湘豫名校联考2022-2023学年高二下学期6月阶段性考试数学试题

这是一份湘豫名校联考2022-2023学年高二下学期6月阶段性考试数学试题，共18页。试卷主要包含了 本试卷共6页， 已知，，，则， 已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

湘豫名校联考
2022—2023学年高二（下）6月阶段性考试
数 学
考生注意：
1. 本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上的指定位置，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，则z的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，且，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知在平面直角坐标系xOy中有，，三点，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某同学买了一打一次性锡纸烘焙模具，如图，模具为圆台状的托盘，高为20mm，下底部直径为40mm，上面开口圆的直径为60mm，若该同学用此模具烘焙一个蛋糕，烘焙成型后，模具开口圆上方的蛋糕膨胀，膨胀部分视为半球形，半球底面大小与模具开口圆大小相同（烘焙前后模具形状大小不发生变化，模具厚度不计），则烘焙成型后蛋糕的总体积约为[，，，r分别是上、下底面半径，h是高] （ ）

A. B. C. D.
5. 2023年3月份开始，全国多地政府和车企推出各式优惠，花式补贴卖车，部分车型补贴高达9万元.降价潮开始从新能源汽车领域卷入燃油车领域，从线下延伸到直播间.某汽车品牌的4S店在某平台进行直播卖车，每周开展A，B，C，D，E共5种车型的直播推销，每种车型安排1天进行直播推销，连排5天，则A和B两种车型直播推销时间不连排的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数的一个极大值点为，与该极大值点相邻的一个零点为，则在上的值域为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，圆A：，点P和点B分别为椭圆C和圆A上的动点，当取最小值3时，的面积为（ ）
A. B. C. 2 D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 如图，在正方体中，点E为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）

A. B. 平面
C. 与AD所成角的正弦值为 D. 直线与平面所成角的正切值为
10. 沃柑，因其口感甜柔、低酸爽口，且营养成分高，成为大家喜欢的水果之一，目前主要种植于我国广西、云南、四川、湖南等地.得益于物流的快速发展，沃柑的销量大幅增长，同时刺激了当地农民种植沃柑的热情.根据对广西某地的沃柑种植面积情况进行调查，得到统计表如下：
年份t
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
种植面积y/万亩
8
14
15
20
28
附：①样本相关系数；②为经验回归方程，，，.
根据上表，下列结论正确的是（ ）
A. 该地区这5年沃柑的种植面积的方差为212
B. 种植面积y与年份代码x的样本相关系数约为0.972（精确到0.001）
C. y关于x的经验回归方程为
D. 预测该地区沃柑种植面积最早在2027年能突破40万亩
11. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，则下列条件能得到抛物线C的方程为的是（ ）
A. 焦点为 B. 准线为
C. 与直线相交所得弦长为1 D.
12. 已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，当时，，且方程有四个不等实根，，，（），则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，
B.
C. 若方程有7个不同的实根，则
D. 若不等式恒成立，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中项的系数是______.
14. 定义阶导数的导数叫做n阶导数（，），即，分别记作，，，…，，则函数的2023阶导数的图象在点处的切线在x轴上的截距为______.
15. 已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.
16. 已知当时，不等式有解，则实数a的取值范围是______；根据前面不等式，当时，满足恒成立，则实数t的最小值为______.（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求角B；
（2）若，的平分线交BC于点D，且，求c.
18.（本小题满分12分）
茄子和黄瓜是日常可见的蔬菜，种植历史悠久.某农户在自家小院前面开辟了4块大小一致且土质相同的土地，4块土地构成长方形网格状土地（共2行2列），每块土地只种植茄子、黄瓜中的一种，4块地全部种满.若每块地种植茄子的概率为，茄子种子的出芽率为95%；每块地种植黄瓜的概率为，黄瓜种子的出芽率为98%，每块土地种植哪种蔬菜互不影响，茄子与黄瓜种子是否发芽也互不影响.
（1）（i）求恰有2块地种植茄子的概率；
（ii）求每块地蔬菜种子的出芽率；
（2）若记在每列都有种植茄子的条件下，种植黄瓜的行数（该行只要有黄瓜种植即可）为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为菱形，为等边三角形，，M，N分别是PB，CD的中点.

