2022-2023学年新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一下学期3月月考数学试题含解析

2022-2023学年新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，求得，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.

【详解】由题意，向量，

因为，可得，解得，

所以．

故选：D．

2．设为虚数单位，复数满足，则　　

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．

【详解】由，得，

，故选．

【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算．

3．点是线段靠近点的三等分点，下列正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据相等向量的概念，可得，，即可求解.

【详解】由点是线段靠近点的三等分点，则，.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了向量的基本概念及线性运算，其中解答中熟记相等向量的基本概念是解答的关键，着重考查了计算能力.

4．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先利用复数的除法求出复数，利用共轭复数的概念可得出复数，由此可得出复数的虚部.

【详解】，在等式两边同时除以得，，

因此，复数的虚部为.

故选：D.

【点睛】本题考查复数虚部的求解，涉及复数的除法以及共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.

5．如图，ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则的值为（    ）

A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．

【答案】C

【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可.

【详解】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，且AB＝BE，

可知，，

所以.

故选：C.

6．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且直观图的面积为2，则该平面图形的面积为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】结合，可得答案．

【详解】解：由已知直观图的面积为2，

原来图形的面积.

故选：B．

7．如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用棱锥的体积公式计算即可．

【详解】三棱锥的体积为：

故选：C

【点睛】本题考查柱锥台体的体积公式，考查学生计算能力，属于基础题．

8．如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（    ）（）

A．8米 B．9米 C．40米 D．45米

【答案】D

【分析】设，得到可得，在直角中，根据列出方程，求得的值，即可求解.

【详解】由题意，设，由，可得，

因为且，

在直角中，可得，解得，

所以.

故选：D.

二、多选题

9．下列有关向量命题，不正确的是（    ）

A．若，则 B．已知，且，则

C．若，则 D．若，则且

【答案】AB

【解析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项．

【详解】向量由两个要素方向和长度描述，A错；若，且与垂直，结果成立，但不一定等于，B错；相等向量模相等，方向相同，D选项对．

故选：AB．

10．若复数z满足，则（    ）

A． B．z的实部为1

C． D．

【答案】BC

【分析】先利用复数的运算求出复数z，然后逐个分析判断即可

【详解】解：由，得，

所以z的实部为1，，，

故选：BC

【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题

11．是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（    ）

A．是单位向量 B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断.

【详解】A. 因为是边长为2的等边三角形，所以，又，所以 是单位向量，故正确；

B. 因为，，所以，所以，故正确；

C. 因为，所以，故错误；

D. 因为， ，所以，所以，故正确.

故选：ABD

【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12．在中，如下判断正确的是（    ）

A．若，则为等腰三角形 B．若，则

C．若为锐角三角形，则 D．若，则

【答案】BCD

【分析】选项A. 由题意可得或，从而可判断；选项B. 若,则，由正弦定理可判断；选项C. 若为锐角三角形，则，即所以，由 正弦函数的单调性可判断；选项D. 在中,若，由正弦定理可得，从而可判断.

【详解】选项A. 在中, 若,则或

所以或，所以为等腰或直角三角形. 故A 不正确.

选项B. 在中, 若,则，

由正弦定理可得,即，故B正确.

选项C. 若为锐角三角形，则

所以，所以 ,故C正确.

选项D. 在中,若，由正弦定理可得，

即，所以，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为 .

【答案】6

【详解】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.

14．已知向量的夹角为，若，则________.

【答案】

【解析】由向量，求得，利用向量的数量积和模的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，向量，可得，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积和模的计算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.

15．设复数z，满足，，，则____________．

【答案】

【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值.

【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示：

因为，所以，所以，

又因为，所以，

所以，

所以，又，

故答案为：.

【点睛】结论点睛：复数的几何意义：

（1）复数复平面内的点；

（2）复数 平面向量.

16．设的内角所对的边分别为，已知，则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】由题中条件，根据余弦定理，利用基本不等式，求出的最大值，再根据三角形的性质，即可得出结果.

【详解】因为中，，，

由余弦定理可得，，

即，

当且仅当时，等号成立，

所以，则，

又在三角形中，两边之和大于第三边，则，

综上，.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：

求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.

四、解答题

17．已知.

（1）若与同向，求；

（2）若与的夹角为，求.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）设，根据题意，得到，利用向量的坐标运算，求得，再根据，即可求解；

（2）设，根据向量的数量积运算，列出方程求得，再结合，求得向量，即可求解.

【详解】（1）设，因为与同向，所以存在实数，使得，

即，可得，

又因为，可得，解得或（舍，

所以.

