2023年河南省洛阳市孟津县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年河南省洛阳市孟津县中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省洛阳市孟津县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列各数中，最小的有理数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图所示的几何体的主视图是(    )A.
B.
C.
D. 3.  已知显微镜下肆虐横行的被人们称为“大毒王”的新冠病毒变异毒株奥密克戎直径约为米，该长度用科学记数法表示为(    )A. 米 B. 米 C. 米 D. 米4.  如图，直线，相交于点，，垂直为点，，则(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )A.  B.
C.  D. 7.  如图所示，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为(    )
 A.  B.  C.   D. 8.  已知，，为常数，点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为(    )A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判定9.  A、两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系对于以下说法：乙车出发小时后甲才出发；两人相遇时，他们离开地；甲的速度是，乙的速度是；当乙车出发小时时，两车相距其中正确的结论是(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，其中点的坐标为，第次将菱形绕着点逆时针旋转，同时扩大为原来的倍得到菱形即，第次将菱形绕着点逆时针再旋转，同时扩大为原来的倍得到菱形即，第次将菱形绕着点逆时针再旋转，同时扩大为原来的倍得到菱形即，依次类推，则点的坐标为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.  若代数式有意义，则实数的取值范围是          ．12.  写出一个函数，当时，随的增大而减小，这个函数的解析式可以是        ．13.  用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是______红色和蓝色配成紫色
 
14.  如图，等边内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称若等边的边长为，则圆中的黑色部分的面积是        ．
 15.  如图，直角三角形纸片中，，，点为的中点，点为一动点不与端点重合，且，沿直线折叠该纸片，点的对应点为，再沿直线折叠该纸片，点的对应点为，设点，之间的距离为，则的取值范围为______ ．
 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
计算：；
化简：．17.  本小题分
甲、乙两班各推选名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了个球，根据两个班选手的进球数，制作了如下统计图及数据分析表．
班级平均数中位数众数甲乙写出表格中，，的值： ______ ， ______ ， ______ ；
如果要从这两个班中选出一个班参加学校的投篮比赛，你认为应该选择哪个班比较合适？为什么？18.  本小题分
西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量与燃烧时间之间的函数关系如图所示，其中当时，是的正比例函数，当时，是的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
求当时，与的函数关系式；
药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于的时间超过分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？
19.  本小题分
图是电脑及电脑支架实物图，图是其示意图，是电脑屏幕，托杠，支杠，，，为固定点，，支杠，可分别绕着点，旋转，点，分别在，上滑动．当电脑及电脑支架按如图所示的方式放置时，．
求的度数．
当，时，试通过计算说明点是否位于点的正上方．参考数据：，，
 20.  本小题分
近两年，共享经济快速崛起，共享汽车、共享单车、共享雨伞、共享、共享充电宝等等现南宁市计划在城区再投放一批“共享新能源汽车”，这批汽车分为，两种不同款型，其中型车单价万元，型车单价万元．
今年年初，“共享新能源汽车”再投放在城区正式启动，投放，两种款型的汽车共辆，总价值万元试问本次试点投放的型车与型车各多少辆？
为鼓励市民绿色出行，特推出以下优惠活动：
优惠卡：保证金元还车可退回，每小时内含小时元；
卡：会员费元不退还，每小时内含小时元．
若市民出行每次用车均不超过小时，如何选择才能使一年内租用共享汽车最合算．21.  本小题分
如图，四边形内接于，是直径，点是的中点．
求证：；
连接交于点，若，，求的半径．
22.  本小题分
燃放烟花是一种常见的喜庆活动如图，小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度单位：随飞行时间单位：变化的规律如表： 飞行时间飞行高度求第一枚花弹的飞行高度与飞行时间的函数解析式；不要求写出自变量的取值范围
为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
23.  本小题分
在等边三角形中，点是线段上一点，点是直线上一动点，连接，把射线绕点顺时针旋转，与直线相交于点．
若点为线段中点．
如图，当点在线段上，且时，请直接写出线段与的数量关系：______ ；
如图，当点落在线段上，点落在射线上时，中的结论是否仍然成立？请结合图说明理由；
如图，若点为边上靠近点的三等分点当：：时，直接写出的值．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
最小的有理数是，
故选：．
根据正数都大于，负数都小于，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小；进行比较，即可求解．
本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：从正面看，是一个等腰三角形．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 3.【答案】 【解析】解：米米．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是关键．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用对顶角的定义结合垂线的定义得出求出即可．
此题主要考查了对顶角以及垂线的定义，得出度数是解题关键．
 5.【答案】 【解析】解：、，本选项错误．
B、和不是同类项，本选项错误．
C、，本选项正确．
D、，本选项错误．
故选：．
利用合并同类项法则，单项式乘单项式，积的乘方性质同底数幂乘除法判断即可．
本题主要考查合并同类项，单项式乘单项式，积的乘方运算与幂的乘方运算，同底数幂的运算，掌握运算法则是解决此题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

