2023年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春旗中考数学一模试卷（含解析）

2023年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春旗中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是(    )

A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形

2.  年月日时分，我国成功发射了北斗系统第颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过秒．数据“”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  九年级学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为，则所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. 不是单项式 B. 的系数是，次数是
C. 的系数是 D. 的系数是，次数是

5.  学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间单位：，分别为：，，，，这组数据的平均数、方差是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转到正方形，则它们的公共部分的面积等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，直线，截线，相交成角，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则：的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为(    )
 

A.
B.
C.
D.

11.  如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：；；当时，的取值范围是；点，都在抛物线上，则有其中结论正确的个数是(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  近似数精确到______位．

14.  若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

15.  同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为______．

16.  若关于的不等式组，有且只有个整数解，则的取值范围是______ ．

17.  分解因式：______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18.  计算：

四、解答题（本大题共8小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩得分取整数，满分为分，整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．

其中组的频数比组的频数小请根据以上信息，解答下列问题：
本次共抽取______ 名学生，的值为______ ；
在扇形统计图中， ______ ，组所占比例为______ ；
补全频数分布直方图；
若全校共有名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在分以上的学生人数．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中满足．

21.  本小题分
已知：是▱的对角线．
用直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与相交于点，连接保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，若，，求的周长．

22.  本小题分
某商店销售一种销售成本为每件元的玩具，若按每件元销售，一个月可售出件，销售价每涨元，月销量就减少件．设销售价为每件元，月销量为件，月销售利润为元．
写出与的函数解析式和与的函数解析式；
商店要在月销售成本不超过的情况下，使月销售利润达到元，销售价应定为每件多少元？
当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．

23.  本小题分
，两地间有一段笔直的高速铁路，长度为某时发生的地震对地面上以点为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响．分别从，两地处测得点的方位角如图所示，，高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．

24.  本小题分
一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，，，．
从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率直接写出结果；
先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为请用列表或画树状图法，求由，确定的点在函数的图象上的概率．

25.  本小题分
如图，是的直径，是的一条弦，点是上一点，且，，与的延长线交于点．
求证：是的切线；
若，，求直径的长．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点且直线过点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
求抛物线的函数解析式；
当的面积最大时，求点的坐标；
在的条件下，在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的内角和有关知识，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
边形的内角和是，如果已知多边形内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】
解：设这个多边形的边数为，
根据边形的内角和公式，得
，
解得．
这个多边形的边数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，
由题意得，．
故选：．
表示出汽车的速度，然后根据骑车行驶的时间等于汽车行驶的时间加时间差列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，读懂题目信息，理解两种行驶方式的时间的关系是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是单项式，故本选项说法错误，不符合题意；
B、的系数是，次数是，说法正确，符合题意；
C、的系数是，故本选项说法错误，不符合题意；
D、的系数是，次数是，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据单项式的系数和次数的概念判断即可．
本题考查的是单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
先计算出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式计算可得．
本题主要考查平均数、方差，解题的关键是掌握平均数、方差的计算公式．
 

6.【答案】 

【解析】解：交于点，连接，如图，
四边形为正方形，
，，
正方形绕点逆时针旋转到正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
，
它们的公共部分的面积．
故选：．
交于点，连接，如图，先利用正方形的性质得到，，再根据旋转的性质得到，，，接着证明≌得到，则可计算出，然后计算出，从而得到它们的公共部分的面积．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
，，
．
故选：．
根据平行线的性质求解即可．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．根据相反数的定义直接求解．
【解答】
解：的相反数是，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，连接，

四边形是菱形，
，，，，，
，
是等边三角形，
，
，点是中点，
，
设，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，交于点，连接，根据菱形的性质可得，，，，，从而可得是等边三角形，进而可得，再根据直角三角形斜边上的中线可得，然后设，则，在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角求出，从而可得，即可求出，的长，进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．
连接，，，推出是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
【解答】
解：连接，，，

由旋转知，，
，，
，
，
，
即为等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：设母线的长为，
由题意得，，
解得，
母线的长为，
故选：．
根据弧长公式列方程求解即可．
本题主要考查弧长的计算，根据展开后的半圆弧长等于圆锥形烟囱帽的底面周长列方程求解是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据函数的对称性，抛物线与轴的另外一个交点的坐标为；
函数对称轴在轴右侧，则，而，故，
故正确，符合题意；

