2023年四川省达州市中考数学试卷（含解析）

这是一份2023年四川省达州市中考数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省达州市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的倒数为(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列图形中，是长方体表面展开图的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  某市政府在年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现亿元数据亿用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 4.  一组数据，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为(    )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和5.  如图，，平分，，，则(    )A.
B.
C.
D. 6.  下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了元，但数量比第一批多购进了件，求购进的第一批“脆红李”的单价，设购进的第一批“脆红李”的单价为元件，根据题意可列方程为(    )A.  B.
C.  D. 8.  下列命题中，是真命题的是(    )A. 平行四边形是轴对称图形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D. 在中，若：：：：，则是直角三角形9.  如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的其中，的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为，、、、的圆心依次为、、、循环，则的长是(    )A.  B.  C.  D. 10.  如图，抛物线为常数关于直线对称下列五个结论：
；；；；其中正确的有(    )A. 个
B. 个
C. 个
D. 个第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.  函数的自变量的取值范围是______ ．12.  已知，是方程的两个实数根，且，则的值______ ．13.  如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为______ 结果保留根号

 14.  如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为______ ．
 15.  在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为______ 三、解答题（本大题共10小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中为满足的整数．17.  本小题分
在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况每位同学只能参加其中一项：剪纸社团，泥塑社团，陶笛社团，书法社团，合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．

该班共有学生______ 人，并把条形统计图补充完整；
扇形统计图中， ______ ， ______ ，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为______ 度；
小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．18.  本小题分
如图，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点均在小正方形的格点上．
将向下平移个单位长度得到，画出；
将绕点顺时针旋转度得到，画出；
在的运动过程中请计算出扫过的面积．
19.  本小题分
莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？结果精确到；参考数据：，，，，，

 20.  本小题分
如图，在中，，，．
尺规作图：作的角平分线交于点不写作法，保留作图痕迹；
在所作图形中，求的面积．
21.  本小题分
如图，、内接于，，是延长线上的一点，，、相交于点．
求证：是的切线；
若，，，求的长．
22.  本小题分
某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱已知件豆笋和件豆干进货价为元，件豆笋和件豆干进货价为元．
分别求出每件豆笋、豆干的进价；
某特产店计划用不超过元购进豆笋、豆干共件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
若该特产店每件豆笋售价为元，每件豆干售价为元，在的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？23.  本小题分
【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡灯丝的阻值亮度的实验如图，已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： ______ ， ______ ；
【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；

随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______ ．
【拓展】结合中函数图象分析，当时，的解集为______ ．
24.  本小题分
如图，抛物线过点，，．
求抛物线的解析式；
设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

 25.  本小题分
如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，，求的值；
如图，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，，求的值；
如图，在中，，，垂足为点，，，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
运用乘积为的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了倒数，关键是能准确理解倒数的定义．
 2.【答案】 【解析】解：由题意知，图形可以折叠成长方形，
故选：．
根据长方体的展开图得出结论即可．
本题主要考查长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：数据从小到大排列为：，，，，，
所以中位数为；
数据出现了次，最多，
所以这组数据的众数为．
故选：．
先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．
本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质和角平分线的定义，可以求得的度数，再根据三角形内角和即可求得的度数．
本题考查平行线的性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 6.【答案】 【解析】解：、不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 7.【答案】 【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据单价比第一批每件便宜了元，但数量比第一批多购进了件，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
 8.【答案】 【解析】解：、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、在中，当：：：：时，不是直角三角形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：．
根据中轴对称图形的概念、菱形的判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 9.【答案】 【解析】解：由已知可得，的半径为为，的半径为，的半径为，的半径为，
后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大，
的半径为，的半径为，的半径为，
的半径为，
的长为，
故选：．
由观察规律可得的半径为，再用弧长公式列式计算即可．
本题考查图形的变化类问题，涉及与圆相关的计算，解题的关键是找到的圆心角所对的弧的半径变化规律．
 10.【答案】 【解析】解：抛物线为常数关于直线对称，
，
，
，
，
，
故正确；
，
，
故正确；
时，，对称轴为直线，
时，，
，
故错误；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，即，
故错误；
时，，
，
，
．
故正确．
故选：．
由抛物线开口方向以及与轴的交点可知，，根据对称轴为直线得出，即可判断；由对称轴为直线得出，即可判断；由抛物线的对称性即可判断；根据函数的最值即可判断，由时，，得出，由得出即可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：根据题意得：且，
即，
解得：．
故答案为：．
由二次根式的被开方数大于等于可得，由分式有意义的性质可得，即可求出自变量的取值范围．
考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 12.【答案】 【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
，
解得．
故答案为：．
先求出，的值，然后把的左边展开，将其代入该关于的方程，通过解方程来求的值．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，，也考查了代数式的变形能力．
 13.【答案】 【解析】解：点是靠近点的黄金分割点，，
，
点是靠近点的黄金分割点，，
，
，
支撑点，之间的距离为，
故答案为：．
根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：由题意，建立方程组，
或．
，．
、关于原点对称．
的垂直平分线过原点．
直线为，
直线为．
可设
又为等边三角形，
．
根据两点间的距离公式可得：．
．
或
将点代入得，
．
故答案为：．
依据题意，点在的垂直平分线上，可得直线为，故可设，再由求出的值代入即可求解．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点的坐标特征，解题时需要熟悉图象，理解题意．
 15.【答案】 【解析】解：如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；