故选：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题分两部分求解，首先设不规则图案的面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，继而根据折线图用频率估算概率，综合以上列方程求解即可．
本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行题目创新，解题的关键在于理解题意，能从复杂的题目背景中找到考点化繁为简．
【解答】解：假设不规则图案的面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为，
综上：，
解得：，
不规则图案的面积大约为，
故选：．  8.【答案】 【解析】解：点在第四象限，
，，
，
方程的判别式，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 9.【答案】 【解析】解：由图可得，
乙车出发小时后甲已经出发一段时间，故错误；
两人相遇时，他们离开地，故正确；
甲的速度是，乙的速度是，故正确；
当乙车出发小时时，两车相距：，故错误；
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 10.【答案】 【解析】解：点的坐标为，第次将菱形绕着点逆时针旋转，同时扩大为原来的倍得到菱形即，
的坐标为，
同理：的坐标为，即，
的坐标为，即，
的坐标为，即，
，
，
点的坐标为，
故选：．
由题意得的坐标为，同理的坐标为，即，的坐标为，即，的坐标为，即，，
再由，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质以及规律型等知识，找出点的坐标规律是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
分式有意义时，分母，据此求得的取值范围即可．
【解答】
解：依题意得：，
解得，
故答案为：．  12.【答案】，答案不唯一 【解析】解：只要使反比例系数大于即可．如，答案不唯一．
故答案为：，答案不唯一．
反比例函数的图象在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，则反比例函数的反比例系数．
本题主要考查了反比例函数的性质：时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内随的增大而减小；时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内随的增大而增大．
 13.【答案】 【解析】解：根据两个转盘的形状，画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中转到红色和蓝色的结果有种，
配得紫色的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数和配得紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：作于点，作于点，和交于点，如图所示，

，是等边三角形，
，，
，
，，
，
圆中的黑色部分的面积是：，
故答案为：
根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，然后即可计算出圆中的黑色部分的面积．
本题考查等边三角形的性质、圆的面积、三角形的内切圆与内心，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 15.【答案】 【解析】解：，，，
，
如图，设与交于点，作点关于直线的对称点，连接交于，

点与点关于对称，
，，
，
，
∽，
，
点为的中点，
，即，
，
，
，
连接，，则与关于直线对称，
、关于直线对称，且点，，共线，点，，共线，且，点在以点为圆心，为半径的上运动，
当点在上时，点、之间的距离最小，最小值为，
又，
的取值范围为．
故答案为：．
由勾股定理可得，设与交于点，作点关于直线的对称点，连接交于，由，点为的中点，可得，连接，，则与关于直线对称，由对称性可得点在以点为圆心，为半径的上运动，即可得出答案．
本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆外一点到圆上点的距离最值等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
 16.【答案】解：


