2022-2023学年辽宁省沈阳市第十一中学高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市第十一中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知，则点P所在象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据角所在象限确定点横、纵坐标的正负，即可得解.

【详解】因为1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角，

所以，

所以点P所在象限为第四象限.

故选：D.

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由角的变换，根据诱导公式化简求值.

【详解】，

，

.

故选：A.

3．已知向量，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意结合数量积的运算律分析运算.

【详解】因为，则，

可得，即，整理得，

所以

.

故选：C.

4．在中，若，则点H是的（    ）

A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心

【答案】A

【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.

【详解】因为，则，

所以，即点H在边的高线所在直线上，

同理可得：，

所以点H为的三条高线的交点，即点H是的垂心.

故选：A.

5．已知在中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号.

【详解】因为，则，

可得，

又，则，

即，可得，

又因为，

所以.

故选：B.

6．函数的部分图象如图所示，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数的部分图象以及五点法作图，求出的解析式，再计算的值．

【详解】解：由函数，，的部分图象知，

，，解得，

再由五点法作图可得，解得；

，

．

故选：A．

7．已知，则的一个可能值是．（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】利用辅助角公式化简，根据定义域求值域即可判断选项.

【详解】,

因为，所以，

所以，

因为，，

所以的一个可能值是，

故选：B

8．若把函数的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】由三角函数图像平移规则，可得到平移后图像的解析式，利用诱导公式可以得到关于的关系式，解之即可解决.

【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到

由可得，即

当时，.

故选：A

二、多选题

9．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则（    ）

A．在上是减函数

B．由可得是的整数倍

C．是奇函数

D．函数在区间上有个零点

【答案】AC

【分析】对于A，确定的取值范围，根据正弦函数的单调性即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，根据三角函数的图象的平移变换确定的解析式，再判断奇偶性即可；对于D，求出函数在一个周期内的零点个数，即可判断.

【详解】由题意知，

对于A.当时，，

因为在上单调递减，

所以在上是减函数，A正确

对于B.当，时，，但不是的整数倍，B错误

对于C.由题意，得，故是奇函数，C正确

对于D.由，可得.

当时，，

令或，则或，

因此在上有两个零点，而含有个周期，

因此在区间上有个零点，D错误.

故选：AC.

10．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为 B．在上单调递减

C．的图象关于原点中心对称 D．的值域为

【答案】BD

【分析】化简函数，画出的图象，从而利用图象可一一判断各选项.

【详解】因为

当为第一或第三象限角时，，又，可得，

所以；

当为第二或第四象限角时，，又，可得，

所以；

当时，.

综上，，

作出的部分图象如图所示.

对于A，结合图象可得的最小正周期为，A错误；

对于B，在上单调递减，B正确；

对于C，的图象不关于原点中心对称，错误；

对于D，的值域为，D正确.

故选：BD

11．已知平面向量，是两个夹角为的单位向量，且与垂直，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则与方向相同的单位向量是

B．若，则在上的投影向量是

C．若，则与方向相同的单位向量是

D．若，则与的夹角的余弦值为

【答案】AC

【分析】先由向量垂直化简可得或，分结合投影向量判断AB，时由夹角公式判断CD.

【详解】由题意得，

，解得或．

A，B选项：若，则，此时，，与方向相同的单位向量是，在上的投影向量是，（注意投影向量的概念）故A正确，B错误．

C，D选项：若，则，此时，因此与方向相同的单位向量是，且与的夹角的余弦值为，故C正确，D错误．

故选：AC

12．已知函数在上单调，且，则（    ）

A．函数的图象关于原点对称

B．的图象向左平移个单位长度后可能得到的图象

C．的值不可能是整数

D．在上仅有两个零点

【答案】ACD

【分析】根据条件求出的范围，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.

【详解】因为为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，A正确；

因为在（，）上单调，所以≥=，即≥，所以，

因为，又<ω+≤，得ω+>π，所以，

因为f（x）在（，）上单调，所以函数在（ω+，ω+）上单调，

因为<ω+≤，<ω+≤，所以ω+≤，即，

综上，，C正确.

将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，

若，则，即，

又，所以不存在ω，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象，B错误.

由，得ωx+∈（，πω+），因为，得<πω+≤，

由，可得πω+=π或πω+=2π，即f（x）在上仅有两个零点，D正确

故选：ACD

三、填空题

13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为___cm.

【答案】6π＋40

【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形的弧长公式，可得弧长，即可求解扇形的周长，得到答案.

【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，

∴由扇形的弧长公式，可得弧长，

∴扇形的周长为.

【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

14．在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________

【答案】

【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.

【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，

则，设，，

则，

当时，

故答案为：.

四、双空题

15．已知函数，若，使得，且的最小值为，则的值为_________；若将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于直线对称，则在区间上的最小值为_________．

【答案】     2    

【分析】根据题意可得最小正周期满足，再由，求出，再根据三角函数的平移变换可得，由对称轴可得，，进而求出，再根据三角函数的性质即可求解.

【详解】因为的最大值和最小值分别为和，

又，所以，中一个为最大值，一个为最小值，

因为的最小值为，所以的最小正周期满足，

所以，故.

