2022-2023学年江苏省泰州市高一下学期第一次阶段检测数学试题含解析

  高一年级2023年春学期

第一次阶段检测数学试题

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1. 已知向量，，且，那么等于（    ）

A. (4，0) B. (0，4) C. (3，－6) D. (－3，6)

【答案】C

【解析】

【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】解析　∵，∴

则得

∴，

∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).

故选：C

2. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】.所以

3. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式求解．

【详解】

．

故选：B．

4. 八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（    ）

A. 10 B. 12 C. 14 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】利用转化法得，展开利用向量数量积的定义并代入相关数据即可.

【详解】如图所示：连接，

因为中间阴影部分是正方形且边长为2，

且图中各个三角形为等腰直角三角形，

所以可得，，，

则，

.

故选：C.

5. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（    ）

A. 2 B.  C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出在上的投影向量的坐标，从而求出投影向量的模．

【详解】∵，，∴，，

∴在上的投影向量为，

则在上的投影向量的模为．

故选：C．

6. 已知，满足，与的夹角为，记，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件，其中，则起点相同，且终点共线，采取数形结合法进行解决.

【详解】如图，，，则，则，

因为，其中，

则与共起点，且终点共线，即在直线AB上，

于是（即为，其中）时，最小，最小值为.

故选：A.

7. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据，，两式平方相加得到，根据，得到代入求解.

【详解】因为，，

所以两式平方相加得，

即，

又因为，

所以，即，，

将代入，

得，即，

所以，

∴.

故选：D.

8. 在中，角，都是锐角，且，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件由诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系可得，再由展开表示为关于的函数，利用基本不等式即可求最值.

【详解】由，

可得，

所以，

所以，

即，所以，

所以

，

因为角，都是锐角，所有，，

所以，

当且仅当即时等号成立，

所以，

所以的最大值是，

故选：D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 向量与共线是四点共线的必要不充分条件

B. 若，则存在唯一实数使得

C. 已知，，则与+的夹角为锐角的充要条件是

D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量

【答案】AD

【解析】

【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A；根据向量共线充要条件可判断B；当时，，此时与的夹角为，可判断C；由平面向量加法和已知条件可得为的平分线，又因为为的中线，所以，可判断 D．

【详解】对于A：A，B，C，D四点共线向量与共线，反之不成立，可能，不一定四点共线，所以A正确；

对于B：当，时，不存在实数使得，

当，时，存在无数个实数使得，故B错误；

对于C：当时，，此时与的夹角为，不是锐角，故C错误；

对于D：由平面向量加法可知，表示：与的平分线表示的向量平行的向量，

因为，所以为的平分线，

又因为为的中线，所以，所以是在的投影向量，故D正确.

故选：AD.

10. 下列各式中，值为的有（    ）

A. sin7°cos23°+ sin 83°cos 67° B. 4sin10°cos20°cos 40°

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，由诱导公式及两角和的正弦公式化简求值；对于B，用二倍角公式化简求值；对于C，由二倍角公式及辅助角公式化简求值；对于D，先去括号，由两角和的正切公式化简求值.

【详解】，故A正确；

，故B正确；

，故C错误；

对D，

，故D正确.

故选：ABD.

11. 如图所示，中，AB＝3，AC＝2， ，点M为线段AB中点，N在线段BC上，且，连接CM与AN相交于P，则下列结论正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】中，由余弦定理求得可判断A；由可得，两边平方可求得，可判断D；在中，由余弦定理求得，可判断B；由共线可得，由共线得，从而且，解得，可判断C.

【详解】中，AB＝3，AC＝2， ，

由余弦定理得，，故A错误；

∵，∴，∴，

∴，

∴，故D正确；

在中，，

∴，故B正确；

∵共线，∴，∴，

∴，

∵共线，，

∵不共线，∴且，解得，

∴，故C错误.

故选：BD.

12. 已知奇函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法中正确的有（    ）

A. 函数的图象关于直线对称

B. 当时，函数的最小值是

C. 函数在区间上单调递增

D. 当若函数有且仅有2个零点，则所有零点之和为

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简的解析式，根据其奇偶性和最小正周期以及即可求得的值，再根据图象平移求出的解析式，验证时是否取最值即可判断A；根据，结合的解析式利用整体代换和三角函数性质可求得其最小值，即得B正确；当，由整体代换和三角函数图象的单调性可判断C错误；分别求出函数在上的所有零点，即可得D正确.

【详解】由，

因为函数为奇函数，则，所以，

又因为，所以.

由函数的最小正周期为，可得，即；

故；

将函数的图象向右平移个单位，得到函数；

因为，所以是函数的一条对称轴，即A正确；

当，，由正弦函数性质可得，

所以当时，函数的最小值是，即B正确；

当时，，根据三角函数单调性可得，函数在区间上不单调，所以C错误；

当时，令，可得；

此时两零点之和为，即D正确.

