2023年四川省泸州市泸县一中中考数学三模试卷（含解析）

2023年四川省泸州市泸县一中中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的平方根为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为人以上，数据用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知实数，，，下列结论中一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列命题是真命题的是(    )

A. 四边都是相等的四边形是矩形 B. 菱形的对角线相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形

7.  小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级名同学，在近个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：

则阅读课外书数量的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  如图，为的直径，弦交于点，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  孙子算经是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知、是一元二次方程的两个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，正方形的边长为，点、分别在，上，若，且，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

12.  函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是(    )
；
；
；
将图象向上平移个单位后与直线有个交点．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  函数中自变量的取值范围是______．

14.  因式分解：______．

15.  若关于的不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是______．

16.  在中，，是的中点，平分交于点，连结交于点若，，则的长是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，已知点、、、在一条直线上，且，，．
求证：．

19.  本小题分
化简：．

20.  本小题分
为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：书法，：绘画，：摄影，：泥塑，：剪纸，张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图如图所示．
张老师调查的学生人数是______ ．
若该校共有学生名，请估计有多少名学生选修泥塑；
现有名学生，其中人选修书法，人选修绘画，人选修摄影，张老师要从这人中任选人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选人都是选修书法的概率．

 

21.  本小题分
某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为元，用元购进甲种玩具的件数与用元购进乙种玩具的件数相同．
求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
商场计划购进甲、乙两种玩具共件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过元，求商场共有几种进货方案？

22.  本小题分
如图，已知反比例函数的图象和一次函数的图象都过点，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，的面积为．
求反比例函数和一次函数的解析式；
设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为，过作轴的垂线，垂足为，求五边形的面积．

23.  本小题分
年月贵州德余高速乌江特大桥主体贯通如图，桥墩边有一斜坡，坡角为，河岸平行于水平线，长为，点到的距离为，在点处测得桥墩最高点的仰角为，点，，，，均在同一平面内参考数据：，，，，，
求斜坡的长；
求桥墩的高结果精确到．

24.  本小题分
如图，为圆的直径，为圆上一点，为延长线一点，且，于点．

求证：直线为圆的切线；
设与圆交于点，的延长线与交于点，已知，，，求的值．

25.  本小题分
如图，抛物线交轴于点和，交轴于点．

求抛物线的表达式；
是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的平方根为．
故选：．
根据平方根即可得出答案．
本题考查了平方根，熟练掌握平方根是解决此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左面看易得下面一层有个正方形，上面一层左边有个正方形，如图所示：．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和幂的乘方与积的乘方的法则，熟练掌握上述法则是解题的关键．
利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和幂的乘方与积的乘方的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】
解：，
选项的结论符合题意；
，
选项的结论不符合题意；
，
选项的结论不符合题意；
，
选项的结论不符合题意，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：由，如，但，那么不正确，故A不符合题意．
B.由，如，但，那么不正确，故B不符合题意．
C.由，如，但，那么不正确，故C不符合题意．
D.由，则，那么C正确，故D符合题意．
故选：．
根据绝对值的定义、乘方的定义、实数大小关系解决此题．
本题主要考查绝对值、乘方、实数大小比较，熟练掌握绝对值的定义、乘方的定义、实数大小关系是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、四边都是相等的四边形是菱形，故选项错误；
B、菱形的对角线互相垂直，故选项错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项正确．
故选：．
利用平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理，难度中等．
 

7.【答案】 

【解析】解：中位数为第个和第个的平均数，众数为．
故选：．
利用中位数，众数的定义即可解决问题．
本题考查了中位数和众数，解答本题的关键是掌握中位数和众数的概念．
 

8.【答案】 

【解析】解：为的直径，，
，
，
，，
，
为的直径，
，
，
，
．
故选：．
根据垂径定理的推论可得，再由圆周角定理可得，根据锐角三角函数可得，，即可求解．
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设有人，辆车，
依题意得：．
故选：．
根据若每辆车乘坐人，则空余两辆车：若每辆车乘坐人，则有人步行，列二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决问题的关键是理解题意找出题中的等量关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，，
是的一个根，
，
，
．
故选：．
由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，
首先延长到，使，可得≌、≌，利用勾股定理可得，设，利用勾股定理可得．
【解答】
解：如图，延长到，使；

连接、；
四边形为正方形，
，，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
设，则，，
，
，
，
即，
，
，
，
故选A．  

