2023年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为．(    )

A.  B.  C.  D.

2.  南海资源丰富，其面积约为万平方千米，相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的倍．其中万用科学记数法表示为(    )

A.   B.  C.  D.

3.  下列函数中，自变量的取值范围是的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了名同学，结果如下表：

则这名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )
 

A. 长方体
B. 三棱柱
C. 三棱锥
D. 圆锥

6.  如图，，，，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点，点的坐标为，点的纵坐标是，则顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  图是变量与变量的函数关系的图象，图是变量与变量的函数关系的图象，则与的函数关系的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  写出一个比大比小的无理数用含根号的式子表示______．

10.  分解因式：          ．

11.  某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是____．

12.  反比例函数与的图象没有交点，则的取值范围为______．

13.  小文抛掷一枚质地均匀、六个面上的点数分别是的骰子，前两次抛掷向上一面的点数都是，那么第三次抛掷向上一面的点数是的概率是______ ．

14.  若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是______．

15.  如图，的半径是，是的内接三角形，过圆心分别作、、的垂线，垂足为、、，连接若，则为______ ．

16.  在中，，，若，则______

17.  已知：二次函数的图象经过点、和，当时，的值为______ ．

18.  如图，在矩形中，，，点在线段上运动连接，以为斜边作，使得，当点从点运动到点时，动点的运动路径长为        ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  计算：；
已知，求代数式的值．

四、解答题（本大题共9小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
解不等式：；
用配方法解方程：．

21.  本小题分
网瘾低龄化问题已经引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图．

请根据图中的信息，回答下列问题：
这次抽样调查中共调查了______ 人，并请补全条形统计图；
扇形统计图中岁部分的圆心角的度数是______ ；
据报道，目前我国岁网瘾人数约为万，请估计其中岁的人数．

22.  本小题分
张奖券中有张是有奖的，甲、乙先后各抽一张．
甲中奖的概率是______；
试用列树状图或列表法求甲、乙都中奖的概率．

23.  本小题分
学校师生去距学校千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的倍，求张老师骑车的速度．

24.  本小题分
如图，已知，，与交于点过点作，过点作，与交于点．
求证：≌；
求证：四边形是菱形．

25.  本小题分
如图，中，，点为上一点，且，过，，三点作，是的直径，连结．
求证：是的切线；
若，，求的直径．

26.  本小题分
如图，中，若，，，且，求的长；
如图，已知，若边上存在一点，若边上存在一点，使，且∽，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注．

 

27.  本小题分
如图，顶点为的二次函数图象经过原点，点在该图象上，交其对称轴于点，点、关于点对称，连接，．
求该二次函数的表达式；
若点的坐标是，求的面积；
当点在对称轴左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
求证：；
若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

28.  本小题分
已知在矩形中，，．
如图，点为的中点，将沿折叠，点落在点处，连接，设，求的大小用含的式子表示；
在的条件下，延长交于点，求的面积；
如图，点是边上的一个动点，将沿折叠，点落在点处，连接，，当是等腰三角形时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于，那么这两个数互为倒数根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：，
的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，因为万共有位，所以．
本题考查了科学记数法表示较大的数，准确确定是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、自变量的取值范围是全体实数，故本选项错误；
B、自变量的取值范围是，故本选项错误；
C、自变量的取值范围是，故本选项错误；
D、自变量的取值范围是，故本选项正确．
故选：．
根据被开方数大于等于，分母不等于对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为出现的次数最多，
所以众数是：元；
因为第十和第十一个数是和，
所以中位数是：元．
故选B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错
 

5.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个三角形，
则可得出该几何体是三棱柱．
故选：．
该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为三角形，易得出该几何体的形状．
此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

6.【答案】 

【解析】解：，．
．
．
．
．
故选：．
根据平行线性质即可求解．
本题考查平行线性质，关键在于熟悉两直线平行，同旁内角互补．属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了菱形的性质、点与坐标的关系．解题的关键是熟练应用菱形的性质解决问题，属于中考常考题型．首先连接交于点，由菱形中，点的坐标是，点的纵坐标是，即可求得点的坐标．
【解答】
解：连接交于点

