2022-2023学年湖北省襄阳市第一中学高一下学期4月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖北省襄阳市第一中学高一下学期4月月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省襄阳市第一中学高一下学期4月月考数学试题 一、单选题1．已知复数z满足，则z的虚部是（    ）A． B．1 C． D．i【答案】A【分析】设，根据，求得，即可求得复数的虚部，得到答案.【详解】设，因为，可得，则，可得，所以复数的虚部是.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.2．已知角θ的终边过点，（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求得结果.【详解】因为已知角θ的终边过点，所以，所以.故选：A3．已知点D是所在平面上一点，且满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的加法、减法法则运算即可得到答案．【详解】解：由题意：为所在平面内的一点，，所以所以故选：．4．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，求出，，再根据向量在向量上的投影向量的定义列式求出，最后利用平面向量的夹角公式可求得结果.【详解】因为是与向量方向相同的单位向量，设，则，所以，得，所以，因为向量在向量上的投影为，且向量在向量上的投影向量为，所以，所以，所以，所以，设与的夹角为，则，又，所以，故选：B．【点睛】关键点点睛：利用向量在向量上的投影向量的定义以及平面向量的夹角公式求解是解题关键.5．已知向量，且，则的值为（　　）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【分析】由，转化为，结合数量积的坐标运算得出，然后将所求代数式化为，并在分子分母上同时除以，利用弦化切的思想求解．【详解】由题意可得 ，即 ．∴，故选A．【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切．6．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.7．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可【详解】因为，所以是偶函数，排除B，D，因为，排除C，故选：A.8．已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量数量积的定义可得，从而可得，进而得出，即，求出.【详解】根据，可得，故，所以，故的周期为24，所以，，故选：A． 二、多选题9．用一个平面去截正方体，则截面可能是（    ）A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形【答案】BCD【分析】作出对应的截面，分析截面的形状，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，一个平面与正方体共点的个面相交，截面为三角形，此三角形不可能是直角三角形，如图，截面为，点为正方体的顶点，在三棱锥中，、、两两垂直，若为直角三角形，不妨令，则，而，，，因此，矛盾，A错误；对于B选项，当截面为下图所示的时，截面为等边三角形，B对；对于C选项，当截面与正方形的底面平行时，截面为正方形，如下图所示：对于D选项，一个平面与正方体的个面相交，截面为六边形，此六边形可能是正六边形，如图，、、、、、为正方体所在棱的中点，顺次连接得正六边形，设正方体棱长为，有，，中，，则，同理，即六边形为正六边形，D正确.故选：BCD.10．已知向量，，，若为锐角，则实数可能的取值是（   ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】求出，利用，去除两向量反向的情形可得的范围，然后判断各选项．【详解】由题意可知，，，因为为锐角所以可得当时，，所以，当为锐角时实数的取值范围是故选：ABD．【点睛】关键点点睛：本题考查由向量夹角的范围求参数范围．两向量夹角为锐角时，，，但时，除夹角为锐角外还有同向的情形；同样两向量夹角为钝角时，，，但时，除夹角为钝角外还有反向的情形，解题时要注意去除．11．在中，已知，且，则c的值可以是（    ）A．4 B．8 C．2 D．【答案】AB【分析】由求出的值，再利用余弦定理求出c的值【详解】解：由，得，由余弦定理得，，，化简得，解得或，故选：AB12．中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是（    ）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BD【分析】根据平面向量共线定理可知A错误；根据，利用基本不等式可求得最大值，知B正确；由，利用基本不等式可求得最小值，知C错误；利用基本不等式可得，知D正确.【详解】对于A，，三点共线，，A错误；对于B，，（当且仅当时取等号），B正确；对于C，（当且仅当，即时取等号），C错误；对于D，（当且仅当时取等号），D正确.故选：BD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、填空题13．已知向量，， 与垂直，则______.【答案】【分析】由与垂直，得，代入坐标运算求的值.【详解】因为向量，，与垂直，所以，所以，即，解得.故答案为：.14．已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形面积的值是___________.【答案】【分析】本题首先可设扇形的半径为，然后根据扇形的周长计算公式得出，最后根据扇形的面积公式即可得出结果.【详解】设扇形的半径为，因为扇形的周长为，圆心角为，所以，解得，则扇形面积，故答案为：.15．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．