（1）证明：平面PAD；
（2）若三棱锥的外接球的表面积为，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知双曲线C：的离心率为，且过点.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点作直线l交双曲线C于A，B（不与点P重合）两点，且直线PA与PB关于直线对称，求点P到直线l的距离.
21.（本小题满分12分）
已知数列是公差为的等差数列，，且，，成等比数列，又数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，当时，，求数列的前项的和.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有两个不相等的实数根，，证明：.

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2022—2023学年高二（下）6月阶段性考试
数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
B
C
D
C
A
ACD
BC
BCD
ABD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D 【命题意图】本题考查复数的四则运算，考查了数学运算的核心素养.
【解析】因为，所以.所以共轭复数.故选D.
2. C 【命题意图】本题考查集合的运算和表示方法，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
【解析】因为集合，，所以解得.故选C.
3. A 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算及充分条件和必要条件的判断，考查逻辑推理、数学建模的核心素养.
【解析】因为，，所以若，则.
所以或－1，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.
4. B 【命题意图】本题考查实际问题中圆台和球的体积的计算，考查直观想象、数学运算的核心素养.
【解析】圆台状托盘的体积为，模具开口圆上方半球部分的蛋糕体积为，故烘焙成型后蛋糕的总体积约为.故选B.
5. C 【命题意图】本题考查计数原理、古典概型的概率，考查逻辑推理的核心素养.
【解析】5种车型全排列有种排法，先将C，D，E进行排列，共有种排法，再从产生的4个空位中选2个安排A和B，共有种排法，所以A和B两种车型直播推销时间不连排的概率为.故选C.
6. D 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算的核心素养.
【解析】根据题意，得，所以.又，所以，所以.因为，所以，所以.故选D.
7. C 【命题意图】本题考查函数的单调性、导数知识，考查数学运算的核心素养.
【解析】设，，则，所以单调递减.所以.所以，所以.设，，则，所以单调递增.所以.所以.所以，所以.综上所述，.故选C.
8. A 【命题意图】本题考查了椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.
【解析】由题知，所以.所以.当P，B两点在的延长线上时，等号成立.所以，所以，.所以直线的方程为，与方程联立，可得，解得（负值已舍去，其中为点P的纵坐标）.所以的面积为.故选A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. ACD 【命题意图】本题考查线线、线面位置关系及空间角的计算，考查直观想象、数学运算的核心素养.
【解析】如图，连接，由题易得，，又，所以平面.又平面，所以，A正确；若平面，因为平面平面，所以，与题意不符，B错误；因为，所以为与AD所成的角（或其补角）.连接，设正方体的棱长为2，易得平面，所以.因为，，，所以，C正确；因为为在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角，所以，D正确.故选ACD.

10. BC 【命题意图】本题考查线性回归的有关知识，考查数据分析、数学运算的核心素养.
【解析】根据题意，得，，，A错误；由题意得，，，所以，B正确；所以，.所以y关于x的经验回归方程为，C正确；令，得，所以最小的整数为8，，所以该地区沃柑种植面积最早在2025年能突破40万亩，D错误.故选BC.
11. BCD 【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学运算的核心素养.
【解析】抛物线C的焦点应在y轴上，A错误；由准线为，知，解得，所以抛物线C的方程为，B正确；将直线代入，解得，所以直线与抛物线C相交所得弦长为，解得，所以抛物线C的方程为，C正确；设，，直线AB的方程为，代入可得，，所以，故，从而.所以，故抛物线C的方程为，D正确.故选BCD.
12. ABD 【命题意图】本题考查函数的性质、图象、零点问题，考查直观想象、数学运算的核心素养.
【解析】当时，，所以.又，所以，A正确；函数的大致图象如图所示，当方程有四个不等实根，，，（）时，，关于对称，，关于对称，所以，B正确；因为，所以或.当时，对应的根有4个，所以需有3个根.所以，C错误；因为，所以，所以.因为，所以.因为，所以不等式恒成立，即恒成立.因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以.D正确.故选ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 380 【命题意图】本题考查了二项式定理的应用，考查数学运算的核心素养.
【解析】因为，的通项公式为，所以项的系数为.
14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义的应用，考查数学运算的核心素养.
【解析】因为，，…，，又，，，所以切线方程为.故切线在x轴上的截距为.
15. 【命题意图】本题考查圆的方程、两圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.
【解析】因为：的圆心坐标为，所以，所以.所以：，两圆的方程相减可得相交弦方程为.
16. ；（第一个空2分，第二个空3分） 【命题意图】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.
【解析】（1）因为当时，有解，所以有解.设，即证有解，则.因为，所以.设.
①当时，在上单调递增，所以，所以.所以在上单调递增，所以，不满足条件；②当时，因为，在上先减后增，所以，使得.所以，在上先负后正，即，使得.所以当时，，单调递减.所以当时，，满足题意.综上所述，.
（2）当，时，，令，则，所以.所以，故实数t的最小值为.
四、解答题：共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【命题意图】本题考查三角变换、正弦定理、余弦定理的应用，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.
【解析】（1）因为，
所以，
所以.
所以，所以，即.……3分
（2）因为，
所以由正弦定理，得.
所以.……5分
所以或（不合题意，舍去）.……6分
故.……7分
在中，，
由正弦定理，得，
所以.……9分
故.……10分
18.【命题意图】本题考查相互独立事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望，考查数据分析、数学运算的核心素养.
【解析】（1）（i）恰有2块地种植茄子的概率为.……2分
（ii）每块地蔬菜种子的出芽率为.……4分
（2）由已知可得，X的取值可能为0，1，2，记事件为“种植黄瓜的行数为k”（），
记事件B为“每列都有种植茄子”，则.……5分
所以，……6分
，……8分
.……10分
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



