2023年广东省汕头市潮南区陈店镇中考数学三模试卷（含解析）

2023年广东省汕头市潮南区陈店镇中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  中国大陆芯片领域的龙头企业“中芯国际”目前已经实现工艺芯片的量产，使中国集成电路制造技术与世界最先进工艺拉近了距离数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  我国古代数学家利用“牟合方盖”如图甲找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是

 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

7.  某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是，，，，，，，对于这组数据，下列判断中错误的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

8.  如图，在边长为的正方形网格中，点，，在格点上，以为直径的圆过，两点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点若，，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，那么的长等于(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：______．

12.  拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是，坝高，则坡面的长度是______
 

13.  如图，，，，则的度数是______ ．

14.  如图，，，请添加一个条件______，使≌．

15.  如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接若，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票除正面内容不同外，其余均相同背面朝上，洗匀放好．
小明从中随机抽取一张邮票是“立春”的概率是        ．
小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率这三张邮票依次分别用字母，，表示．

18.  本小题分
以下是某同学化简分式的部分运算过程：

上面的运算过程中第______步出现了错误；
请你写出完整的解答过程．

19.  本小题分
为了落实双减政策，促进学生全面发展，某学校计划购买一批排球和实心球已知排球的单价是实心球单价的倍，若用元购进排球的数量比用元购进实心球的数量少个．
求排球和实心球的单价分别是多少元？
该学校计划用不多于元购进排球和实心球共个，最多可以购买多少个排球？

20.  本小题分
消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂米米是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角，转动点距离地面的高度为米．

当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为______米．
某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由参考数据：提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度
 

21.  本小题分
如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交延长线于点，为上一点，且．
求证：为的切线；
若，，求的长．

22.  本小题分
如图，已知正方形在边上取点，连接将沿着翻折，点的对应点是连接，，过点作，交的延长线于点，连接．
若，求的正切值．
求的大小．
当落在上时，证明：．

23.  本小题分
如图，已知抛物线顶点坐标为，交轴于点，交直线：于点，点在轴上，连接并延长，交抛物线于点．
求抛物线解析式；
如图，为直线上位于点下方一动点，连、、，若，求点坐标；
如图，在的条件下，为射线上一点，作直线于点，若为直角三角形，请求出点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
即．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据科学记数法的表示形式，确定，前面的个数为得到的指数为，得出结果．
本题考查利用科学记数法把绝对值较小的数表示为的形式，其中，等于第一个非的数字前面的个数．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法判断选项；根据去括号法则判断选项；根据单项式乘多项式判断选项；根据完全平方公式判断选项．
本题考查了整式的混合运算，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．
根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为个正方形组合体，进而得出答案即可．
【解答】
解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，
得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：由反比例函数的几何意义可得，
四边形的面积．
故选：．
由反比例函数的几何意义可直接解答．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，牢记性质并应用是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意有，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
求出方程判别式的值，判断其与的大小关系，再判断每个选项的说法正确与否即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
 

7.【答案】 

【解析】解：平均数，；
按从小到大排列为：，，，，，，，
中位数是；
出现了次，次数最多，
众数是；
方差．
所以D错误．
故选：．
由题意可知：这组数据的平均数；总数个数是奇数的，按从小到大的顺序排列，取中间的那个数便为中位数，按此方法求中位数；一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数，这组数据出现次数最多，由此求出众数；一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，按此方法计算方差．
考查了方差，加权平均数，中位数及众数的知识，正确理解中位数、众数及方差的概念，是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是圆的直径，
，
，

，
．
故选：．
由圆周角定理得到，求出即可解决问题．
本题考查圆周角定理，锐角的正弦值，掌握圆周角定理，三角函数定义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作图可知平分，
，
，，
，，
，
．
故选：．
利用等腰三角形的三线合一的性质证明，，利用勾股定理求出，可得结论．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：
如图，作轴，以为坐标原点建立直角坐标系，为轴，为轴，则．
设，由于点为以一边向三角形外作正方形的中心，
，，
，
，，
，
在和中，

