2022-2023学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学试题word版含解析

这是一份2022-2023学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学试题word版含解析，共41页。试卷主要包含了 答第Ⅱ卷时，必须使用0， 计算， 已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
 安徽省示范高中培优联盟2023年春季联赛（高一）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3. 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，其中第3题为选考题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，若，则实数a取值集合为（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D.
4. 小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为，方差为，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
5. 我国南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中给出了三角形的面积公式：已知的三边分别为a，b，c，则的面积.在中，，，则面积的最大值为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
6. 计算：的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
7. 已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若，是函数的两个零点，且，则实数（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，其中第10题为选考题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
10. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点（ ）
A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍
B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍
C. 横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度
11. 如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）

A. 直线与所成的角的大小为 B. 直线平面
C. 平面平面 D. 平面将正方体截成的两部分的体积之比为
12. 一位植物学家想要研究某类植物生长1年之后的高度，他随机抽取了n株此类作物，测得它们生长1年之后的高度（单位：cm），将收集到的数据按照，，，，，，分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的植物生长1年之后高度低于60cm的有20株，则以下结论中正确的是（ ）

A. B. 此次检测植物生长高度的第80百分位数约为80
C. 此次检测植物生长高度的众数的估计值为80 D. 此次检测植物生长高度在之间的有50株
13. 已知是定义在有限实数集A上的函数，且，若函数的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则的值不可能是（ ）
A. 0 B. C. D.
14. 已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（ ）
A. 为奇函数 B. 4为的周期
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
15. 已知函数是奇函数，则a的值为______.
16. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系，历来中国有“制扇王国”之称.现有一块扇子如图1所示，其平面图如图2所示，在扇形中，已知，，，则扇面（曲边四边形ABCD）的面积为______.

18. 已知函数，，对任意的a，b，，都存在以，，为三边的三角形，则称该函数为三角形函数.若函数是三角形函数，则实数m的取值范围是______.
四、解答题（本题共6小题，其中第19题为选考题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19. 如图，斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对，在斜坐标系中完成下列问题：

（1）若向量，的坐标分别为，，计算的大小；
（2）已知向量的坐标为，向量的坐标为，证明：若，则.
20. 已知在区间上单调，满足，对任意的，都有.
（1）求的解析式；
（2）设，求在上单调递增区间.
21. 在四面体中，点H为的垂心，且平面．

（1）若，求证：；
（2）若，证明：．
22. 某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加全国高中数学竞赛，现整理了近期两人5次模拟考试的成绩，结果如下表：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩（分）
78
80
65
85
92
乙的成绩（分）
75
86
70
95
74

（1）如果根据甲、乙两人近5次的考试成绩，你认为选谁参加较合适？并说明理由；
（2）如果按照如下方案推荐参加全国高中数学竞赛：
方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加全国高中数学竞赛，否则被淘汰；
方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加全国高中数学竞赛，否则被淘汰.
已知学生甲只会5道备选题中的3道，那么学生甲选择哪种答题方案可参加全国高中数学竞赛的可能性更大？并说明理由.
23. 已知函数，.
（1）若，在上单调递增，求的取值范围；
（2）对任意，都有，证明：.
24. 如图所示，已知的外接圆半径为，，是线段，上的两点，点是的外心，且是线段的中点，.

（1）证明：；
（2）求的最小值.
25. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理及生活中有着重要应用.称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数.
（1）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）函数在有2个零点，求实数m的取值范围.



安徽省示范高中培优联盟2023年春季联赛（高一）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3. 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，其中第3题为选考题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，若，则实数a取值集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】由，知，因为，，
若，则方程无解，所以；
若，，则，
因为，所以，则；
故实数取值集合为.
故选：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可.
【详解】若，则，即或，推不出；反过来，若，可推出.
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
【选考人教版】
3. 欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由欧拉公式，代入对应的值，即可判断A和C；由得，两式联立，解出即可判断B；由二倍角公式即可判断D．
【详解】对于A：由欧拉公式得，所以，故A错误；
对于B：由得，
两式联立得，两式相减消去得，，
所以，故B错误；
对于C：由欧拉公式得，，在复平面对应点的坐标为，
因为，
所以，
所以在复平面内对应的点位于第四象限，故C错误；
对于D：，故D正确，
故选：D．
【选考北师大版】
4. 小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为，方差为，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】不妨记更正前该组数据为：，然后根据平均数和方差公式先求出，再利用公式即可求得更正后的平均数和方差.
【详解】不妨记更正前该组数据为：，
则更正后的数据为：.
由题可知，，
整理得.
所以，
.
故选：D
5. 我国南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中给出了三角形的面积公式：已知的三边分别为a，b，c，则的面积.在中，，，则面积的最大值为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】将，代入面积公式可得，再利用二次函数单调性即可得时，面积的最大值为.
【详解】由可得，
将，代入面积公式可得



