2023年四川省凉山州中考数学试卷（含解析）

凉山州2023年初中毕业暨高中阶段学校招生考试

数学试卷

试卷满分150分  考试时间120分钟

A卷（共100分）

第I卷  选择题（共48分）

一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。

1.  下列各数中，为有理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  若一组数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  年月日，成昆铁路复线全线贯通运营据统计月日至月日，累计发送旅客万人次将数据万用科学记数法表示的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  点关于原点对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的如图，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  分式的值为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 或

9.  如图，点、点在上，，，添加一个条件，不能证明≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在等腰中，，分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在中，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

12.  已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 为实数

第Ⅱ卷  非选择题（共52分）

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13.  计算 ______ ．

14.  已知是完全平方式，则的值是______ ．

15.  如图，▱的顶点、、的坐标分别是、、则顶点的坐标是______ ．

16.  不等式组的所有整数解的和是______ ．

17.  如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，时好，若，则 ______ ．

三、解答题（共2小题，每题6分，共12分）

18.  先化简，再求值：，其中，．

19.  解方程：．

四、解答题（共3小题，每题8分，共24分）

20.  年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海泸山风景区以下分别用、、、表示的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图．

请根据以上信息回答：
本次参加抽样调查的游客有多少人？
将两幅不完整的统计图补充完整；
若某游客随机选择、、、四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择的概率．

21.  超速容易造成交通事故高速公路管理部门在某隧道内的、两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且、、、在同一直线上点、点到的距离分别为、，且，，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为．

求，两点之间的距离结果精确到；
若该隧道限速千米小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由参考数据：，
 

22.  如图，在▱中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
求证：；
若，，求的长．

六、B卷（共30分）填空题（共2小题，每题5分，共10分）

23.  已知，则的值等于______ ．

24.  如图，边长为的等边的两个顶点、分别在两条射线、上滑动，若，则的最大值是______ ．

   七、解答题（共4小题，共36分）

25.  凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区经过近年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙千克，资中血橙千克，共需元人民币；若购买雷波脐橙千克，资中血橙千克，共需元人民币．
求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
一顾客用不超过元购买这两种水果共千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？

26.  阅读理解题：阅读材料：
如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．
证明：设，
，
，
易证≌．
，，
，，
，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．
求反比例函数的解析式；
直接写出、的值；
求直线的解析式．

 

27.  如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，．
求证：是的切线；
若，，求的半径和的长．

28.  如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点直线过抛物线的顶点．
求抛物线的函数解析式；
若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
当取得最大值时，求的值和的最大值；
当是等腰三角形时，求点的坐标．

答案解析

1.【答案】 

【解析】解：，
选项A符合题意；
，，是无理数，
选项B，，不符合题意，
故选：．
运用有理数和无理数的概念进行逐一辨别、求解．
此题考查了实数的分类能力，关键是能准确理解并运用实数的概念进行辨别、求解．
 

2.【答案】 

【解析】解：主视图看到的是两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
因此选项C中的图形符合题意，
故选：．
由俯视图中相应位置上摆放的小立方体的个数，可得出主视图形状，进而得出答案．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：设一组数据，，，，的平均数为，则方差为，
数据，，，，的平均数为，方差为．
故选：．
根据当数据都加上一个数或减去一个数时，方差不变，即可得出答案．
本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数或减去一个数时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数或除以一个数时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
利用科学记数法的法则解答即可．
本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故选：．
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在水中平行的光线，在空气中也是平行的，，，
，，
．
故选：．
由平行线的性质可得，，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
 

8.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
且，
解得：，
故选：．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
当时，利用可得≌，故A不符合题意；
当时，利用可得≌，故B不符合题意；
当时，利用可得≌，故C不符合题意；
当时，无法证明≌，故D符合题意；
故选：．
根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，
，
，
，
．
故选：．
利用基本作图得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，则计算出，然后计算即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，设交于，如图：

，
，
，，
，
在中，，
，
，
；
故选：．
连接，设交于，由，得，根据，，得，故，从而．
本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌握含角的直角三角形三边关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：由抛物线开口向上知，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故A错误，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，且，
抛物线上的点与关于对称轴对称，
由图可知，在第一象限，
在第二象限，
，故B错误，不符合题意；
时，
，
，
，
，故C正确，符合题意；
，
，
，，
，
，故D错误，不符合题意；
故选：．
由抛物线开口向上知，由抛物线的对称轴为直线，知，，由抛物线与轴交于负半轴，知，可判断A错误；由在第一象限，知在第二象限，判断B错误；由，，可得，判断C正确；由，可判断D错误．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
利用零指数幂的意义和二次根式的性质化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义和二次根式的性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是完全平方式，，，
或，
．
故答案为：．
利用完全平方公式的意义解答即可．
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，延长交轴于点，

四边形是平行四边形，
，，
轴，
轴，
，，
，，，
，
，
故答案为：．
延长交轴于点，由平行四边形的性质得，，再证轴，然后求出，，，则，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得，
不等式组的解集为，
由为整数，可取，，，，，，，
则所有整数解的和为，
故答案为：．
求出不等式组的解集，确定出整数解，求出之和即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设交于，如图：

