2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据诱导公式即可求解.

【详解】.

故选：B.

2．已知向量，，则（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求出的坐标，再利用坐标求出模作答.

【详解】向量，，则，

所以.

故选：B

3．在△ABC中，，，，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【分析】利用正弦定理求得，进而求得.

【详解】由正弦定理得，

所以，

由于，所以为锐角，所以.

故选：B

4．在中，若为边上的中线，点在上，且，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量.

【详解】如图所示，在中，

因为为边上的中线，

所以为的中点，

所以由平行四边形法则有：

，

又点在上，且

所以，

所以

，

故选：A.

5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）

A．沿轴向左平移个单位 B．沿轴向右平移个单位

C．沿轴向左平移个单位 D．沿轴向右平移个单位

【答案】C

【解析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【详解】，

将函数的图象沿轴向左平移个单位，

即可得到函数的图象，

故选：C

【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

6．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ）

A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m

【答案】D

【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.

【详解】，

由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，

在Rt△ABM中，AM＝＝，

在△ACM中，由正弦定理得＝，

所以CM＝＝，

在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.

故选：D.

7．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据及相关公式求出，再根据投影向量的计算公式即可求解.

【详解】由，得，则，

即，则，

所以向量在向量上的投影向量的坐标为.

故选：.

8．的内角，，的对边分别为，，，已知的面积，设是边的中点，若，则等于（    ）.

A．2 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】由面积公式及余弦定理求出，即可得到与的夹角为，再由面积公式求出，最后由数量积的定义计算可得.

【详解】由，又，

所以，所以，又，所以，

所以与的夹角为，

由面积公式，

解得，即，

因为是边的中点，所以，

所以

．

故选：A．

二、多选题

9．边长为2的等边中，为的中点.下列正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【分析】由向量加减法法则，可以判断选项ABD，再由向量数量积公式可判断C.

【详解】根据向量加法法则可知，，故A正确；

根据向量减法法则可得，故B错误；

由向量数量积公式得，故C正确；

根据向量加法法则可知，，所以D正确.

故选：ACD.

10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ）.

A．是的充要条件

B．若，，，则有两解

C．若为钝角三角形（C为钝角），则

D．若为斜三角形（若一个三角形不包含直角，则称此三角形是斜三角形），则

【答案】ABD

【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，

若，则，所以，

所以是的充要条件，故A选项正确；

对于B选项，，则，如图：

所以有两解，B选项正确；

对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，

可得，C选项错误；

对于D，因为，

所以

因为，

所以，

所以，所以D正确.

故选：ABD.

11．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则点在线段上

B．若，则点是的重心

C．若，则点的轨迹必过的内心

D．若，且，则的面积是面积的

【答案】BCD

【分析】利用平面向量的线性运算可判断A选项；利用平面向量的线性运算以及三角形重心的定义可判断B选项；利用三角形内心的性质以及平面向量的线性运算可判断C选项；利用平面向量的线性运算以及三角形面积的关系可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，则，可得，

所以， 点在射线上，且点为线段的中点，A错；

对于B选项，设点为线段的中点，

则，

因为，

此时点为重心，B对；

对于C选项，因为，

则，

因为、分别是与、方向相同的单位向量，

记住，，以、为邻边作平行四边形，

则四边形为菱形，则平分，且，

即，

此时，点的轨迹必过的内心，C对；

对于D选项，因为，且，

所以，且，

设，则，

即，即，所以，、、三点共线，

又因为，所以为的中点，如图所示：

所以，故D正确.

故选：BCD.

12．在中，记角所对的边分别为，若，则（    ）

A．

B．

C．内角的最大值为

D．面积的最小值为

【答案】BC

【分析】先由向量的数量积公式计算判断A选项，再结合余弦定理公式计算判断B选项，再结合基本不等式和余弦函数的单调性判断C选项，最后利用面积公式结合bc的范围判断D选项.

【详解】，故A选项错误；

因为，所以，故B选项正确；

因为，所以，所以，故C选项正确；

因为，所以，故D选项错误.

故选：BC.

三、填空题

13．已知向量，，若，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【分析】已知，则它们数量积小于0且两向量不为相反向量，根据向量数量积的坐标运算，共线向量的坐标表示，即可求出实数的取值范围.

【详解】解：已知，则它们数量积小于0且两向量不为相反向量，

所以，

若为相反向量, 则两向量共线，有，

，

所以实数的取值范围是且.

故答案为：.

14．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则__________．

【答案】/

【分析】在中，利用正弦定理求出，在中，先利用余弦定理求出，再利用余弦定理即可得解.

【详解】如图，在中，，

则，

因为，所以，

在中，，

则，所以，

则.

故答案为：.

15．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则______.

【答案】/

【分析】利用向量共线求出，再利用二倍角的正弦公式结合齐次式法求值作答.

【详解】依题意，由与共线，得，而，，

于是，即，又，不共线，

因此，解得，

所以.

故答案为：

16．在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】先利用余弦定理结合可得，再利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理，求出的关系，从而可将都用表示，再根据三角形为锐角三角形求出的范围，再根据二倍角的余弦公式结合二次函数的性质即可得解.