四边形是菱形，
，，，
点的坐标是，点的纵坐标是，
，，
，
点的坐标为：．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】解：由图可设为常数，且，，由图可设为常数，，
将代入得：，
与的函数关系为一次函数关系，
，，，
，，
与的函数图象过一、二、四象限．
故选：．
由图可设为常数，且，，由图可设为常数，，将代入得，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．
本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
即为比大比小的无理数．
故答案为．
先利用，再根据算术平方根的定义有，这样就可得到满足条件的无理数．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查数量平均变化率问题．原来的数量价格为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是增长用“”，下降用“”．
设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
【解答】
解：设该药品平均每次降价的百分率为，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒元，
故，
解得或不合题意，舍去，
故该药品平均每次降价的百分率为．  

12.【答案】 

【解析】解：函数与的图象没有交点，
，即，
故答案为：．
根据反比例函数与一次函数图象的特征，得到小于，即可确定出的范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两函数的性质是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，每一次投掷都是独立事件，
即第三次抛掷向上一面的点数是的概率是，
故答案为：．
利用简单的概率公式计算即可．
本题考查了利用简单概率公式求解概率的知识，判断出每一次投掷都是独立事件，是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】

解：正多边形的一个内角是，
它的外角是：，
．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，
，
在中，，
，
，，
，，
为的中位线，
．
故答案为：．
连接，构建直角三角形：在中，利用勾股定理可和垂径定理得到，，则为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和三角形中位线性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，则．
，
．
，
，
，
．
，
，
解得，
所以．
故答案为．
设，根据等边对等角及三角形外角的性质得出，，再根据邻补角定义得出，由此列出方程，解方程即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及邻补角定义，难度适中．设出适当的未知数，用含的代数式分别表示与是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象经过点、，
抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
函数的解析式为，
即，
当时，，
故答案为：．
根据题意可得交点式，然后把代入求出值，即可求出二次函数表达式．
本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：的运动路径是线段的长，如图：

由，可得，
，
当与重合时，
，，
，
，
，，共线，
当与重合时，在上，
，，，
≌，
，
，，
≌，
，
在中，
，
，
故答案为：．
当与点重合时及与重合时，根据的位置，可知的运动路径是的长；由，可得，即得，，共线，证明≌，有，从而≌，故AF，而，即可得答案．
本题考查矩形的性质及点的运动轨迹，解题的关键是利用全等三角形的性质证明．
 

19.【答案】解：原式；
原式，
当，即时，原式． 

【解析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果；
原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
即：，． 

【解析】利用去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为的步骤解出不等式；
根据配方法解出方程即可．
本题考查的是一元一次不等式的解法、配方法解一元二次方程，掌握解一元一次不等式的一般步骤、配方法的一般步骤是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：结合条形统计图和扇形统计图得，岁的人数为人，所占的百分比为，所以调查的总人数为人．
人．
补全的条形统计图如图：

故答案为：；
岁这一组所对应的圆心角的度数为，
故答案为；

万人，
即其中岁的人数为万人．
根据岁的人数和所占的百分比求调查的人数；从调查的总人数中减去已知的三组的人数，即可得到岁的人数，据此补全条形统计图；
先计算岁的人数占调查总人数的百分比，再计算这一组所对应的圆心角的度数；
先计算调查中岁的人数所占的百分比，再乘以万，问题得解．
本题考查了条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】 

【解析】解：张奖券中有张是有奖的，
甲中奖的概率是：；
故答案为：；

设四张奖券分别为奖、奖、空、空，
列表得：

共有种等可能结果，其中甲、乙都中奖的有种情况．
．
由张奖券中有张是有奖的，直接利用概率公式求解即可求得答案；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙都中奖的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：设张老师骑车的速度为千米小时，则汽车的速度为千米小时，
由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
答：张老师骑车的速度是千米小时． 

【解析】根据题意可知：张老师骑车用的时间汽车用的时间，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．
本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
 

24.【答案】【解答】
解：在和中，
≌；
、，
四边形是平行四边形，
≌，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】

【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
利用定理可直接判定≌；
首先根据、，可判定四边形是平行四边形，再根据≌可得，进而可得，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．  

25.【答案】证明：，，
，，
，
又，
，
是的直径，
，
，
，即，
，
是的切线；
解：过点作于点，如图，
，
，
在中，，
设，，
，
，解得，
，
，
，，
∽，
，即，解得，
即的直径为． 

