2022-2023学年河北省石家庄市十五中高一下学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市十五中高一下学期第一次月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄市十五中高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题1．的弧度数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角度与弧度关系求对应弧度即可.【详解】由.故选：B2．的值是（    ）A． B． C．- D．【答案】B【分析】根据诱导公式化简，并结合正弦和角公式即可求解.【详解】由诱导公式可知所以由正弦和角公式可得，故选：B.【点睛】本题考查了诱导公式及正弦和角公式的应用，属于基础题.3．已知平面向量，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量平行求得，应用向量线性关系的坐标运算求目标式的坐标.【详解】由题设，则，所以.故选：C4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误；对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误；综上，其中正确命题是②，只有个.故选：【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.5．下列关于向量的命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【详解】选项A，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误；选项B，长度相等,向量可能不平行，该选项错误；选项C，显然可得出，该选项正确；选项D，得不出，比如不共线，且，该选项错误.故选：C.6．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为（    ）A．－8 B．8 C．6 D．－6【答案】A【分析】先求出，然后利用存在实数使，列方程求k的值.【详解】由已知得，三点A，B，D共线存在实数使，，解得.故选：A.7．如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.【详解】根据题意：又所以故选：C【点睛】本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题.8．在△ABC中，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合两角和的正切公式、诱导公式求得，由此求得.【详解】，所以.故选：D 二、多选题9．下列说法中，正确的是（    ）A．向量与向量的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量与任意向量平行D．两个相等向量的起点相同，则终点也相同【答案】ACD【分析】利用平面向量的定义判断AB；利用零向量、相等向量的意义判断CD.【详解】对于A，向量的起点、终点分别为向量的终点、起点，它们的长度相等，故A正确；对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B不正确；对于C，零向量与任意向量平行是正确的，故C正确；对于D，由相等向量的定义知D正确.故选：ACD10．下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】将选项中所需比较的角,根据诱导公式转化为区间内,再根据,两个函数的单调性进行判断大小即可.【详解】解:由于函数在上单调递增,且,所以,故选项A错误;因为在上单调递增,,故选项B正确;因为,,所以,故选项C正确;因为,所以,故选项D错误.故选:BC11．下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由二倍角的余弦、正弦公式可判断AC选项，由二倍角的正切公式可求出的值，进而判断D选项，由两角和与差的正弦可判断B选项.【详解】解：A选项：由二倍角的余弦公式可知：，故A正确；B选项：，故B不正确；C选项：，故C正确；D选项：，解得：，又，所以，故D正确；故选：ACD.12．已知函数，下列结论正确的是（    ）A．的最小正周期为B．函数图象关于直线对称C．函数在上单调递增D．方程有无数个解【答案】BC【解析】A选项，计算，判定，可得A错；B选项，计算与，得出，可得B正确；C选项，由，化简，可得C正确；D选项，讨论的范围，去绝对值，求出的值域，可判断D错.【详解】A选项，，所以不是的周期，故A错；B选项，；，所以，因此函数的图象关于直线对称；即B正确；C选项，，当时，，所以，此时，根据余弦函数的单调性，可得，其在上显然单调递增，即C正确；D选项，由可得，则；此时；由可得，则；此时；综上，，所以，因此方程无解，即D错；故选：BC.【点睛】思路点睛：判定含三角函数的函数对称性、周期性、单调性等问题时，一般可根据正弦（余弦、正切）函数的性质，利用代入验证的方法判定对称性和周期性；求解最值或研究方程根的问题时，可先判断函数单调性，进而即可求解. 三、填空题13．化简：______．【答案】【分析】利用向量的加法运算即可求解.【详解】解：故答案为：.14．函数的定义域是________.【答案】【分析】根据使函数有意义必须满足，再由正弦函数的性质得到的范围．【详解】由题意得：即故答案为【点睛】本题考查关于三角函数的定义域问题，属于基础题．15．若是奇函数，则_________.【答案】/【分析】由余弦型函数的奇偶性得且，即可求参数.【详解】由题设且，故，，又，故有.故答案为： 四、双空题16．函数的最大值为_______，记函数取到最大值时的，，则_______.【答案】          【解析】根据辅助角公式可化为求最值，并求出此时对应，利用两角差的余弦公式求.