北师大版九年级上册数学期中测试2（含答案）

北师大版初中数学九年级上册期中测试卷

考试范围：第一，二，三章；考试时间：100分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列命题正确的是(    )

A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形

2. 如图，四边形是菱形，点，分别在，边上，添加以下条件不能判定≌的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

4. 超市经销一种水果，每千克盈利元，每天销售千克，经市场调查，若每千克涨价元，日销售量减少千克，现超市要保证每天盈利元，每千克应涨价为(    )

A. 元或元 B. 元或元 C. 元 D. 元或元

5. 以下说法合理的是(    )

A. 小明做了次掷图钉的实验，发现次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B. 某彩票的中奖概率是，那么买张彩票一定有张中奖
C. 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D. 小明做了次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是

6. 用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为，下列说法正确的是(    )

A. 种植棵幼树，结果一定是“有棵幼树成活”
B. 种植棵幼树，结果一定是“棵幼树成活“和“棵幼树不成活”
C. 种植棵幼树，恰好有“棵幼树不成活”
D. 种植棵幼树，当越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于

7. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．年至年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 在利用配方法解方程时，小慧和小颖的解题过程如下，对于两人的做法，说法正确的是(    )

A. 都对，小颖的易懂 B. 都对，小慧的易懂
C. 小颖对，小慧不对 D. 小慧对，小颖不对

9. 在菱形中，是对角线，，连结，，则的长为(    )

A.  B.  C. 或 D.

10. 如图，在矩形中，，，点以的速度从点到点，同时点以的速度从点到点，当一个点到达终点时，则运动停止．点是边上一点，且，且是线段的中点，则线段的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，若的边，，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以、、为边的正方形，则图中阴影部分面积之和的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 关于的方程是一元二次方程，则值为(    )

A. 或 B.  C.  D. 且

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
14. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则______．
15. 方程的一次项系数是______．
16. 三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
    判断四边形的形状，并说明理由；
    若，，求的长．

18. 若，是方程的两根，则______，______；若，是方程的两根，则______，______；
    已知，，满足，，求正整数的最小值，

19. 某商场在去年底以每件元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件元的售价销售了件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了件．
    求二、三月份服装销售量的平均月增长率；
    从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价元，月销售量增加件，当每件降价多少元时，四月份可获利元？

20. 为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了户家庭，调查了他们月的用水量情况，结果如图所示．
    这户家庭中月用水量在的有多少户？
    把图中每组用水量的值用该组的中间值如的中间值为来代替，估计该小区平均每户用水量；
    从该户用水量在的家庭中，任抽取户，用树状图或表格法求至少有户用水量在的概率．

21. 某校为积极落实“双减”政策，组织学生参加多种社团活动，为了解学生参加社团情况，现选取一个班的社团活动情况进行调查，绘制了两幅统计图，其中条形图不完整．
    所抽查的班级共有______人参加课外活动，参加绘画课活动的学生人数为______人．
    请把条形统计图补充完整．
    该班参加象棋活动的位同学中，有位男生用、表示和位女生用，表示，现准备从中选取两名同学去参加比赛，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
     

22. 如图．在菱形中，对角线、相交于点，为对角线上一点，且，连接．
    求证：．
    当，时，求菱形的边长．

23. 如图，矩形中，，，是边的中点，是边上的一动点，、分别是、的中点，随着点的运动，线段的长度是否为定值？如是，请求出此定值；如不是，请求出线段的长度的取值范围．

24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
    通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
    ；
    ．
    已知关于的方程是常数是“邻根方程”，求的值；
    若关于的方程是常数，是“邻根方程”，令，试求的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；
B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
故选：．
根据矩形的判定方法判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由四边形是菱形可得：，，
A、添加，可用证明≌，故不符合题意；
B、添加，可用证明≌，故不符合题意；
C、添加，不能证明≌，故符合题意；
D、添加，可用证明≌，故不符合题意；
故选：．
由四边形是菱形可得：，，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
本题考查菱形性质及全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
根据根的判别式即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，
，
，
，
且，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
设每千克水果应涨价元，得出日销售量将减少千克，再由盈利额每千克盈利日销售量，依题意得方程求解即可．
【解答】
解：设每千克水果应涨价元，
依题意得方程：，
整理，得，
解得，．
答：每千克水果应涨价元或元．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，根据题意对选项逐个判断即可．
根据各个选项中的说法结合用频率估计概率的知识可以判断是否合理，从而可以解答本题．
【解答】
解：小明做了次掷图钉的实验，发现次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，
次试验不能总结出概率，故选项A错误；
某彩票的中奖概率是，那么买张彩票可能有张中奖，但不一定有张中奖，故选项B错误；
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，他击中靶的概率是不正确，
中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误；
小明做了次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，次正面朝下，
他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率．利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”进行判断即可．
【解答】
解：幼树在一定条件下移植成活的概率为，表示种植棵幼树，当越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于是在大量重复实验中得到的概率的近似值，故A、、C错误，D正确，
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，
由题意得：，
故选：．
根据题意可得等量关系：年的快递业务量增长率年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