【解析】根据等腰三角形的性质，由，得，，则，根据圆周角定理得，，所以，然后根据切线的判定定理即可得到是的切线；
过点作于点，如图，根据等腰三角形的性质得，在中，利用正弦定义得，则设，，利用勾股定理得，所以，解得，于是得到，然后证明∽，再利用相似比可计算即可．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
 

26.【答案】解：在中，，，
，
，，
，
∽，
，
即，
解得，
故AD的长为．

如图所示，作的平分线，交于，作的垂直平分线，交于，即为所求． 

【解析】根据，得出∽，进而得到，据此可得的长．
作的平分线，交于，作的垂直平分线，交于，则，而，则∽．
本题主要考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

27.【答案】解：设二次函数的表达式为，
把点代入表达式，解得．
二次函数的表达式为，
即；

解：设直线为，
将代入，解得，
．
当时，．
．
点、关于点对称，
．
．
；

证明：设点的坐标为，
其中，
设直线为，
将代入，解得．
．
当时，．
．
．
设对称轴交轴于点，作于点，
则，．
，，，
．
则，．
．
又，
∽．
．
能为直角三角形，理由如下：
解：分三种情况考虑：
若为直角，由得：，
为等腰直角三角形，
，即，
整理得：，即，
解得：，
此时点与点重合，故不存在点使为直角三角形；
若为直角，根据勾股定理得：，
，，，
，
整理得：，
解得：或或舍去，
当时，点与原点重合，故不能为直角，
当，即时，为第四象限点，成立，故能为直角；
若为直角，可得，且，
∽，
又，且，
∽，
∽∽，
，即，
整理得：，
解得：，
此时与重合，故不能为直角，
综上，点在对称轴左侧的二次函数图象上运动时，能为直角三角形，当，即时，为第四象限的点成立． 

【解析】根据二次函数图象的顶点设出二次函数的关系式，再很据二次函数图象经过原点，求出的值，即可得出二次函数的关系式；
设直线的解析式为，将点代入，求出直线的解析式，再把代入，求出的坐标，根据点、关于点对称，求出的坐标，从而得出的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
设对称轴交轴于点，作于点，由在二次函数图象上，设，再由的坐标，表示出直线的解析式，进而表示出，及的坐标，设对称轴交轴于点，作于点，构建相似三角形：∽由相似三角形的对应角相等证得结论；
能为直角三角形，理由为：分三种情况考虑：若为直角，由得到，可得出三角形为等腰直角三角形，得到，将表示出的及代入，得到关于的方程，求出方程的解得到的值为或，进而得到此时与重合，不合题意，故不能为直角；若为直角，利用勾股定理得到，由的坐标，利用勾股定理表示出，由及，利用勾股定理表示出，由及，利用勾股定理表示出，代入，得到关于的方程，求出方程的解得到的值为或，然后判断是否为直角；若为直角，则有∽∽，由相似得比例，将各自的值代入得到关于的方程，求出方程的解得到的值为，此时与重合，故不能为直角，综上，点在对称轴左侧的二次函数图象上运动时，不能为直角三角形．
此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，两点坐标确定一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，本题中的第小问利用的是反证法，先假设结论成立，利用逻辑推理的方法得出与已知条件，定理，公理矛盾，可得出假设错误，原结论不成立．
 

28.【答案】解：四边形是矩形，
．
．
由折叠得到，
，．
点为的中点，
．
．
．
又．
．
；

如图，过点作，垂足为，的延长线于点，则．

，
，
又矩形中，，
四边形是平行四边形．
．
，
．
在中，．
设，，则，．
在中，，
，
舍去，．
．
；

若，
如图，过点作，垂足为，的延长线交于点．

矩形中，，
，
又，
．
．
在中，由勾股定理可得．
．
将沿折叠，点落在点处，
，，，
，
，，
，，
，
∽，
．
；
若，
如图，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点．

，，
．
．
中，．
．
．
；
若，
点是边上的一个动点，
，
．
不合题意，舍去．
综上，的值为或． 

【解析】根据矩形的性质得由折叠的性质可得，，由点为的中点得可得根据三角形外角的性质即可求解；
证明四边形是平行四边形．得由得即设，，则，在中，利用勾股定理求出可得的值，即可求解；
分三种情况讨论，，，，由等腰三角形的性质可求解．
本题是四边形综合题，考查了去矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．