2023年河南省商丘一中中考数学三模试卷（含解析）

2023年河南省商丘一中中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，央行报道，月末，外币贷款余额亿美元，同比下降月份外币贷款减少亿美元，同比多减亿美元将亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日下午，神舟十四号乘组航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进行了“天宫课堂”第三次太空授课，这也是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验、太空趣味饮水、会调头的扳手、植物生长研究项目介绍某校有名学生，一同收看了这场来自公里之上的奇妙科学课，并参加了关于“你最喜爱的一项太空实验”的问卷调查，从中抽取名学生的调查情况进行统计分析，以下说法错误的是(    )

A. 名学生的问卷调查情况是总体 B. 名学生的问卷调查情况是样本
C. 名学生是样本容量 D. 每一名学生的问卷调查情况是个体

4.  如图，，的顶点在直线上，，交直线于点，点在直线上，，若点恰好为的中点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定

7.  小聪要制作一正方体骰子，使六个面上分别标有个点，而且相对的两个面的点数之和都等于，则以下展开图中，可以做成正方体骰子的有(    )

 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  算法统宗是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位在算法统宗中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？”如果设绳长尺，井深尺，根据题意列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，中，，，，以为圆心的圆弧与相切于点，交于点，交于点，则阴影部分的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，平面直角坐标系中，，，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点第一次落在上时，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算：______．

12.  请你写出一个经过点的函数解析式        ．

13.  在一个不透明的袋子中有个除颜色外完全相同的小球，其中绿球个，红球个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是______．

14.  如图，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接，，设为，为，关于的函数图象如图，则的最大值为______ ．

 

15.  折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片，其中，，，找出的中点，在上找任意一点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为点，小明发现，当点的位置不同时，与的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当时，的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

16.  解方程：；
解不等式组：．

四、解答题（本大题共7小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
中考前夕，某校备考时，举行了一次模拟考试，历史老师刘老师为了解本年级学生的历史成绩，现从九年级一班和二班中各随机抽取名学生的历史成绩满分分，分及分以上为等级，分及分以上且分以下为等级，分及分以上且分以下为等级，分以下为等级进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
九年级一班名学生的历史模拟成绩单位：分分别为：


九年级二班名学生的历史模拟成绩统计图如图所示．

两个班抽取的学生的历史模拟成绩的平均数、众数、中位数如表：

请你根据上面提供的所有信息，解容下列问题：
表中的        ，        ，        ；
根据以上数据，你认为在此次模拟考试中，九年级一班的成绩好还是九年级二班的成绩好？请说明理由说明一条理由即可；
已知学校九年级共名学生参加了此次模拟考试，通过计算，请你估计此次历史模拟考试成绩为等级的学生人数．

18.  本小题分
如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
求这个反比例函数的解析式；
尺规作图保留作图痕迹，不写作法：
作的垂直平分线，垂足为点；
在第二象限找一点，；
直接写出点的坐标．

19.  本小题分
如图，城市在城市正北方向处，城市在城市正东方向上，在城市测得城市在的西偏北方向上，汽车和汽车同时从城市出发，分别在笔直的公路上驶往，两城市，当汽车距城市为时，发现汽车在汽车的西偏北方向上，求此时汽车与城市的距离结果精确到，参考数据：，，，

20.  本小题分
如图，中，，以直角边为直径作，点为上一点，连接，，交于点，若．
求证：；
已知，，求的长．

21.  本小题分
某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用干元、乙厂的总费用千元与印制证书数量千个的函数关系图分别如图中甲、乙所示．

甲厂的制版费为______千元，印刷费为平均每个______元，甲厂的费用与证书数量之间的函数关系式为______．
当印制证书数量不超过千个时，乙厂的印刷费为平均每个______ 元；
当印制证书数量超过千个时，求乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式；
若该单位需印制证书数量为千个，该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由．

22.  本小题分
已知二次函数．
若该二次函数的图象经过和两点．
求这个二次函数的解析式；
若经过点的直线与该二次函数位于第一象限的图象只有一个交点，请在图中结合函数图象，求的取值范围；
若，该二次函数位于轴上方的图象与轴构成的封闭图形不包括边界有个整点，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
如图，矩形中，点为上一点，，点为直线上一个动点，将射线绕点逆时针旋转交直线于点．