由二次函数单调性可知，当时，取最大值；
经检验符合题意，所以面积的最大值为.
故选：A
6. 计算：的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦的倍角公式，合计两角和与差的正弦、余弦公式，准确化简，即可求解.
【详解】由


.
故选：D.
7. 已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两向量与的夹角为可画出图示表示其位置关系，再根据的取值范围即可求得实数t的取值范围是.
【详解】根据题意可知，利用平面向量的三角形法则画出其几何关系，如下图所示：

记，则；
由平面向量的三角形法则可知，点可以在射线（除点外）上移动，
易知当，即时，取最小值，
此时，即；
若恒成立时，即即可，
由可得，，即;
所以，实数t的取值范围为.
故选：A
8. 已知函数，若，是函数的两个零点，且，则实数（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将函数的零点代入表达式，利用换元法，可得，找到与关系，代入，化简可得，即可求得结果．
【详解】，是函数的两个零点，
，即，同理，
，是方程的两个根，其中，，
，可得，
，
，
即，
，
故选：C．
9. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得到，，，令，其中，求得，结合函数的单调性，即可求解.
详解】由，，，
对两边取对数，可得，，，
令，其中，
可得，
令，可得，所以为单调递增函数，
当时，可得，所以,
所以，在单调递增，
所以，即，
所以.
故选：A.
二、选择题（本题共4小题，其中第10题为选考题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
10. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点（ ）
A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍
B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍
C. 横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用诱导公式将化简，再根据三角函数的变换规则一一判断即可.
【详解】因为，
所以将向左平移个单位长度得到，
再将横坐标缩短到原来的倍得到，故A正确；
将向右平移个单位长度得到，
再将横坐标缩短到原来的倍得到，故B正确；
将横坐标伸长到原来的倍得到，
再将向左平移个单位长度得到，故C错误；
将横坐标缩短到原来的倍得到，
再将向左平移个单位长度得到，故D正确；
故选：ABD
【选考人教版】
11. 如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）

A. 直线与所成的角的大小为 B. 直线平面
C. 平面平面 D. 平面将正方体截成的两部分的体积之比为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，利用异面直线所成的角将平移至即可知直线与所成的角的大小为；对于B，假设直线平面，利用线面垂直的性质定理可得，显然不成立，即B错误；同理对于C，由面面垂直的性质定理可以得出矛盾，所以C错误；对于D，分别求得平面将正方体截成的两部分的体积即可知D正确.
【详解】对于A，连接，如下图所示：

由正方体性质可知，，即三角形为正三角形，
又因为分别为的中点，所以，
因此直线与所成的角即为直线与所成的角，即或其补角；
又，所以直线与所成的角的大小为，即A正确；
对于B，假设直线平面，又平面，所以；
连接，如下图所示：

易知平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又易知平面，所以，这与矛盾，
所以直线与平面不垂直，即B错误；
对于C，取的中点为，连接，如下图所示：

易知，的中点为，所以，
假设平面平面，且平面平面，
所以平面，又平面，
可得，这与矛盾，所以C错误；
对于D，不妨设正方体边长为，则正方体的体积即为，
平面将正方体截成较小部分为三棱锥，
由锥体体积公式可得，
则较大部分体积为，
所以平面将正方体截成的两部分的体积之比为，即D正确.
故选：AD
【选考北师大版】
12. 一位植物学家想要研究某类植物生长1年之后的高度，他随机抽取了n株此类作物，测得它们生长1年之后的高度（单位：cm），将收集到的数据按照，，，，，，分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的植物生长1年之后高度低于60cm的有20株，则以下结论中正确的是（ ）