；



． 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 17.【答案】     【解析】解：甲班名同学进球数从小到大排列为：、、、、、、、、、，出现的次数最多，
所以中位数，众数，
乙班名同学进球平均数为：个，
，
故答案为：，，；
乙班，理由如下：
乙班选手进球数的方差为：；
根据题意得：两个班成绩的平均数，中位数，众数相同，但甲班选手进球数的方差大于乙班选手进球数的方差，
乙班选手成绩更稳定，
应选乙班．
利用加权平均数、中位数和众数的定义直接求出；
根据方差和个人发挥的最好成绩进行选择．
本题考查了平均数，中位数，众数和方差的意义，掌握相关知识是解题的关键．
 18.【答案】解：设与的函数关系式为，
将代入，得．
，
与的函数关系式为；
当时，
点的坐标为；
由点可得所在直线表达式为，
将代入，得，
，
将代入，得，
，
分钟，
超过分钟，故是有效消毒． 【解析】首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间分钟成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
线求出点坐标，再求出线段的函数解析式，再把分别代入两个解析式求出计算即可．
本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
 19.【答案】解：如图，过点作于点．
，，
．
，
，
，
．
，，
，
，
．
如图，连接．
，
，
，
点不在点的正上方． 【解析】如图，过点作于点，构造直角在该直角三角形中，，，所以通过的余弦函数定义求解即可；
只需证得即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 20.【答案】解：设本次试点投放型车辆，型车辆，
依题意得：，
解得：．
答：本次试点投放型车辆，型车辆．
设该市民一年内使用次共享汽车，则选择优惠卡租车所需费用为元，选择卡租车所需费用为元．
当时，，
该市民一年内用车少于次时，选择优惠卡方式租车合算；
当时，，
该市民一年内用车次时，选择两种租车方式所需费用相同；
当时，，
该市民一年内用车多于次时，选择卡方式租车合算．
答：该市民一年内用车少于次时，选择优惠卡方式租车合算；该市民一年内用车次时，选择两种租车方式所需费用相同；该市民一年内用车多于次时，选择卡方式租车合算． 【解析】设本次试点投放型车辆，型车辆，利用总价单价数量，结合投放，两种款型的汽车共辆且总价值为万元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该市民一年内使用次共享汽车，则选择优惠卡租车所需费用为元，选择卡租车所需费用为元，分，及三种情况，求出的取值范围或的值，进而可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选择两种租车方式所需费用．
 21.【答案】证明：如图，连接，

点是的中点，
，
又，
，
；
解：如图，连接，交于点，设的半径为，则，

，
，
，，
，
，，
在中，，，
解得，
的半径为． 【解析】连接，根据点是的中点及圆周角定理，可以证得，据此即可证得结论；
连接，交于点，设的半径为，则，，首先根据等腰三角形的性质可证得，，再利用勾股定理列出方程，通过解方程求得相关线段的长度即可．
本题考查了圆周角定理，平行线的判定定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
 22.【答案】解：设其解析式为：，
把点，，代入得：，
解得，
故相应的函数解析式为：；
这种烟花每隔发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同，小杰发射出的第一发花弹的函数表达式为，
第二发花弹的函数表达式为．
皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，
则令，得，
解得，此时，
故花弹的爆炸高度符合安全要求． 【解析】相应的函数解析式为：；
第二发花弹达到的高度为 ；
花弹的爆炸高度符合安全要求．
本题考查了二次函数的应用，需要先根据表格中数据描点，得出函数图象，再求出其解析式，分析变化趋势，可以代值验算，第三问需要从实际问题分析转变成数学模型，从而得解．
 23.【答案】 【解析】解：；
为等边三角形，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
故答案为：；
仍然成立；
将绕点顺时针旋转，交于于点，如图所示：

，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，，
，
≌，
；
解：当点在，两点之间时，将绕点顺时针旋转，交于点，如图所示：

设等边三角形的边长为，
：：，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
；
当点在点下方时，将绕点顺时针旋转，交于于点，如图所示：

设等边三角形的边长为，
：：，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
即，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或．
根据证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
将绕点顺时针旋转，交于于点，则证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
分当点在，两点之间时，当点在点下方时，两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查几何变换的综合题，关键是根据等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答．