当为等腰直角三角形时，
如图，当点落在线段上时，试判断，，的数量关系______ ；
如图，当点落在射线上时，中的结论是否变化，若不变，请证明若变化，请说明理由；
如图，若其他条件不变，中，，，，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；
所以，的绝对值等于．
故选：．
利用绝对值的意义求解．
本题考查绝对值的含义，即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：名学生的问卷调查情况是总体，说法正确，故本选项不合题意；
B.名学生的问卷调查情况是样本，说法正确，故本选项不合题意；
C.是样本容量，原说法错误，故本选项符合题意；
D.每一名学生的问卷调查情况是个体，说法正确，故本选项不合题意．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
本题主要考查了总体、个体、样本和样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本的区别，关键是明确考查对象的范围．样本容量只是个数字，没有单位．
 

4.【答案】 

【解析】解：，点恰好为的中点，
，
，
，
故选：．
先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
方程无实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
从左到右第一个展开图相对的两个面的点数之和分别是、、；
第二个展开图相对的两个面的点数之和分别是、、；
第三个展开图相对的两个面的点数之和都等于；
第四个展开图相对的两个面的点数之和都等于；
所以可以做成正方体骰子的有个．
故选：．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法作答．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
故选：．
此题中的等量关系有：将绳子折成四等份，井外余绳尺；将绳子折成五等份，井外余绳尺．据此列方程组即可．
本题主要考查了实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，如图，以为圆心的圆弧与相切于点，
，
，
，，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
阴影部分的面积


故选：．
连接，如图，先利用切线的性质得到，则可计算出，再在中计算出，接着在中计算出，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形和扇形的面积公式．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，作于，
，
、、、四点共圆，
是直径，
，
，
，，
，，
中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
连接，作于，易证得、、、四点共圆，根据圆周角定理得出，即，利用射影定理得出，求得，然后根据平行线分线段成比例定理得出，求得，，，从而求得点的坐标为
本题考查了坐标与图形的变化旋转，圆周角定理，勾股定理以及射影定理的应用，平行线分线段成比例定理，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
利用零指数幂运算法则、负整数指数幂运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，做题关键是掌握零指数幂运算法则、负整数指数幂运算法则．
 

12.【答案】，答案不唯一 

【解析】解：设反比例函数的解析式为，因为经过，
，
反比例函数的解析式为．
故经过点的函数解析式为，答案不唯一．
根据点的坐标，用待定系数法求出函数的解析式．
本题是开放性试题，考查了待定系数法求反比例函数或一次函数的解析式．
 

13.【答案】 

【解析】解：用列表法表示出所有可能出现的情况如下：

共有种等可能出现的情况，其中都是红球的有种，
．
故答案为：．
用列表法或树状图法表示出所有可能出现的情况，再根据概率公式进行计算即可．
本题考查用列表法、树状图法求随机事件发生的概率，在利用列表法或树状图法求随机事件发生的概率时一定要注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图可知，当时，，
即当点在点时，，
点为的中点，四边形为矩形，
，，
当点在上运动时，逐渐增大，当点到点时，从图中的拐点可知，此时，
，
当点运动到点时，最大，
此时．
故答案为：．
由可可得，则，再利用图中的拐点得出，于是根据勾股定理求得，当点运动到点时，最大，再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、勾股定理，正确理解函数图象，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图中，当，延长交于点．

，，，
，
，，
由翻折变换的性质可知，，，
，
，
，
，
．
如图中，当于点时，同法可得，

，
，
．
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
分两种情形：如图中，当，延长交于点如图中，当于点时，分别求出，可得结论．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：解方程：，
去分母得：，
去括号得：，
合并同类项得：，
移项得：，
检验：是方程的解，
分式方程的解为：；
解不等式组：，
，
移项得：，
系数化为得：，
，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
不等式组的解集为：． 

【解析】利用解分式方程的步骤，去分母，移项，合并同类项，系数化为，检验根，求解即可；
分别解两个不等式，再求交集或并集．
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元一次不等式组的方法与步骤．
 

17.【答案】     

【解析】解：九年级一班名学生成绩中出现次数最多，出现次，
所以其众数，
九年级二班成绩的众数，中位数，
故答案为：，，；
九年级二班成绩好，
由表知，九年级二班惩戒平均数和中位数均大于九年级一班，
所以九年级二班的平均水平和高分人数均比九年级一班高；
人，
答：估计此次历史模拟考试成绩为等级的学生人数约为人．
根据众数和中位数的定义求解即可；
根据平均数和中位数的意义求解即可；
总人数乘以样本中等级人数所占比例即可．
本题考查用样本估计总体及众数和中位数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：正比例函数的图象经过点，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
如图所示；
分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交第二象限于点，则点即为所求；
点和点是关于点中心对称，点，
点，
点是的中点，
，
，，
，
，
过点作轴于，
在射线上取一点，使，
在和中，
，
≌，
，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设，
，
，，
点的坐标为 

