2022-2023学年云南省教育联盟高一上学期1月期末学业水平测试数学试题含解析

2022-2023学年云南省教育联盟高一上学期1月期末学业水平测试数学试题

一、单选题

1．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由解得，由集合的包含关系判断必要性、充分性即可

【详解】由解得，

则由真包含于可得“”是“”的必要不充分条件.

故选：B．

2．已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是减函数

C．是偶函数，且在上是增函数 D．是偶函数，且在上是减函数

【答案】C

【分析】求出函数定义域，求出的表达式即可判断奇偶性. 当，，可知函数在上单调递增，即可得出答案.

【详解】由已知可得，的定义域为，关于原点对称.

又，所以为偶函数.

当，，因为在上是增函数，所以在上是增函数.

故选：C.

3．下列函数中与函数是同一个函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由同一函数的概念逐项分析判断即可．

【详解】函数的定义域为，

对于A：函数与不是同一函数，选项A错误；

对于B：且定义域为，与是同一函数，选项B正确；

对于C：且定义域为，与不是同一函数，选项C错误；

对于D：且定义域为，与不是同一函数，选项D错误．

故选：B．

【点睛】本题考查同一函数的判断，属于基础题．

4．奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则的值为（    ）

A．2 B．1 C．－1 D．－2

【答案】D

【分析】由已知函数的奇偶性可先求出函数的周期，结合奇偶性及函数的周期性把所求函数值转化可求．

【详解】由为偶函数，∴，

令，则，即，

因为为奇函数，有，所以，

令，得，∴，即函数是周期为4的周期函数，

奇函数中，已知，，

则．

故选：D．

5．设，，函数，若恒成立，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据函数的解析式进行分类讨论，当时，结合二次函数的图象和性质即可求解.

【详解】因为，

当时，恒成立，

当时，恒成立，

则恒成立，因为，

则有，故，

故选：.

6．已知实数和满足，．则下列关系式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由已知条件指对数转化得到的值,再根据基本不等式得到BCD错误, A正确.

【详解】由已知，，故且，，

对于A,，故A成立．

对于B,,故B错误.

对于C,,故C错误.

对于D,,故D错误

故选: A.

7．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的性质和特殊值排除部分选项可得答案.

【详解】若函数有意义，则，解得，

所以函数的定义域为；

因为，所以；

所以为定义域上的偶函数，图像关于轴对称，可排除选项A，C；

当时, ,排除选项B．

故选：D．

8．设方程，，的实数根分别为，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用零点存在性定理分别求出根的范围即可判断．

【详解】构建，可知在定义域内单调递增，且，

所以的实数根，

构建，可知在定义域内单调递增，且，

所以的实数根，

构建，可知在定义域内单调递增，且，

所以的实数根，

.

故选：A.

【点睛】本题考查了指数函数对数函数的性质以及方程根的问题，属于基础题

二、多选题

9．已知实数，，满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用指数函数的单调性可判断A，由对数函数的单调性及换底公式可判断B；由对数函数、幂函数的单调性可判断C；由指数与对数的单调性与中间值作比较，即可判断D．

【详解】解：因为，所以函数为增函数，又，所以，故A正确；

因为，所以函数为增函数，又，所以，

即，所以，故B错误；

在时，而在时，所以，故C正确；

因为，所以，，故，故D正确．

故选：ACD．

10．下列命题中，正确的是（    ）

A．函数的最小值为2

B．若，则的最大值为

C．若，则的最小值为2

D．若正实数满足，则的最小值为9

【答案】ABD

【分析】对于A，由于且，由基本不等式可得，当时取“”，从而即可判断；

对于B，由于，所以，所以，由基本不等式的性质求解即可；

对于C，由于，所以，当时取“”，即可判断为错误；

对于D，由于，所以，再结合基本不等式求解即可.

【详解】解：对于，因为且，所以，当且仅当，即时取“”，故正确；

对于，因为，所以，

则，

当且仅当即时取“正确；

对于，因为，所以，当且仅当即时取“”，显然“”不可能成立，C错误；

对于，因为均为正数，且，

所以，当且仅当即时取“正确.

故选：ABD.

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．是奇函数

B．函数与坐标轴有且仅有两个交点

C．函数的零点大于

D．函数有且仅有4个零点

【答案】AB

【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性与单调性，再结合函数的性质一一分析分析即可；

【详解】解：因为，所以，即，解得，即函数的定义域为，且，故为奇函数，故A正确，

又在上单调递减，在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递减，则与只有一个交点，即与轴有一个交点，又，所以与坐标轴有两个交点，故B正确；

令，则，因为，所以，所以函数的零点小于，故C错误；

因为在定义域上单调递减，且，则令，即，解得，，即函数有无数个零点，故D错误；

故选：AB

12．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，设函数则下列说法正确的是（    ）

A．函数的值域为

B．若，则

C．方程有无数个实数根

D．若方程有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是

【答案】BD

【分析】由题意可知，当时，，所以，作出函数和的图象，由图象即可判断A，B，C是否正确；在同一直角坐标系中作出函数和函数的图象，由图象即可判断D是否正确.