将的图象向右平移个单位长度后，

所得图象对应的函数为，

由题意可知，直线是图象的一条对称轴，

所以，，所以，，

又，令，则，所以.

因为，所以，

所以在区间上为减函数，

故最小值为.

故答案为：2；

五、填空题

16．已知函数，某相邻两支图像与坐标轴分别交于点，，则方程，所有解的和为_________．

【答案】

【分析】先由题意求出和，从而确定解析式，进而确定方程，然后找出满足题意的情况，解出即可得解.

【详解】由题意知函数的周期，所以，，

把点坐标代入得，结合解得，

所以，则方程，

即为，即为，，

因为，所以，

所以当或时满足题意，

所以或，解得，，故.

故答案为：.

六、解答题

17．已知角的终边经过点．

(1)求、的值；

(2)求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由三角函数的定义可求得、的值；

（2）求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】（1）解：因为角的终边经过点，

由三角函数定义可得，

.

（2）解：由三角函数的定义可得，

原式

.

18．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；

(2)若方程在上恰有三个不相等的实数根，求的取值范围和的值.

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）由函数图象可得，，求得，将点代入的解析式，求得，即可求得函数的解析式；.

（2）将问题转化为函数与的图象在上有三个不同的交点，结合图象以及对称性求解即可.

【详解】（1）解：由函数的图象可得，且，解得，

所以，即，

将点代入的解析式，可得，

解得，

因为，可得，所以.

（2）方程在上恰有三个不相等的实数根，

则函数与的图象在上有三个不同的交点，

设交点的横坐标分别为.

函数在上的图象如下图所示：

由图可知，.

由对称性可知，.

故

19．设两个向量满足，

(1)求方向的单位向量；

(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，求得的坐标和模后求解；

（2）根据向量与向量的夹角为钝角，由，且向量不与向量反向共线求解.

【详解】（1）由已知，

所以，

所以，

即方向的单位向量为；

（2）由已知，，

所以，

因为向量与向量的夹角为钝角，

所以，且向量不与向量反向共线，

设，则，解得，

从而，

解得.

20．如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间（单位：）与位移（单位：）之间的对应数据如表所示，其变化规律可以用来刻画．

(1)试确定位移关于时间的函数关系式；

(2)在理想状态下，经过10秒，该弹簧振子的位移和路程分别是多少？（精确到0.1）

【答案】(1)

(2)弹簧振子的位移是，路程为

【分析】（1）根据最值确定，由周期求，代入一个最高点或最低点坐标求出；

（2）经过秒，该弹簧振子的位移即为时的函数值，而计算该弹簧振子经过的路程则要先计算周期，再乘以一个周期弹簧振子经过的路程.

【详解】（1）由数据表可知，．

振子的周期为0.60s，所以，解得．

所以，因为时，．

所以，，，

因为，所以．

所以位移y关于时间t的函数解析式为．

（2）当时，

，

所以该弹簧振子的位移是10mm．

因为10秒内，该弹簧振子经过了个周期，

所以该弹簧振子经过的路程为．

21．已知函数，.

(1)若，，求的对称中心；

(2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意利用正弦函数的性质可求出的最小正周期为，从而可求出，则可求得解析式，然后可求出其对称中心；

（2）先利用三角函数图象变换规律求出，再根据是的一个零点和可求出，从而可求出的解析式，则可求出的最小正周期，再利用正弦函数的零点和周期性可求得结果.

【详解】（1）因为，，

所以的最小正周期为，

因为，的最小正周期为，

所以，得，

所以，

由，得，

所以的对称中心为；

（2）由函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，可得

，

因为是的一个零点，

所以，

所以，

所以，或，

解得或，

因为，所以，

所以，

所以的最小正周期为，

令，则，

解得，或，

所以，或，

因为函数在（且）上恰好有10个零点，

且要使最小，必须使恰好为的零点，前两个零点相距，

所以的最小值为.

22．，且.

(1)方程在有且仅有一个解，求的取值范围．

(2)设，对，总，使成立，求的范围．

(3)若与的图象关于对称，求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由已知条件求出的值，可得出函数的解析式，分析可知函数与函数在上的图象只有一个公共点，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可；

（2）求出函数在上的最小值，可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围；

（3）利用函数的对称性可得出函数的解析式，由结合余弦函数的图象可得出，结合正弦函数基本性质可解此不等式.

【详解】（1）解：因为，

则，可得，

因为，则，所以，，可得，

所以，，

当时，，

作出函数与函数在上的图象如下图所示：

由图可知当或时，即当时，

函数与函数在上的图象只有一个公共点，

所以，实数的取值范围是.

（2）解：因为，

由题意，对，总，使，则，

当时，，则，

所以，，使得，

所以，，

因为，则，

令，函数在上单调递减，

所以，，所以，，

因此，实数的取值范围是.

（3）解：因为与的图象关于对称，

则

，

因为，令，

则，即，

作出函数的图象如下图所示：

由可得，

即，

因为，故，可得，

解得或，

即，

因此，原不等式的解集为.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，，，.

（1）若，，有成立，则；

（2）若，，有成立，则；

（3）若，，有成立，则；

（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.