【解析】根据正比例函数的图象经过点，得到方程，解方程得到，把点代入即可得到结论；
根据线段垂直平分线的作法作出图形即可；
分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交第二象限于点于是得到结论；
根据轴对称的性质得到点，求得，根据勾股定理得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的解析式为，得到直线的解析式为，设，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，基本作图，正确地作出图形是解题的关键．
 

19.【答案】解：过点作于点，过点作于点，

由题意，知四边形为矩形，
，，
，
，
设，
在中，
，，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
经检验，是原分式方程的根．
答：汽车与城市的距离约为． 

【解析】过点作于点，过点作于点，设，在中，用表示出，，进而可用表示出，，再在中，利用三角函数关系列方程即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用方向角，根据已知条件构造出适合解题的直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
即：，
，
为的直径，
，
，
，，
，
又，
，
，
．
解：设与交于点，

在中，，，
由勾股定理得：，
为的直径，
，
即：，
由可知：，
，
由三角形的面积得：，
即：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：
，
，
． 

【解析】首先根据得，进而根据可证，据此可得出结论；
设与交于点，根据是直径得出，再利用的结论得，进而得，然后利用勾股定理求出，进一步利用三角形的面积求出，再用勾股定理求出，继而可求出．
此题主要考查了圆周角，等腰三角形的判定及心爱，勾股定理等，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角，熟练利用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解答此题的难点．
 

21.【答案】，，；
；
设，
由图可知，当时，，
所以函数图象经过点和，
所以把和代入，
得，
解得，所以与之间的函数关系式为；
当时，，；
千元
即，当印制千张证书时，选择乙厂，节省费用元． 

【解析】

解：制版费千元，，证书单价元；故答案为：；；；
当印制证书数量不超过千个时，乙厂的印刷费为平均每个元，故答案为：；
见答案；
见答案．
【分析】
结合图象便可看出是关于的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为千元，一次函数的斜率为即为证书的单价；
用到千个时的费用除以证件个数计算即可得解；
设函数解析式后用待定系数法解答即可；
分别求出甲乙两车的费用关于证书个数的函数，将分别代入两个函数，可得出选择乙厂可省元．
本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，是各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题．  

22.【答案】解：将和代入得，
解得，
；
把代入得，
整理得，
，
，
顶点为，
把代入得，
抛物线经过原点，
将代入得，
将代入得，
解得，
满足题意．
令，整理得，
，
解得，
抛物线的顶点为，
，
的取值范围是或；

，
抛物线顶点坐标为，
时，抛物线开口向上，与轴无交点，不符合题意．
时，抛物线开口向下，
如图，

当区域内包含整点，，，，，，时满足题意，
当抛物线过点时，则，解得，
当抛物线过时，则，解得，
该二次函数位于轴上方的图象与轴构成的封闭图形不包括边界有个整点，的取值范围是． 

【解析】将和代入函数解析式求解．
把代入得，然后由二次函数解析式可得抛物线顶点，经过点，，将坐标分别代入直线解析式求解．
根据抛物线对称轴为直线，通过数形结合可得区域内有七个整点分别为，，，，，，，进而求解．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质，通过数形结合求解．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，连接，

为等腰直角三角形，，
，
四边形为矩形，
，，
，，
，
由旋转可知，，
、、、四点在以为直径的圆上，
，
为等腰直角三角形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
即；
故答案为：；
中的结论会变化，理由如下：
过点作的反向延长线于点，连接，

由可得，，，，
，
，
即；
当点射线上时，如图，过点作于点，连接，

四边形为矩形，
，，
，
，
，即，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，
由旋转可知，，
、、、四点在以为直径的圆上，
，
，，
，
，
∽，
，即，
；
当点射线上时，如图，过点作的延长线于点，连接，

四边形为矩形，
，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，
由旋转可知，，
、、、四点在以为直径的圆上，
，即，
，
∽，
，即，
；
综上，的长为或．
过点作于点，连接，根据等腰三角形和矩形的性质易得，，，由旋转可知，，于是可得、、、四点在以为直径的圆上，根据等弦所对的圆周角相等得，则，根据等角的余角相等可得，以此可通过证明≌，得到，易得，利用线段之间关系得到，以此即可得到结论；
仿照的解法，此时，以此即可得到结论；
分两种情况讨论：当点射线上时，过点作于点，连接，易得，于是在中，，，则，在中，，由旋转可知，得到、、、四点在以为直径的圆上，由同弦所对圆周角相等可得，利用等角的余角相等可得，以此可证明∽，最后利用相似三角形的性质即可求出的值；当点射线上时，仿照上述解题方法即可求解．
本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、四点共圆、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，属于四边形的综合题，解题关键是学会添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．