【详解】，，此时，，即，，，，，故答案为：；【点睛】关键点点睛：辅助角公式，其中，的应用是解决本题的关键. 五、解答题17．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为(1)若，，求扇形的弧长(2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．【答案】(1)(2)当时，扇形的面积最大，最大面积是． 【分析】（1）首先将角度转化为弧度，然后根据扇形的弧长公式即可得到答案；（2）设扇形的弧长为，则，扇形的面积为，由二次函数性质即可得到面积的最大值．【详解】（1）设扇形的弧长为．，即，.（2）由题设条件知，,因此扇形的面积当时，有最大值，此时,当时，扇形的面积最大，最大面积是．18．计算.(1)求的值；(2)化简.【答案】(1)(2) 【分析】（1）应用商数关系、和角正弦公式及二倍角正弦公式、诱导公式化简求值；（2）由平方关系、二倍角正余弦公式化简即可.【详解】（1）.（2）.19．如图，在平行四边形中，E为的中点，设.(1)用表示；(2)若，且，求.【答案】(1)，，(2) 【分析】（1）由向量对应线段的数量、位置关系用表示出即可；（2）由（1）及向量数量积的运算律可得，结合已知即可求值.【详解】（1）由，，，所以，，.（2）由（1）知：，又，且，则.20．在①；②；③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．已知，______，．(1)求；(2)求．【答案】(1)条件选择见解析，(2) 【分析】（1）若选①，可得，再由同角三角函数的关系可求出的值，然后利用两角差的正弦公式可求得结果，若选②，则可得，再由同角三角函数的关系可求出的值，然后利用两角差的正弦公式可求得结果，若选③，则可得，同样由同角三角函数的关系可求出的值，然后利用两角差的正弦公式可求得结果，（2）先求出，再由于化简计算可求出的值，从而可求出【详解】（1）若选①，，又因为，解得，，所以．若选②，因为，化简得，又因为，，解得，，所以．若选③，因为，化简得又因为，，解得，，所以（2）因为，且，所以，所以又因为，所以21．已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的倍,得到函数的图象,求在上的值域.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用三角恒等变换中的两角差正余弦公式、倍角公式，将化成，再利用周期公式和整体代入，分别求得最小正周期及单调增区间；（2）利用平移变换和伸缩变换求得，再利用整体思想求得函数的值域.【详解】（1） ，，所以函数的最小正周期为，当,得函数的单调递增区间为；（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为,所以，,所以当时，,当时，.所以的值域为.【点睛】本题考查两角差正、余弦公式、倍角公式、平移变换和伸缩变换、三角函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想的运用，考查运算求解能力，利用整体思想求函数的值域和单调区间的过程是不一样，要注意区别.22．某港口水深y（米）是时间（单位：小时）的函数，下表是水深数据：t（小时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【答案】(1)(2)该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时 【分析】（1）根据图像的最高点和最低点可以求出，由两个最高点的位置可以求出；（2）在当的前提下，解不等式即可.【详解】（1）根据图表数据可得：，∴，，函数周期，∴，∴函数的表达式为；（2）由题意知：若船舶航行时船是安全的，则，即，∴，∴，解得，又，∴或.故该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．23．日照一中为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．【答案】（1）S=x（30﹣x），；（2）12米或18米【详解】（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°∴|PM|=|MC|tan∠PCM=（30﹣x），矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=x（30﹣x），x∈[10，20]于是200≤S≤225为所求．（2）矩形AMPN健身场地造价T1=37k又△ABC的面积为450，即草坪造价T2=S）由总造价T=T1+T2，∴T=25k（+），200≤S≤225．∴T=25k（+），200≤S≤225∵+≥12，当且仅当=即S=216时等号成立，此时x（30﹣x）=216，解得x=12或x=18，所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．【解析】根据实际问题选择函数类型．24．若，且满足．（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由基本不等式即可求解；（2）由，展开后利用基本不等式即可求解．【详解】解：（1）∵，且满足，∴，当且仅当时取等号，故的最大值为；（2）∵，当且仅当时取等号，∴的最小值为．【点睛】本题主要考查“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．25．若正数a，b，c满足.(1)求的最大值；(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件；（2）利用基本不等式求、、，即可证结论，注意等号成立条件.【详解】（1）由，所以，即，仅当时等号成立，综上，的最大值为.（2）由，仅当，即时等号成立，由，仅当，即时等号成立，由，仅当，即时等号成立，综上，，仅当时等号成立.