故选：ABD

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 已知的坐标分别是和，若P在直线AB上，且，则P的坐标为________.

【答案】或

【解析】

【分析】设的坐标为，则，，分两种情况讨论：当P在线段AB上时，；当P在线段AB的延长线上时，，结合向量的坐标运算求解即可．

【详解】设的坐标为，则，，

当P在线段AB上时，，

，

即，解得，即点的坐标为．

当P在线段AB的延长线上时，，

，

即，解得，即点的坐标为．

综上，点的坐标为或．

故答案为：或．

14. ，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】根据同角关系式，诱导公式及两角差的正弦公式，由计算即可.

【详解】 ，，又，

，，

所以 ，

则

.

故答案为： .

15. 设α、β都是锐角，且，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】

由α是锐角，求出的值，再由β是锐角，得出的值，将角转化成，利用两角和差的余弦公式化简计算，并验证即可.

【详解】因为α是锐角，，所以，

因为β是锐角，所以，

又，所以，

所以

当时， ，此时，即，与矛盾，舍去，

当时， ，符合要求

故答案为：

【点睛】本题主要考查了两角和与差的正余弦公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题，熟练掌无公式并应用是解题的关键.

16. 在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】取线段MN的中点P，结合向量数量积求出边AB上的高CO，进而求出的正余弦即可求解作答.

【详解】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，，

依题意，，

因的最小值为3，则的最小值为2，因此，

在中，，，在中，，，

所以.

故答案为：

【点睛】关键点睛：涉及定长线段两端点向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.

四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 已知，.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.

（1）若________，求实数的值；

（2）若向量，且，求.

【答案】（1）选①：，选②：，选③：；（2）.

【解析】

【分析】（1）求出和的坐标，选①由向量平行的坐标表示列方程，解方程即可求解；选②由向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可求解；选③由平面向量模长的坐标运算列方程，解方程即可求出结果；

（2）根据平面向量线性运算的坐标运算建立方程组，即可求解；

【详解】因为，

所以，，

选①：

（1）因为，

所以；即，解得；

（2），

所以，可得，所以，所以；

选②：

（1）因为，所以；

即，解得：；

（2），

所以，可得，所以，所以；

选③：

（1）因为，

所以，

即，解得：；

（2），

所以，可得，所以，所以.

18. 已知，且，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函数关系式可求得，根据，利用两角和的正弦公式可求得结果；

（2）根据同角三角函数关系式可求得，由，结合两角差的余弦公式和的范围可求得结果.

【小问1详解】

，，，

；

【小问2详解】

，，，

，

，，.

19. 已知向量，，设.

（1）若，求当取最小值时实数的值;

（2）若，问:是否存在实数，使得向量与向量的夹角为?若存在，求出实数;若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

【分析】（1）由题意可得，，从而可得，再利用二次函数的性质可得答案，

（2）由题意可得，再由可得，从而可求得，的值，从而可求出实数的值

【详解】（1）当时，，则，

∴=，

∴当时，取得最小值.

（2）假设存在满足条件的实数t.

由条件得，

∵，∴=，

=，

，

∴.

∴，且，得.

∴存在满足条件.

20. 如图，在平面直角坐标系中，点，是以为直径的上半圆弧上两点（点在的右侧），点为半圆的圆心，已知，，.

（1）若点的横坐标为，点的纵坐标为，求的值；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）计算，，，，利用和差公式计算得到答案.

（2），故，，，计算得到答案.

【详解】（1）根据题意：，，，

，故，，

故.

（2），故，故，.

，，故

.

，则，故.

【点睛】本题考查了三角恒等变换，向量的数量积，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

21. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD池底水平铺设污水净化管道（三条边）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上（含线段两端点），已知米，米，.

（1）设的周长为L，求L关于的函数关系式，并求出定义域；

（2）为何值时，污水净化效果最好？

【答案】（1），   

（2）或

【解析】

【分析】（1）利用直角三角形中边角关系求得边长，进而得L关于的函数关系式，由求出定义域；

（2）由（1）得，令，结合辅助角公式及三角函数的性质求得答案.

【小问1详解】

由题意得，，

则，，∴，

∵，，∴，∴，

∴，.

【小问2详解】

由（1）得，，

设，则，，

∴，

∵，∴，则，

∴在上单调递减，

∴当时，即或时，污水净化效果最好

22. 已知向量， ，函数

， .

（1）若的最小值为-1，求实数的值；

（2）是否存在实数，使函数， 有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数即可．
（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
试题解析：

（1）∵，

，

∴ ，

∵∴，

，令，

∴∵，对称轴为，

①当即时，当时， ∴舍，

②当即时，当时， ∴，

③当即是，当时， ∴舍，

综上， .

（2）令，即，

∴或，∵， 有四个不同的零点，

∴方程和在上共有四个不同的实根，

∴∴∴.