A. B. 此次检测植物生长高度的第80百分位数约为80
C. 此次检测植物生长高度的众数的估计值为80 D. 此次检测植物生长高度在之间的有50株
【答案】AD
【解析】
【分析】先由频率求得n，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果.
【详解】对于A，植物生长1年之后高度低于60cm的频率为，
所以，解得.故A正确；
对于B，设这组数据的第80百分位数为m，则，解得：.故B错误；
对于C，由众数的定义知，估计这组数据的众数为85.故C错误；
对于D，此次检测植物生长高度在之间的频率为，
所以此次检测植物生长高度在之间有株.故D正确.
故选：AD
13. 已知是定义在有限实数集A上的函数，且，若函数的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则的值不可能是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】问题相当于圆上由个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，根据定义就是要求一个只能对应一个可得答案.
【详解】由题意得到，问题相当于圆上由个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，
我们可以通过代入和赋值的方法，
当时，此时得到的圆心角为，然而此时或者时，都有个与之对应，
而我们知道函数的定义就是要求一个只能对应一个，
因此只有当时旋转，此时满足一个只会对应一个.
故选.：C.
14. 已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（ ）
A. 为奇函数 B. 4为的周期
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由得出的对称中心为，再由和得出关于对称，则关于轴对称，为偶函数，判断出A；对于B，由和，得出的周期为4，再根据，即可得出的周期；对于C，由的周期性和奇偶性，求出，即可判断C；对于D，根据和的周期即可判断D．
【详解】对于A：
因为，
所以的对称中心为，
因为，
所以，
又，
所以，则关于对称，结合的对称中心为，
所以关于轴对称，即为偶函数，故A错误；
对于B：
因为，
所以，
又，
所以，即，
所以，即的周期为4，
又，
所以的周期也为4，故B正确；
对于C：
由对称中心为，得，
又因为对称轴为，所以，所以关于对称中心，
所以和关于点对称，
所以，
所以，
所以，故C错误；
对于D：
由C得，
因为，
所以，，，，
所以
，
又因为的周期为4，
所以，故D正确，
故选：BD．
【点睛】方法点睛：①若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称；②若函数是偶函数，则函数的图像关于直线对称；③若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称；④若函数是偶函数，则函数的图像关于直线对称；⑤若函数的图像既有对称轴又有对称中心，则对称轴关于对称中心对称的直线仍是函数图像的对称轴，对称中心关于对称轴对称的点仍是函数图像的对称中心；⑥若函数的图像关于点对称，且函数在时有意义，则有；⑦若函数的图像具有双对称性，则函数为周期函数；若的图像关于直线，对称，则函数是以为周期的周期函数；若的图像关于点和对称，则函数是以为周期的周期函数；若的图像关于直线对称，又关于点对称，则函数是以为周期的周期函数；⑧若函数的周期为，则函数的周期为．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
15. 已知函数是奇函数，则a的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】易知函数是定义在R上的函数，直接利用奇函数定义建立方程可以求出.
【详解】因，即在R上恒成立，
所以函数的定义域为R，
又函数是奇函数，
所以，
则，所以.
故答案为：
16. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系，历来中国有“制扇王国”之称.现有一块扇子如图1所示，其平面图如图2所示，在扇形中，已知，，，则扇面（曲边四边形ABCD）的面积为______.

【答案】##
【解析】
【分析】将圆心角化为弧度，然后用大扇形面积减小扇形面积可得.
【详解】因为，所以，扇面的面积为.
故答案为：
17. 已知正数a，b满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据式子结构特征构造函数，利用函数的单调性得到，再利用基本不等式求解最小值.
【详解】因为正数a，b满足，所以，
设，则，所以函数在上单调递增，
因为，所以，即，
所以
，当且仅当即时，等号成立，
故答案为：
18. 已知函数，，对任意的a，b，，都存在以，，为三边的三角形，则称该函数为三角形函数.若函数是三角形函数，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将问题转化为满足求m的取值范围，然后分类讨论函数的值域，根据求解可得.
【详解】当时，；
当时，，令，则，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，即.
不妨设，则对任意的a，b，，都存在以，，为三边的三角形，等价于对任意的a，b，，都有，等价于.
当，即时，，即，所以；
当，即时，，即，所以；
当，即时，，即，所以.
综上，实数m的取值范围为.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，其中第19题为选考题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19. 如图，斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对，在斜坐标系中完成下列问题：

（1）若向量，的坐标分别为，，计算的大小；
（2）已知向量的坐标为，向量的坐标为，证明：若，则.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意可得，，即可求出，根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得；
（2）依题意，，分和两种情况讨论，解得平面向量基本定理及共线定理证明即可.
【小问1详解】
因为向量，的坐标分别为，，
所以，，
所以，
又，，
所以
.
【小问2详解】
因为，，
当时，显然；
当时，即、至少有一个不为，不妨设，
若，则存在实数使得，即，
所以，因为，不共线，
所以，由代入可得，即，
综上可得若，则；
20. 已知在区间上单调，满足，对任意的，都有.
（1）求的解析式；
（2）设，求在上单调递增区间.
【答案】（1）
（2）和
【解析】
【分析】（1）由求出，再根据函数的单调性求出的范围，由求出的值，即可得解；
（2）利用两角差的正弦公式、二倍角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得.
小问1详解】
因为且，
所以，即，所以，
又因为在区间上单调，所以，解得，
又，所以，
所以，解得，
所以，所以.
【小问2详解】
因为