【答案】【详解】分析：根据等体积法：即可：详解：由题可得=,故答案为点睛：本题考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键． 四、双空题16．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中，，较小的锐角．若，正方形的面积为100，则________，________． 【答案】          【解析】由已知可得，进而求出、，利用二倍角公式可求得答案.【详解】由已知得， ，又，解得，，所以，，，因为，所以，所以，. 故答案为：①；②.【点睛】本题考查了解三角形、二倍角求三角函数值的问题，关键点是求出，进而求出、，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 五、解答题17．已知向量，，.（1）求向量与夹角的正切值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据已知条件可得，然后根据范围可知，最后可知（2）依据直接计算即可.【详解】（1）因为，所以.设向量与的夹角，则，解得.又，所以，故.（2）因为，所以，即，解得.18．已知α∈，且sin ＋cos ＝ .(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－ ，β∈，求cos β的值．【答案】（1）;（2） 【详解】试题分析：(1)把已知条件平方可得sin α＝,再由已知α∈,可得cos α的值.(2)由条件可得－<α－β<, cos(α－β)＝,再根据cos β＝cos[α－(α－β)],利用两角和差的余弦公式,运算求得结果.试题解析： (1)已知sin ＋cos＝ ，两边同时平方，得1＋2sincos＝ ，则sin α＝ .          又<α<π，所以cos α＝－ ＝－ .     (2)因为<α<π，  <β<π，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－ ，所以cos(α－β)＝ .         则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－ × ＋ × ＝－.点睛:　本题考查的是三角函数式化简中的给值求值问题，看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分β=[α－(α－β)，从而正确使用公式；由条件可得－<α－β<, cos(α－β)＝,再根据cos β＝cos[α－(α－β)],利用两角和差的余弦公式,运算求得结果.19．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．然后解答补充完整的题，在中，角，，的对边分别为，，，已知______，．（1）求；（2）如图，为边上一点，，，求边．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）若选择条件①：由，根据正弦定理边化角，即可求得；若选择条件②由，化简可得：，根据正弦定理边化角，即可求得．（2）若选择条件①：设，根据已知条件求得，结合余弦定理可求得，在直角三角形中，由，即可求得答案；若选择条件②：同选择①的答案.【详解】若选择条件①，则答案为：（1）在中，由正弦定理得，，两边平方可得：则，，．（2）设易知在中，由余弦定理，得，解得或（舍去）在直角三角形中，，，，．若选择条件②，则答案为：（1），，由正弦定理得，，，，，由，解得：（2）同选择①的答案．【点睛】本题解题关键是掌握正弦定理边化角的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20．在中，内角所对的边分别为，已知．（1）证明：；（2）若的面积，求角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）或.【详解】试题分析：（1）由正弦定理得，进而得，根据三角形内角和定理即可得结论；（2）由得，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得，进而得讨论得结果.试题解析：（1）由正弦定理得，故，于是．又，故，所以或，因此（舍去）或，所以．（2）由得，故有，因，得．又，所以．当时，；当时，．综上，或．【解析】1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理. 21．已知函数,且的图象上相邻两条对称轴的距离为,图象过点.（1）求的表达式和的单调增区间；（2）若函数在区间上有且只有一个零点,求实数的取值范围.【答案】（1），单调增区间（2）或【分析】（1）根据已知条件代入，求解相关参数，确定函数表达式，再根据三角函数单调区间求法解答；（2）由（1）写出函数解析式，零点问题转化成函数的图像和直线的交点问题，即可求解参数取值范围.【详解】（1）由题意，得的最小正周期，则，的图像过点，，即令，解得故的单调增区间为（2）由（1）知，若函数在区间上有且只有一个零点.则函数的图像和直线有且只有一个交点.即曲线与直线有且只有一个交点.由图可知，或，即实数的取值范围为或【点睛】本题考查：（1）求型函数单调区间；（2）三角函数零点问题，属于难题.22．已知函数，．（1）当时，求函数的值域；（2）设，当时，不等式恒成立，设实数的取值范围对应的集合为，若在（1）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1），首先求出，令，然后可得，然后，然后可求出答案；（2）由可得，令，则，，然后可得，由（1）可得，然后可得答案.【详解】（1），当时，，，，即，令，则，，，由，得，，当时，有最小值，当时，有最大值1，当时，函数的值域为．（2）当，不等式恒成立，时，，，恒成立，令，则，，又，当且仅当即时取等号，而，，即，．又由（1）知，，当时，，要使恒成立，只需，的取值范围是．【点睛】方法点睛：（1）常用分离变量法解决恒成立问题，（2）在解决复杂函数的问题时，常用换元法将其转化为常见的函数处理.