，即，
而时，，即，
，
．
正确，符合题意；

由图象知，当时，的取值范围是，
错误，不符合题意；

从图象看，当时，，
当时，，
有，
故正确，符合题意；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

13.【答案】百 

【解析】解：，所以近似数精确到百位．
故答案为：百．
由于近似数数字在百位上，则近似数精确到百位．
本题考查了近似数和有效数字，用科学记数法表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
 

14.【答案】且 

【解析】解：根据题意，得，
解得且，
故答案为：且．
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握这两个知识点的应用，列出不等式组是解题关键．
 

15.【答案】： 

【解析】解：设的半径为，的内接正方形，
如图，过作于，连接、，即为正方形的边心距，

四边形是正方形，是正方形的外接圆，
为正方形的中心，
，
，，
，，
；
设的内接正，
如图，过作于，连接，即为正的边心距，

是正的外接圆，
，
，
：：：，
故答案为：：．
先化成同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设的半径为，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．
本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组只有个整数解，
，
解得，
故答案为：．
解每个不等式得出，根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式组，解之即可．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算，再进行加减运算即可．
此题考查的是实数的运算，掌握负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算法则是解决此题关键．
 

19.【答案】  ；
  ；
人，
“组”频数为：人，
“组”频数为：人，
补全频数分布直方图如图所示：

人，
答：估计成绩在分以上的学生人数大约为人． 

【解析】解：组的频数比组的频数小，组的频率比组的频率小，
因此调查人数为：人，
人，
故答案为：，；
，即，
“组”所占的百分比为，
故答案为：，；
见答案；
见答案．

组的频数比组的频数小，而组的频频率比组的频率小，可求出调查人数，再根据频数、频率、总数之间的关系求出的值即可；
求出“组”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数及“组”所占的百分比；
求出的值，“组”频数以及“组”频数即可；
求出样本中成绩在分以上的学生所占的百分比，即可估计整体中成绩在分以上的学生人数．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：原式


，
解方程，得，，
，
，
，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件、解一元二次方程因式分解法，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．注意分式有意义的条件：分母不等于．
 

21.【答案】解：如图，为所作；

四边形为平行四边形，
，，
点在线段的垂直平分线上，
，
的周长． 

【解析】利用基本作图作的垂直平分线得到点；
利用平行四边形的性质得到，，再根据线段垂直平分线上的性质得到，然后利用等线段代换计算的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质．
 

22.【答案】解：由题意得：
，
；
由题意得：，
解得：，，
当时，成本不符合要求，舍去，
当时，成本符合要求，
销售价应定为每件元；
，
当时，取最大值，
故销售价定为每件元时会获得最大利润元． 

【解析】根据题意一个月能售出件，若销售单价每涨元，每周销量就减少件，可得，再利用一个月的销售量每件销售利润一个月的销售利润列出一个月的销售利润为，写出与的函数关系式；
令，求出的取值即可；
根据二次函数最值的求法求解即可．
此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出二次函数关系式是解题关键．
 

23.【答案】解：如图，过作于，
，，
，，
，，
由，得，
则，
高速公路不会受到地震影响．
 

【解析】首先过作与，由题意得，，继而可得，则可求得的长，再进行比较，即可得出高速公路是否穿过地震区．
此题考查了三角函数的实际应用，此题难度适中注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
 

24.【答案】解：口袋中共有个小球，且小球上数字是奇数的有个，
摸出小球上的数字是奇数的概率为．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中点在函数的图象上的有，，共种，
由，确定的点在函数的图象上的概率为． 

【解析】直接利用概率公式可得结果．
画树状图得出所有等可能的结果数和由，确定的点在函数的图象上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、一次函数图象上点的坐标特征、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率．
 

25.【答案】解：连接，交于，

，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，交于，由等腰三角形的性质可得，，由平行线的性质和圆周角定理可得，，可证，可得结论；
由等腰三角形的性质可求，由锐角三角函数可求，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

26.【答案】解：令，得，
解得，
，
令，得，
，
点与点关于轴对称，
，
把、点坐标代入中，得
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
设，则，，
则，
的面积，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为；

由知，，，
当时，轴，则；
当时，轴，则；
当时，设，则，
即，
解得，，
或
综上，存在以，，三点为顶点的三角形是直角三角形．其点坐标为或或或 

【解析】由一次函数图象与坐标轴交点、的坐标，再由对称求得点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
设，则，，由三角形的面积公式求得的面积关于的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得的值，进而得点的坐标；
分三种情况：为直角顶点；为直角顶点；为直角顶点．分别得出点的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．