直线对称，
，
解得：，
点、的横坐标分别为、，
，
故线段的长为；
根据题意：点、的横坐标分别为、，抛物线的对称轴为直线，
令，得，
解得：，
即抛物线与轴的交点坐标为，，
令，得，
解得：，
当，即时，点、均在轴左侧，点在第三象限抛物线上，且为最低点，如图，

，
解得：或不符合题意，舍去；
当，即时，点、均在第二象限抛物线上，且为最低点，如图，

，
解得：或不符合题意，舍去；
综上所述，的值为或；
当线段与图象有交点时，
则或，
解得：或，
的取值范围为或． 

【解析】利用配方法可得抛物线的顶点坐标为，根据题意列方程求解即可求得答案；
由轴，可知点与点关于直线对称，列方程求解即可求得答案；
分两种情况：当，即时，当，即时，根据题意建立方程求解即可得出答案；
根据题意列出不等式组求解即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．