≌，
，，
设，
为中点，
为梯形的中位线，
，
又，
点坐标为，
根据题意得：，
解得，则．
故选：．
以为坐标原点建立直角坐标系，为轴，为轴，设，可得点坐标为，根据勾股定理即可求出边的长．
本题考查了正方形的性质和解直角三角形，勾股定理的知识，解题的关键是在建立的直角坐标系中得出正方形的中心点坐标．
 

11.【答案】 

【解析】先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查因式分解的提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关键．
解：，
，
．
故答案为：．
 

12.【答案】 

【解析】解：迎水坡的坡比是：，坝高，
，
解得，
则．
故答案为：．
利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由可得，利用三角形的外角可得，又因为，所以可求出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，掌握平行线的性质以及三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
，
，
在和中，

≌，
故答案为：答案不唯一．
根据等式的性质可得，然后再利用全等三角形的判定方法，或即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
，
，
点为中点，
为的中位线，
．
故答案为：．
由可得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解．
本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：一共有三种可能，抽到立春；
列树状图：

至少一张雨水．
根据概率公式解答；
列树状图解答．
本题考查了列表法与树状图，明白列举法的意义是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：第步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：；
原式，
，
，
，
．
故答案为：．
根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：设实心球单价为元，
根据题意，得，
解得，
元，
答：排球单价为元，实心球单价为元；
设学校购买个排球，
根据题意，得，
解得，
答：最多可以购买个排球． 

【解析】设实心球单价为元，根据用元购进排球的数量比用元购进实心球的数量少个，列分式方程，求解即可；
设学校购买个排球，根据学校计划用不多于元购进排球和实心球共个，列一元一次不等式，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为．

由题意知：四边形是矩形．
米，．
，
．
在中，
，的长度为米，


米．


米．
答：云梯消防车最高点距离地面的高度的长为米；
故答案为：；
如图，过点作，交的延长线于点．

当米，时，
．
在中，
，





米．


米．
由题意知，四边形是矩形，
米，
，
该消防车能够实施有效救援．
过点作，垂足为先在中求出，再利用直角三角形的边角间关系求出；
先计算当长米、时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系及线段的和差关系是解决本题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
，
．
，
，
，
．
，
是的半径，
为的切线；
解：设与交与点，连接，，如图，

为的直径，
，
，
四边形为矩形．
．
在中，
，，
．
设，则．
，
，
解得：，
，．
．
，，
∽．
，
，
．
． 

【解析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可；
设与交与点，连接，，利用圆周角定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理求得，设，则，利用勾股定理列出方程求得值，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
 

22.【答案】解：将沿着翻折，
，，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
；
解：将沿着翻折，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：当落在上时，如图所示，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】由翻折的性质得为等边三角形，从而可证，可得答案；
由等边对等角说明，得出，进而解决问题；
说明∽，得，再由，即可证明结论．
本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：设抛物线的解析式为，
将代入，得，解得，
抛物线的解析式为，
即．
当时，，
．
由，设直线的解析式为，
则，解得，
，
由，得，，
；
轴，且，
，
；
设，
轴，
，
，
解得，
．
设直线的解析式为，
则，解得，
．
如图，设交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，
则，，，
在上取点，连接、、，
，，
，
，，
，，
、、、、都是等腰直角三角形，
，
；
，
，
．
，
，
当与重合时，则，此时；
当与重合时，则，此时；
如图，，作于点，交的延长线于点，
设，则，，
，，，
，，
∽，
，
，
解得，
．
综上所述，点的坐标为或或． 

【解析】根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将代入得到关于的方程，解方程求出的值即可得到抛物线的解析式；
求出直线的解析式并且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出点的坐标，由且轴，求出的值，再求的值，设点的坐标为，根据的面积列方程求出的值，从而得到点的坐标；
先求直线的解析式，会发现直线与坐标轴成角，根据这一特点画出图形，按不同的位置进行分类讨论，求出点的坐标．
此题重点考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质以及在平面直角坐标系中求面积等知识和方法，还涉及分类讨论思想的运用，解题的关键是正确地作出辅助线，根据题中条件和图形的特点列出相应的方程，此题计算量大，综合性强，属于考试压轴题．