所以.……12分
19.【命题意图】本题考查线面平行的关系、利用空间向量求平面的夹角，考查逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】（1）如图1取AB的中点O，连接ON，OM.
因为N为CD的中点，所以.
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.……1分
因为M为PB的中点，所以.
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.……2分
又，所以平面平面PAD.……3分
因为平面MON，所以平面PAD.……4分

（2）如图2，连接OC，OP，易得.
因为平面平面ABCD，平面平面，
又，所以平面ABCD.
因为平面ABCD，所以.
又，，所以平面POC.
设三棱锥的外接球的球心为G（图中未画出），半径为R，则球心G与、的中心以及点O构成正方形.……5分
设，则，，
所以，
所以.
因为三棱锥外接球的表面积为，所以.……6分
以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图2所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.……7分
设平面PBC的法向量为，
则，所以，解得.
令，可得平面PBC的一个法向量为.……8分
设平面PCD的法向量为，
则，所以，解得.
令，得平面PCD的一个法向量为.……9分
设平面PBC与平面PCD的夹角为，则.
故平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为.……12分

20.【命题意图】本题考查双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系，考查数学运算的核心素养.
【解析】（1）因为双曲线C的离心率为，所以.
又，所以，所以.……2分
因为双曲线C过点，所以，所以，所以.……4分
所以双曲线C的标准方程为.……5分
（2）由题可得直线PA，PB的斜率存在且不为零.
设直线PA的方程为，直线PB的方程为，
，，……6分
联立方程，整理得，
，则.
所以，……7分
所以.……8分
同理可得.……9分
所以，
故直线l的方程为.……11分
所以点P到直线l的距离为.……12分
21.【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的有关计算，与的关系，错位相减法求和，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
【解析】（1）由题意，得，即，
化简得，解得或.
又，所以.……2分
所以.
又因为当时，，即；……3分
当时，，
所以，所以.……4分
所以是首项为2，公比为2的等比数列，故.……5分
（2）当时，，共项；
当时，，共项；
当时，，共项；
…
当时，，共项，……7分
以上共有项.
所以数列的前项的和为.……9分
记，
则.……10分
上述两个等式作差可得，
所以.……11分
因此，数列的前项的和为.……12分
22.【命题意图】本题考查了利用导数研究函数的单调性、解不等式、证明不等式，考查数学运算的核心素养.
【解析】（1）由，得.
所以，所以.……2分
因为，所以.又因为，
所以可设，，则.
当时，，可得函数在上单调递增，
所以，即.
故不等式的解集为.……4分
（2）等价于，……5分
令，其中，则，显然.所以.
令，则，
所以在，上单调递减，在上单调递增.
所以.……7分
因为方程有两个不相等的实数根，，
所以关于t的方程有两个不相等的实数根，，且，.
要证，即证，
即证，只需证.……8分
因为，所以，
整理可得.……9分
不妨设，则只需证，
即证.……10分
令，，，则只需证即可.
因为，所以在上单调递增.
所以.
故.……12分