2022-2023学年河北省石家庄市二中高一下学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市二中高一下学期第一次月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄市二中高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知向量,，且，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求和的坐标，再根据向量平行，列式求解.【详解】，，因为，所以，解得：.故选：B【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.2．已知点，则与向量同方向的单位向量是A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：与向量同方向的单位向量是.【解析】单位向量的求法.3．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.4．对任意向量，下列关系式中不恒成立的是A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B．【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积． 5．已知中角、、对边分别为、、，若，，则的最大值为（    ）A． B． C． D．以上都不对【答案】C【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值.【详解】由余弦定理可得，所以，，即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故选：C.6．已知三个向量，，共面，且均为单位向量，，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，所以＝＝，则当与同向时最大，最小，此时，，所以＝；当与反向时最小，最大，此时 ＝，，所以，所以的取值范围为，故选A．7．如图所示，等边的边长为2，位边上的一点，且，也是等边三角形，若，则的值是（    ）A．  B．C． D．【答案】A【解析】根据向量表示以及向量数量积定义化简条件，解得结果.【详解】则因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.8．在中，角、、所对的边分别为、、，，，是内切圆的圆心，若，则的值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出的内切圆半径，以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可求得、的值，即可得解.【详解】，，所以，内切圆的圆心在边高线上（也是边上的中线），，，以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则、、，设的内切圆的半径为，根据等面积法可得：，解得，即点，则，，，因为，则，解得，则.故选：D. 二、多选题9．已知向量是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是（    ）A．若存在实数，使得，则与共线B．若与共线，则存在实数，使得C．若与不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，使得D．若对平面内的任一向量，均存在实数，使得，则与不共线【答案】ACD【解析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项.【详解】根据平面向量共线的知识可知A选项正确.对于B选项，若与共线，可能，当为非零向量时，不存在实数，使得，所以B选项错误.根据平面向量的基本定理可知C、D选项正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.10．已知两个单位向量，的夹角为θ，则下列结论正确的是（    ）A．不存在θ，使 B．C．当时， D．在方向上的投影数量为【答案】ABC【分析】根据条件知，再利用数量积的定义及运算逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】因为两个单位向量，的夹角为，所以，选项A，因为，又，所以，故选项A正确；选项B，因为，，所以，即，故选项B正确；选项C，因为，又，所以，故选项C正确；选项D，因为在方向上的投影数量为，故选项D错误.故选：ABC.11．已知为坐标原点，点，，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC12．定义一种向量运算“”：，（，是任意的两个向量）对于同一平面内的向量，，，，给出下列结论，其中正确的选项是（    ）A． B．；C．； D．若是单位向量，则【答案】AD【分析】AD可根据定义及向量运算法则计算得到；BC可举出反例.【详解】A选项，因为，，故，A正确；B选项，当不共线时，，，当共线时，，，不妨设，，则，，故B错误；C选项，不妨设，满足共线，与均不共线，当共线时，，与均不共线时，，此时两者不相等，故C错误；D选项，是单位向量，当不共线时，，当共线时，，故若是单位向量，则，D正确.故选：AD 三、填空题13．是边长为的正方形，、分别是、的中点，则_____.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，得出点坐标，向量的坐标，再由向量的数量积的坐标运算可得答案.【详解】建立平面直角坐标系，如图所示；则、、、，因为、分别是、的中点，则、，所以，，故.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，向量的数量积的坐标运算，属于基础题.14．已知中角A、B、C对边分别为a、b、c，若，则中最大角的余弦值为_______．【答案】【分析】根据大边对大角，结合余弦定理求解即可.【详解】因为，不妨设，在三角形中，大边对大角，所以最大角为，根据余弦定理，.故答案为：.15．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.【答案】.【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.16．已知， ，则的取值范围为_________.【答案】【分析】设，根据，得到，设，根据，得到，再由，利用直线与圆的位置关系求解.【详解】设，因为，所以 ，因为，所以，设，则，设，因为，所以，表示以（2，0）为圆心，以为半径的圆，则，表示一条直线在y轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得或，所以的取值范围为，故答案为： 四、解答题17．已知、，、、是正实数，证明：（并说明式子左边与右边相等时的条件）【答案】证明见解析【分析】利用向量数量积的定义和坐标运算可得答案.【详解】设，，∵，∴，当且仅当时取等号.18．如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E.设.(1)用向量表示，(2)若＝λ，求实数λ的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解；（2）根据三点共线结合平面向量基本定理运算求解.【详解】（1）∵点A是BC的中点，则，即，整理得，可得，故.（2）由题意可得：，∵三点共线，则，且，则，可得，解得，故.19．已知向量，，向量.（1）若，求的值；（2）若恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据向量垂直的坐标表示得，再结合得；（2）先根据坐标运算得，再根据模的坐标表示得，故的最大值为16，，进而得的最大值为4，故.【详解】解：（1）.∵，∴，即：，又，∴（2）∵，∴，又∵，∴，∴，∴的最大值为16，∴的最大值为4，又恒成立，∴.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，向量模的计算，三角函数求最值，考查运算能力，是中档题.20．如图，O是内一点，，，向量的模分别为2，，4．(1)求；(2)若，求实数m，n的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）应用向量数量积定义，及其运算律求；（2）由已知，应用向量数量积的运算律、，列方程组求参数.【详解】（1）由已知，，，又，故， ∴，∴.（2）由得：，，∴ ，可得．21．在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，向量与平行．(1)求角A；(2)若，点D满足，，求a．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据平行的数量积公式，结合三角函数的性质求解即可；（2）过点D作交AB于点E，根据三角形中平行线的性质可得与，再在中由余弦定理求解即可.【详解】（1）∵∴  ∵，∴∴∵，∴（2）过点D作交AB于点E，又，，所以，． 由余弦定理可知，，得解得(负值舍)，则．  又，，所以在中，由余弦定理，得22．已知中，a，b，c是角A，B，C所对的边，，且．(1)求B；(2)若，在的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求此情况下AD的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据条件，利用诱导公式和正弦的二倍角公式即可得到结果；（2）设，利用余弦定理，用表示出，再利用基本不等式即可求出结果.【详解】（1）因为，得到，所以,又因为，得到，所以， 因为，所以，，所以，得到，即.（2）因为，，所以为等边三角形，即，如图，设，则，，所以在中，由余弦定理得，整理得，设，，  所以，由于，故所以，当且仅当，即时，等号成立，所以AD的最小值为