，是边上的中线，
，
，
由翻折的性质可知，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
由，是边上的中线，可得，由翻折的性质可知，，故，而，即得，在中，，可解得，从而可得答案．
本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练掌握含角的直角三角形三边的关系．
 

18.【答案】解：

，
当，时，
原式




． 

【解析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
，
或，
将代入原方程，原方程左右相等，
是原方程的解．
将代入，使分母为，
是原方程的增根，
原方程的解为：． 

【解析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
本题主要考查了分式方程的解法，验根是常常遗漏的步骤，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
 

20.【答案】解：人，
所以本次参加抽样调查的游客有人；
景点的人数为人，
景点的人数所占的百分比为，
景点的人数所占的百分比为，
两幅不完整的统计图补充为：

画树状图为：

共有种等可能的结果，他第一个景区恰好选择的结果数为，
所以他第一个景区恰好选择的概率． 

【解析】用景点的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
先计算出景点的人数，则可补全条形统计图，然后分别计算出景点和景点所占的百分比，从而补全扇形统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出他第一个景区恰好选择的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

21.【答案】解：根据题意，四边形是矩形，，，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，两点之间的距离约为；
，
小型汽车每小时行驶，
，，
小型汽车从点行驶到点没有超速． 

【解析】根据题意，，在中，刻度，故DB，在中，，即可得，从而知，两点之间的距离约为；
由，再换算单位可知小型汽车从点行驶到点没有超速．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系．
 

22.【答案】证明：，
，
▱是菱形，
；
解：由可知，▱是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
即的长为． 

【解析】证，得▱是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；
由菱形的性质得，，再由勾股定理得，然后证∽，得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，
，




，
故答案为：．
由，得，将所求式子变形为，再整体代入计算即可．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是整体代入思想的应用．
 

24.【答案】 

【解析】解：取中点，连，，

，
当、、共线时，有最大值，最大值是，
为等边三角形，为中点，
，，
，
为直角三角形，为斜边的中点，
，
，即的最大值为．
故答案为：．
取的中点，连接及，根据三角形的三边关系得到小于等于，只有当、及共线时，取得最大值，最大值为，由等边三角形的边长为，根据为中点，得到为，根据三线合一得到垂直于，在直角三角形中，根据勾股定理求出的长，在直角三角形中，为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得等于的一半，由的长求出的长，进而求出，即为的最大值．
本题考查了等边三角形的性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，其中找出最大时的长为是解本题的关键．
 

25.【答案】解：设雷波脐橙每千克元，资中血橙每千克元，
根据题意得：，
解得：．
答：雷波脐橙每千克元，资中血橙每千克元；
设购买雷波脐橙千克，则购买资中血橙千克，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：他最多能购买雷波脐橙千克． 

【解析】设雷波脐橙每千克元，资中血橙每千克元，根据“购买雷波脐橙千克，资中血橙千克，共需元人民币；购买雷波脐橙千克，资中血橙千克，共需元人民币”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买雷波脐橙千克，则购买资中血橙千克，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】解：设，
，，
，
，
解得或，
或此时在第四象限，不符合题意，舍去，
把代入得：
，
解得，
反比例函数的解析式为；
在中，令得，
解得，
，
，
由知，
，，
，
，
，
，
，
，
由若时，当，则可得：
；
由知，
，
，
，，
，
，
，
，
设直线解析式为，
把，代入得：
，
解得，
直线解析式为． 

【解析】设，由，得，可解得，再用待定系数法得反比例函数的解析式为；
求出，由，得，，即知，而，故，由阅读材料得；
由，，得，从而，再用待定系数法得直线解析式为．
本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是读懂阅读材料，掌握待定系数法．
 

27.【答案】证明：连接，如图：

，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是半径，
是的切线；
解：连接，，如图：

为直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
解得，
，
的半径为；
，
，
，，
∽，
，即，
，
的半径为，的长为． 

【解析】连接，由，得，故，根据，得，即，，从而可得是的切线；
连接，，证明∽，可得，，故CD，的半径为；再证∽，得，从而．
本题考查圆的性质及应用，涉及切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质．
 

28.【答案】解：抛物线与轴交于和两点，
抛物线对称轴为直线，
在中，令得，
抛物线顶点为，
设抛物线函数解析式为，
将代入得：
，
解得，
抛物线函数解析式为；
如图：

在中，令得，
，
由，得直线解析式为，
，，
，
，
当时，取最大值，
的值为，的最大值为；
，，，
，，；
若，则，
解得与重合，舍去或，
；
若，则，
解得舍去或或不符合题意，舍去，
；
若，则，
解得舍去或或不符合题意，舍去，
；
综上所述，的坐标为或或． 

【解析】由抛物线与轴交于和两点，得抛物线对称轴为直线，即可得抛物线顶点为，设抛物线函数解析式为，将代入可得，故抛物线函数解析式为；
求出，得直线解析式为，故E，，得，根据二次函数性质可得答案；
由，，，得，，；分三种情况列方程可解得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．