，为的外接圆的圆心，
，，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
即，
由作图可知，在的垂直平分线上，
，
，
又为的外接圆的圆心，
，
，
，
∽，
，
，
，
即，
，
在中，，
在中，，
即最小值为，
故答案为：．
作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得，从而易证∽，可得即，勾股定理即可求得，在中由三角形三边关系即可求解．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合的外接圆构造相似三角形．
 16.【答案】解：原式

；
原式



．
为满足的整数，
，，，
，，
．
当时，
原式． 【解析】利用二次根式的性质，绝对值的意义，零指数幂的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可；
利用分式的混合运算的法则化简后，将代入运算即可．
本题主要考查了实数的运算，用二次根式的性质，绝对值的意义，零指数幂的意义和特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 17.【答案】       【解析】解：该班共有学生人数为：人，
则的人数为：人，
故答案为：，
把条形统计图补充完整如下：

，，
，，
参加剪纸社团对应的扇形圆心角为：，
故答案为：，，；
把小鹏和小兵分别记为、，其他位同学分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有种，
恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为．
由的人数除以所占百分比得出该班共有学生人数，即可解决问题；
由的结果分别列式计算即可；
画树状图，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 18.【答案】解：如图所示；

如图所示；
，
，
，
在的运动过程中扫过的面积． 【解析】按平移变换的性质分别确定，，平移后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
按旋转变换的性质分别确定，，绕点顺时针旋转度后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
将扫过的面积用规则图形的面积和差表示，求出即可．
本题考查网格作图平移、旋转，以及网格中图形面积的计算，解题涉及平移的性质，旋转的性质，勾股定理，扇形面积公式，掌握平移、旋转的性质和网格中图形面积的计算方法是解题的关键．
 19.【答案】解：过作于，过作于，如图：

在中，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，
，
，
座板距地面的最大高度为． 【解析】过作于，过作于，在中，求出，可得，在中，得，故K，从而可知座板距地面的最大高度为．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
 20.【答案】解：如图所示：即为所求；
在中，，，，
，
过点作于，
是的角平分线，
，
的面积为的面积的面积，
，
，
解得，
的面积． 【解析】根据角平分线的作法，即可画出图形；
由勾股定理求出，由角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式求出，即可求出结论．
此题主要考查了基本作图，角平分线定理，勾股定理，作出辅助线根据角平分线的性质得到是解本题的关键．
 21.【答案】证明：连接，如图，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
，
，
，
即，
为的半径，
是的切线；
解：，，
，
，
为等边三角形，
．
由知：，
，
．
，
∽，
，
，
，
，
．
在中，
，
． 【解析】连接，利用等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直的定义，等量代换和圆的切线的判定定理解答即可；
利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 22.【答案】解：设每件豆笋的进价为元，每件豆干的进价为元，
由题意得：，
解得：，
每件豆笋的进价为元，每件豆干的进价为元；
设购进豆笋件，则购进豆干件，
由题意可得：，
解得：，且为整数，
该特产店有以下三种进货方案：
当时，，即购进豆笋件，购进豆干件，
当时，，即购进豆笋件，购进豆干件，
当时，，即购进豆笋件，购进豆干件，
设总利润为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，
购进豆笋件，购进豆干件可使该特产店获得利润最大，最大利润为元． 【解析】设每件豆笋的进价为元，每件豆干的进价为元，根据“件豆笋和件豆干进货价为元，件豆笋和件豆干进货价为元”可得二元一次方程组，求解即可；
设购进豆笋件，则购进豆干件，根据题意可得关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，以此得出的所有取值即可得出进货方案；
设总利润为元，根据利润成本进价数量可得关于的一次函数，再根据一次函数的增减性结合的取值范围即可求解．
本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，找准题中所蕴含的等量关系或不等关系，正确列出方程组、不等式组以及函数关系式是解题关键．
 23.【答案】    不断减小  或 【解析】解：根据题意，，，
，；
故答案为：，；
根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下：

由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
如图：

由函数图象知，当或时，，
即当时，的解集为或，
故答案为：或．
由已知列出方程，即可解得，的值；
描点画出图象即可；观察图象可得答案；
同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题．
 24.【答案】解：由题意得，抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
故点作轴的平行线交于点，

设点，则点，
则的面积，
即的面积的最大值为，此时点；
存在，理由：
，，
抛物线的解析式为，
对称轴为：，
设点，，
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
，
，，
，；
若为菱形的边长，菱形，
则，即，
解得：，，
，
，，
，；
即点的坐标为：或或或． 【解析】由待定系数法即可求解；
由的面积，即可求解；
若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形和菱形的性质、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 25.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
由翻折性质得，，
在中，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，，
；
四边形是矩形，
，，，
由翻折性质得，，，，
，
，
∽，
，即，
又，
，
，
在中，
，
，则，
；
，，
，
∽，
，，
，
，
则，
设，，
过点作于，则，
，
  
，
，
，
又，，
≌，
，
在中，由勾股定理得，
，解得，
，，
在中，，
 过作于，

则，
，
，
，，
，，
，
，
在中，
，，
，
，
，
． 【解析】由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得，设则，中利用勾股定理求得，则，，进而求解即可；
由矩形的性质和翻折性质得到，证明∽，利用相似三角形的性质求得，则，在中，利用勾股定理求得，进而求得，可求解；
证明∽得到，则；设，，过点作于，证明≌得到，在中，由勾股定理解得，进而可求得过作于，证明，则，，再证明，在中利用锐角三角函数和，求得，即可求解．
本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．