12.【答案】 

【解析】解：图象经过，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，即，正确．
由图象可得抛物线与轴交点在轴下方，
，错误．
由抛物线的开口向上可得，
，
，正确．
设抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
，
顶点坐标为，
点向上平移个单位后的坐标为，
将图象向上平移个单位后与直线有个交点，故正确；
故选：．
根据函数图象与轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，由图象可得抛物线与轴交点在轴下方，由抛物线的开口方向，对称轴位置和抛物线与轴交点位置可得的符号，求出二次函数的顶点式，可得图象向上平移个单位后与直线有个交点．
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于的不等式组．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据不等式组有两个整数解得出关于的不等式组，求出即可．
【解答】
解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
不等式组只有两个整数解，即，，
，
解得：，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：在中，，，，由勾股定理得：，
过作，交延长线于，

，
，
平分，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，，
在中，由勾股定理得：，
过作，交于，交于，

为的中点，
为的中点，为的中点，
，，
，
∽，
，
，
解得：，
故答案为：．
先根据是的平分线得出比例式，求出、的值，根据勾股定理求出和长，求出、分别是、的中点，根据相似得出比例式，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简二次根式，然后利用零指数幂、负整数指数幂的意义和绝对值的意义化简，最后计算加减．
本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是掌握相应的运算法则．
 

18.【答案】证明：，
，
即．
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
证明≌，得出即可解决问题．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
本题考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的基本性质，能进行通分和约分．
 

20.【答案】名
条形统计图中的人数为：名，
名，
即估计有名学生选修泥塑；
把人选修书法的记为、，人选修绘画的记为，人选修摄影的记为，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，所选人都是选修书法的结果有种，
所选人都是选修书法的概率为． 

【解析】解：张老师调查的学生人数为：名，
故答案为：名；

由的人数除以所占百分比即可；
求出条形统计图中的人数，再由该校共有学生人数乘以选修泥塑的学生所占比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，所选人都是选修书法的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设甲种玩具进价元件，则乙种玩具进价为元件，

，
经检验是原方程的解．
．
甲，乙两种玩具分别是元件，元件；

设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，
，
解得．
因为是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
取，，，，
共有种方案． 

【解析】设甲种玩具进价元件，则乙种玩具进价为元件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为元，用元购进甲种玩具的件数与用元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过元，可列出不等式组求解．
本题考查理解题意的能力，第一问以件数做为等量关系列方程求解，第问以玩具件数和钱数做为不等量关系列不等式组求解．
 

22.【答案】解：过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，的面积为．
，
，
在第一象限，
，
反比例函数的解析式为；
反比例函数的图象过点，
，
，
次函数的图象过点，
，解得，
一次函数的解析式为；

设直线交轴、轴于、两点，
，，
解得或，
，，
，，，，
五边形的面积为：． 

【解析】根据系数的几何意义即可求得，进而求得，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
设直线交轴、轴于、两点，求出点、的坐标，然后联立方程求得、的坐标，最后根据，根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及反比例函数系数的几何意义，求得交点坐标是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，

在中，，，
，
斜坡的长为；
延长交于点，

由题意得：，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
桥墩的高约为． 

【解析】过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：证明：于点
，
，
是的中点，又是的中点，
是的中位线，


，又点在圆上，
是圆的切线．
连接，

是直径，点在圆上，
，
，
∽，
，
，
又，
∽，
，
，
在中，． 

【解析】说明是的中位线，利用中位线的性质，得到，从而得到是圆的切线．
利用直径所对的圆周角是直角，得到是直角三角形，利用角相等，可得到∽、∽，从而得到然后求出的值．
本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点．利用三角形相似，说明是解决本题的难点和关键．
 

25.【答案】解：把点和代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
过点作轴，交于点，如图所示：

设，直线的解析式为，
由可得：，
，解得：，
直线的解析式为，
，
，
轴，
∽，
，
，
当时，的值最大，
；
由题意可得如图所示：

过点作轴的平行线，分别过点、作于，于，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
设点，
由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
，，
，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点的横坐标为或或或． 

【解析】把点和代入解析式求解即可；
过点作轴，交于点，由设，直线的解析式为，然后可求出直线的解析式，则有，进而可得，最后根据∽可进行求解；
由题意可作出图象，设，然后根据题意及型相似可进行求解．
本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．