【详解】由余弦定理可得，则，

由正弦定理可得

，

因为为锐角三角形，则，所以，

又因为函数在内单调递增，所以，可得，

由于为锐角三角形，则，即，解得，

则

，

因为，所以，则，

因为存在最大值，则，解得．

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用余弦定理和正弦定理结合已知条件求得.

四、解答题

17．已知向量，满足，，且，的夹角为45°．

(1)若，求实数k的值；

(2)求与的夹角的余弦值．

【答案】(1)k；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用垂直关系的向量表示，列式计算作答.

（2）根据给定条件，利用向量夹角的计算公式计算作答.

【详解】（1）因，，与的夹角为45°，则，又，

则，解得，

所以实数k的值是.

（2）由（1）知，，，

，因此，，

所以与的夹角的余弦值.

18．在条件：①，②，③，且，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：

中，内角、、所对边长分别是、、.若，，______.

(1)求；

(2)求的面积.

（注意：选择多个条件时，按你第一个选择结果给分.）

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）选择条件①：由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出的取值范围，即可得出的值；

选择条件②：利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；

选择条件③：利用平面向量共线的坐标表示可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】（1）解：选择条件①：由正弦定理知，，

，，

，

，

化简得，

，则，，

即，

，则，则，即；

选择条件②：，，

由余弦定理知，，；

选择条件③：，，且，，

由正弦定理知，，则，

、，则，，则，故.

（2）解：由三角形的面积公式可得.

故的面积为.

19．中，、、分别为角、、的对边，，，且.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）本题首先可根据得出，然后通过三角恒等变换得出，最后根据得出；

（2）本题首先可根据余弦定理得出，然后与联立求出、的值，最后根据解三角形面积公式即可得出结果.

【详解】（1）因为，所以，

因为，，

所以，

即，，

因为，所以，

故，解得.

（2）因为，，

所以，

联立，解得或，

当时，的面积；

当时，的面积，

故的面积为或.

【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查通过三角恒等变换求角的大小，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，考查余弦公式以及解三角形面积公式的应用，若两个向量互相垂直，则这两个向量的数量积为，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.

20．的内角的对边分别为，．

(1)求；

(2)若，，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，再根据正弦定理边角互化并整理得，进而得答案；

（2）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换得，进而结合已知条件得，再求解正弦值即可.

【详解】（1）解：因为，

所以，即，

所以，正弦定理可得，

因为，

所以，

因为，．

所以，

因为，

所以．

（2）解：因为，

所以，由正弦定理得．

又因为，，

所以，

整理可得，即，

所以，

因为，

所以或，即或，

因为，

所以，．

21．在近年，中国采用“吹沙填海”的方式，成功将部分小岛礁连成一片，可以进而形成一个大岛礁．已知南海上存在、、、四个小岛礁，它们在一条直线上且满足，若通过“吹沙填海”的方式建成了如图所示一个矩形区域的大岛礁，其中米．

(1)为线段上一点，求最小值；

(2)为线段上一点，求的最小值；

(3)因特殊原因，划定以圆心，为半径的圆的区域为“隔离区”，拟建造一条道路，使与该“隔离区”的边界相切，求四边形面积的最大值．

【答案】(1)8000

(2)

(3)

【分析】(1)取中点，将原问题转化为向量求模即可；

(2)根据余弦定理及第一问的结果可以求解；

(3)由于MN，MB都是圆A的切线，连接AM，利用 以及切线之间的几何关系，再利用面积公式求解即可.

【详解】（1））取中点，

，

当且仅当点位于中点时等号成立，∴最小值为8000；

（2）由余弦定理得，

，

当且仅当，即点立位于中点时等号成立，的最小值为；

（3）

设与圆切于点，连接，，设，，

则，，，，

∴的面积，

当且仅当，时等号成立时等号成立，

四边形CDNM的最大值为： ；

综上，最小值为8000，的最小值为，四边形CDNM的最大值为：.

22．已知向量，，函数

(1)求函数的解析式和对称轴方程；

(2)若a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；

(3)若时，关于x的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值.

【答案】(1)，对称轴方程为

(2)见解析；

(3)，

【分析】（1）利用三角恒等变换得到，求出对称轴方程；

（2）先求出，再根据与及b的大小关系判断这个三角形解的个数；

（3）将方程化为，进而转化为要有两个不同于的根，数形结合得到数的取值范围及的值.

【详解】（1），

令，解得：，

故对称轴方程为：

（2），

因为，所以，

故，

解得：，

当时，此时，故此时三角形解的个数为0，即不存在这样的三角形；

当时，此时，此时三角形解的个数为1，且∠B为直角；

当时，此时，三角形解的个数为2；

当时，此时，这个三角形解得个数为1，

综上：当时，这个三角形解的个数为0；

当时，这个三角形解的个数为1；

当时，这个三角形解的个数为2；

（3），

即，变形为

所以，

当，有一个解，不妨设解为，

则即有两个不同于的两个解，

因为，故，

且在上单调递增，在上单调递减，

要想有两个不同于的解，需要，

解得：，

此时的两根关于对称，即，

所以

【点睛】对于判断三角形的个数问题，再已知得情况下，利用与及b的大小关系进行判断，当时，不存在这样的三角形，当或时，这样的三角形有1个，当时，这样的三角形有2个.