（2）设，所以，

因为，故，即，

因为，所以，可得故，

当，时，，

当，时，.

【点睛】向量的数量积的两种运算方法：

1、当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即；

2、已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若，则向量的数量积为.

18．已知复数，其中是虚数单位．

（1）当为何值时，复数是纯虚数？

（2）若复数对应的点在复平面内第二，四象限角平分线上，求的模．

【答案】（1）0；（2）见解析

【分析】（1）直接由复数的实部为0，且虚部不为0，列式求解即可；

（2）由实部与虚部的和等于0列式求得，进一步求得，则||可求．

【详解】（1）由复数是纯虚数，得，即时，是纯虚数；

（2）∵复数对应的点在复平面内第二，四象限角平分线上，

由，即，得或.

当＝﹣时，＝，则||＝＝；

当＝1时，＝0，则||＝0．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的模，属于基础题．

19．已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).

(1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)，.

【分析】（1）求出向量的坐标，利用两向量的数量积为，两向量垂直即证出两线垂直.

（2）利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标，求出两对角线对应的向量坐标，利用向量的数量积公式求出向量的夹角.

【详解】（1）证明　∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，

∴＝(1，1)，＝(－3，3).

又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，

∴⊥，即AB⊥AD.

（2）∵⊥，四边形ABCD为矩形，

∴＝.

设C点坐标为(x，y)，则＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，

∴解得∴C点坐标为.

由于＝(－2，4)，＝(－4，2)，

∴·＝8＋8＝16.

又||＝2 ，||＝2 ，

设与的夹角为θ，

则＝＝，

所以矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.

20．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cosA＝﹣．

（1）求c；

（2）求cos2B的值．

【答案】（1）c＝2；（2）﹣．

【分析】（1）由余弦定理即可求得c的值；

（2）先由同角三角函数的平方关系求得sinA的值，再由正弦定理求出sinB的值，最后根据cos2B＝1﹣2sin2B，得解．

【详解】解：（1）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即48＝36+c2﹣2×6×c×（﹣），

整理得，c2+4c﹣12＝0，

解得c＝2或﹣6（舍负），

故c＝2．

（2）∵cosA＝﹣，且A∈(0，π），

∴sinA＝，

由正弦定理知，，即，

∴sinB＝，

∴cos2B＝1﹣2sin2B＝﹣．

21．在①，，②，这两组条件中任选一组补充在下面问题的横线上，并进行解答.

已知的内角，，所对的边分别是，，，若，__________.

（1）求；

（2）求的面积.

【答案】选择条件①（1）；（2）；选择条件②（1）；（2）.

【解析】（1）解法一：利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质即可求解；解法二：利用余弦定理即可求解.

（2）选择条件①. 利用余弦定理，，可得，再由三角形的面积公式即可求解；选择条件②，利用正弦定理可得，，以及三角形的面积公式即可求解.

【详解】解：（1）解法一：由正弦定理，得，

由，得，

即，整理得，

由，得，

所以.

解法二：由余弦定理，得，

整理得，

所以

（2）选择条件①. 由余弦定理，得，即，

即，

又，得，解得，

在中，由，得，

由面积公式，得.

选择条件②. 在中，由，得，

由，得，

由正弦定理，得，

联立，解得，，

由，

由面积公式，得.

22．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.

（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.

【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，

得，

因为，所以，即．

又因为，所以．

（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理

因为，如图，在中，，①

在中，．②

由①②得，整理得．

又因为，所以，解得或，

当时，（舍去）．

当时，．

所以．

[方法二]：等面积法和三角形相似

如图，已知，则，

即，

而，即，

故有，从而．

由，即，即，即，

故，即，

又，所以，

则．

[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合

由（1）知，再由得．

在中，由正弦定理得．

又，所以，化简得．

在中，由正弦定理知，又由，所以．

在中，由余弦定理，得．

故．

[方法四]：构造辅助线利用相似的性质

如图，作，交于点E，则．

由，得．

在中，．

在中．

因为，

所以，

整理得．

又因为，所以，

即或．

下同解法1．

[方法五]：平面向量基本定理

因为，所以．

以向量为基底，有．

所以，

即，

又因为，所以．③

由余弦定理得，

所以④

联立③④，得．

所以或．

下同解法1．

[方法六]：建系求解

以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，

长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示，则．

由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．

设，则．⑤

由知，，

即．⑥

联立⑤⑥解得或（舍去），，

代入⑥式得，

由余弦定理得．

【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.