，
即，
令，，解得，，
所以在上的单调递增区间为，，
又，所以时，当时，
所以在上单调递增区间为和.
【选考人教版——立体几何初步】
21. 在四面体中，点H为的垂心，且平面．

（1）若，求证：；
（2）若，证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接并延长，交于于点，连接，由点为的垂心得，首先证明出平面，得出，再结合，证得平面，即可证得；
（2）取的中点，连接，由（1）得，由得出，证得平面，得出，所以垂直平分线段，即可证得．
【小问1详解】
连接并延长，交于于点，连接，
因为点H为的垂心，
所以，
又因为平面，且平面，
所以，
又平面，且，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，平面，，
所以平面，
又平面，
所以．
【小问2详解】
取的中点，连接，
由（1）得，
因为，且点为的中点，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以垂直平分线段，
所以．

【选考北师大版——概率与统计】
22. 某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加全国高中数学竞赛，现整理了近期两人5次模拟考试的成绩，结果如下表：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩（分）
78
80
65
85
92
乙的成绩（分）
75
86
70
95
74

（1）如果根据甲、乙两人近5次的考试成绩，你认为选谁参加较合适？并说明理由；
（2）如果按照如下方案推荐参加全国高中数学竞赛：
方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加全国高中数学竞赛，否则被淘汰；
方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加全国高中数学竞赛，否则被淘汰.
已知学生甲只会5道备选题中的3道，那么学生甲选择哪种答题方案可参加全国高中数学竞赛的可能性更大？并说明理由.
【答案】（1）选派甲参加数学竞赛较合适，理由见解析
（2）选择方案二，理由见解析
【解析】
【分析】（1）计算并比较甲、乙两人近5次的考试成绩的平均分与方差即可；
（2）计算并比较学生甲采用方案一与方案二可参加全国高中数学竞赛的概率即可.
【小问1详解】
选派甲参加数学竞赛较合适．
由题意得，
，
，
，
由，可知甲、乙的平均分相同，但甲的成绩比乙稳定，故选派甲参加数学竞赛较合适；
【小问2详解】
5道备选题中学生甲会的3道分别记为a，b，c，不会的2道分别记为E，F，
方案一：学生甲从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a，b，c，E，F，共5种，
抽中会的备选题的结果有a，b，c，共3种，
所以此方案学生甲可参加全国高中数学竞赛的概率．
方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有：，共10种，
抽中至少2道会的备选题的结果有：，共7种，
所以此方案学生甲可参加全国高中数学竞赛的概率，
因为，所以学生甲选择方案二可参加全国高中数学竞赛的可能性更大．
23. 已知函数，.
（1）若，在上单调递增，求的取值范围；
（2）对任意，都有，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入化简，从而分析的图像，结合的图像得到关于的不等式组，从而得解；
（2）结合题意得到关于的不等式组，消去后得到关于的不等式，解之即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
因为开口向上，对称轴为，
而的图像是由的图像保留轴上方的图像，同时将轴下方的图像往上翻折得到，如图，

因为在上单调递增，所以，解得，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
因为对任意，都有，
所以，，，
即，，，
故①，②，③，
，消去，可得，
整理得，解得，
故，证毕.
24. 如图所示，已知的外接圆半径为，，是线段，上的两点，点是的外心，且是线段的中点，.

（1）证明：；
（2）求的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理表示出、，根据，整理可得，同理可得；
（2）由利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，再根据面积公式计算可得.
【小问1详解】
因为，
，
由，所以，
化简可得，
所以，所以，同理可得，
所以.
【小问2详解】
由，
可得，
化简得，
所以，当且仅当时等号成立，
又




，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
25. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理及生活中有着重要应用.称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数.
（1）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）函数在有2个零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）参变分离，将恒成立问题转化为求最值问题，利用基本不等式可解；
（2）参变分离，通过换元将原问题转化为函数与有两个交点的问题，根据对勾函数性质作图可解.
【小问1详解】
因为，所以，得，
所以，
所以在上恒成立，等价于.
因为，当且仅当，即时，等号成立.
所以，即实数m的取值范围为.
【小问2详解】
因为函数在有2个零点，
所以在有2个实数根，
所以在有2个实数根，
令，易知，在上单调递增，所以，
则，
令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，作函数草图如图，

当时，函数与有两个交点，即函数在有2个零点，
所以，即.