【详解】当时，，所以；

当时，，所以；

当时，，所以；

当时，，所以；

……

当时，，所以；

作出函数的图形，如下图所示：

由图像可知，函数的值域为，故A错误；

由图像可知，若，则，所以，故B正确；

由图像可知，函数与没有交点，所以方程无实数根，故C错误；

在同一直角坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：

由图像可知，若方程有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】的定义域满足三个条件，解出该不等式即可.

【详解】由题意可知 ，

解得，

即，

故定义域为.

故答案为：.

14．若，是第三象限角，且，则__________．

【答案】

【分析】根据，且，求得，再根据是第三象限角，确定的范围，然后利用平方关系求解.

【详解】因为，且，

所以，

又因为是第三象限角，

所以，

所以，

故答案为：

四、双空题

15．某房屋开发公司用37500万元购得一块土地，该地可以建造每层的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层整幢楼房每平方米建筑费用提高600元．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为6000元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成______层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为______元．

【答案】         

【分析】根据已知条件求得平均综合费用的表达式，利用基本不等式求得正确答案.

【详解】设建层，，

则平均综合费用：

元，

当且仅当时等号成立.

所以为了使该楼房每平米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），

公司应把楼层建成层，该楼房每平方米的平均综合费用最低为元.

故答案为：；

16．已知 的最大值为_______， 此时__________.

【答案】     -2     0

【分析】将化为，由条件利用均值不等式可得出答案.

【详解】

当且仅当，即，时等号成立.

由，则，

所以，解得

由，可得故

故答案为： ；

五、解答题

17．（1）计算

（2）计算；

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用分数指数幂的性质、运算法则直接求解；

（2）利用对数的运算性质对数相加等于真数相乘，对数相减等于真数相除及常用对数可得最后结果.

【详解】解：（1）

．

（2）

18．已知函数的定义域为A，的值域为B.

(1)求A和B；

(2)若，求的最大值.

【答案】(1)A为，B为

(2)3

【分析】（1）根据函数的解析式有意义，得到满足，即可求解函数的定义域A；根据在定义域内为增函数，即可求出值域B.

（2）由（1）可知，根据集合间的包含关系可求出参数a的范围，则可得出的最大值.

【详解】（1）解：由题意，函数，满足，

解得，所以函数的定义域为，

而函数在R上是增函数，

，，

所以函数的值域为，

故定义域A为，值域B为.

（2）解：由（1）可知，若，

则，解得，

所以的最大值为3，此时满足，

故最大值为3.

19．已知函数的表达式为．

(1)若，求方程的解集；

(2)若函数在区间上是严格减函数，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对x分类讨论得的分段函数，再解分段函数方程即可；

（2）函数在区间上是严格减函数，由分段函数为减函数列不等式求解即可.

【详解】（1），

当，即，故当；当.

故所求解集为.

（2）∵函数在区间上是严格减函数，则有,解得，故实数a的取值范围为

20．已知.

（1）求；

（2）求的值．

【答案】（1）；.（2）.

【分析】（1）由三角函数的诱导公式，求得，结合三角函数的基本关系式，即可求解；

（2）由题三角函数的基本关系式化简得到，代入即可求解.

【详解】（1）由三角函数的诱导公式，可得，即，

因为，所以，

所以.

（2）由（1）知，

又由三角函数的基本关系式，可得.

21．国庆“黄金周”及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对月日至月日这天的调查，得到部分日经济收入与这天中的第天的部分数据如下表：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述与的变化关系：，，，，并求出该函数的解析式；

(2)利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入．

【答案】(1)选择，，；

(2)或时，取得最大值万元．

【分析】（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，也不可能是单调函数，故选取二次函数进行描述，将、代入，代入，即得函数解析式；

（2）由二次函数的图象与性质，利用配方法可求取最值．

【详解】（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而，，三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，

所以选取二次函数进行描述最恰当.

将、代入，

可得，解得，

，.

（2）由（1）可得：，

且，

可得，

所以当或时，取得最大值万元．

【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．

22．对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即

(1)设函数，求A和B；

(2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；

(3)若，且，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)，证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据不动点、稳定点定义，令、求解，即可得结果；

（2）问题化为与有交点，根据交点横纵坐标的关系知，即可证.

（3）问题化为有实根、中无实根，或与有相同的实根，求参数a范围.

【详解】（1）令，可得，故；

令，可得，故.

（2），证明如下：

由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标，

若与有交点，则横纵坐标相等，则，

所以.

（3）由，则：

令，即有实根，

当时，，符合题设；

当时，，可得.

令，即有实根，

所以，

因为，则无实根，或有与相同的实根，

当无实根，有且，可得且；

当有实根，此时，即，

所以，则，代入得：，可得.

综上，.

【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为、与的交点理解，注意交点横纵坐标性质；第三问，化为有实根、中无实根或与的实根相同.