8.【答案】 

【解析】根据配方法的定义可知，两人的做法都正确，小慧的做法是常用做法，易懂．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接交于．
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
，
在中，．
故选：．
连接交于想办法求出，，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，以为轴，为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，连接，．

四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点在直线上运动，
，关于直线对称，
，
，
，，
，
的最小值为．
故选：．
以为轴，为轴，为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，连接，首先用表示出点的坐标，发现点在直线上运动，求出的值，再根据，可得结论．
本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，平行线分线段成比例定理，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点在直线上运动，属于中考选择题中的压轴题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，把绕点顺时针旋转，使与重合，旋转到的位置，

四边形为正方形，
，，
、、在一直线上，且为的中线，
，
同理：，
所以阴影部分面积之和为的倍，
又，，
当时，的面积最大，
此时，，
故选：．
把绕点顺时针旋转，使与重合，旋转到的位置，根据旋转的性质和正方形的性质有、、在一直线上，且为的中线，得到，同理：，根据三角形的面积公式，可得答案．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积，掌握旋转的性质：旋转前后图形全等，得出，再利用三角形中线分三角形的面积相等，得出是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意得：且，
解得．
故选：．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是．
 

13.【答案】且 

【解析】解：由关于的方程有两个不相等的实数根
得且，
解得且．
故答案为且．
由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程的根的判别式是即可进行解答
本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的解的定义把代入原方程得到关于的一元二次方程，解得，然后根据一元二次方程的定义确定的值．
【解答】
解：把代入得，解得，
，
．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：将方程整理成一般式为，
则一次项系数为，
故答案为：．
将方程整理成一般形式即可得．
本题主要考查一元二次方程的一般形式，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，，
若，即第三边为，，不能构成三角形，舍去；
当时，这个三角形周长为，
故答案为：．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算三角形的周长．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及三角形的三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形为菱形，
点为的中点，
点为中点，
为的中位线，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形．
解：点为的中点，，
，
，
，，
，
四边形为菱形，
，，
，
四边形为矩形，
，
． 

【解析】证为的中位线，则，再证四边形为平行四边形，然后证，即可得出结论；
由勾股定理得的长，再由直角三角形斜边上的中线性质和矩形的性质得，即可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

18.【答案】       

【解析】解：，是方程的两根，
，；
，是方程的两根，
，，
，，
故答案为：，，，；
，，
，，
，是方程的两个根，
，
是正整数，
，
正整数的最小值为．
根据根与系数的关系求解即可；
由已知可得，，可知，是方程的两个根，根据，求出的取值范围，即可确定正整数的最小值．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系并灵活运用是解题的关键．
 

19.【答案】解：设二、三月份服装销售量的平均月增长率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：二、三月份服装销售量的平均月增长率为．
设每件降价元，则四月份可售出件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每件降价元时，四月份可获利元． 

【解析】设二、三月份服装销售量的平均月增长率为，根据一月份及三月份的销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设每件降价元，则四月份可售出件，根据总利润每件的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：户，
即这户家庭中月用水量在的有户；
，
即估计该小区平均每户用水量约为；
由知：用水量在有户，
由条形统计图可知，用水量在有户，
设水量在的用户用表示，用水量在的用户用表示，
树状图如下所示，

由上可得，一共有种可能性，其中至少有户用水量在的有种可能性，
至少有户用水量在的概率是． 

【解析】根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出用水量在的有多少户；
根据条形统计图中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该小区平均每户用水量；
根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出至少有户用水量在的概率．
本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】   

【解析】解：所抽查的班级参加课外活动的人数为人，
参加绘画课活动的学生人数为人，
故答案为：、；
书法人数为人，
补全图形如下：

列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中恰好选中一男一女的有种结果，
恰好选中一男一女的概率为．
由五子棋人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以绘画对应百分比可得其人数；
根据五个类别人数之和等于总人数求出书法人数，继而补全图形；
根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；

解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
菱形的边长为． 

【解析】由“”可证≌，即可得出结论；
连接交于，先由菱形的性质可得，，，求出、的长，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定和勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：的值是定值，
连接，

矩形中，，是边上的中点，
，
，
，分别是、的中点，
是的中位线，
． 

【解析】连接，根据矩形的性质求出的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，问题得解．
本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：解方程得：或，
，
不是“邻根方程”；
解方程得：，
，
是“邻根方程”；
由方程解得：或，
由于方程是常数是“邻根方程”，
则或，
解得或；
解方程得：，
关于的方程、是常数，是“邻根方程”，
，
，
，
，
当时，有最大值． 

【解析】根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为，从而确定方程是否为“邻根方程”；
先解方程求得其根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况；
根据新定义得方程的大根与小根的差为，列出与的关系式，再由，得与的关系，化简即可．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．