2022-2023学年上海市曹杨第二中学高一下学期期中数学试题含解析

  上海市曹杨二中2022学年度第二学期

高一年级期中考试数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1. 已知点在角的终边上，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数的定义直接求解.

【详解】已知点在角的终边上，

所以

故答案为：

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

2. 函数的最小正周期为____

【答案】

【解析】

【分析】根据余弦型函数的性质求最小正周期即可.

【详解】由余弦函数的性质知：最小正周期.

故答案：

3. 若复数满足（其中i是虚数单位），则______.

【答案】

【解析】

【分析】由已知求得，再由共轭复数的概念求得．

【详解】由，得，

，则．

故答案为：．

4. 已知，，则的单位向量是________.

【答案】

【解析】

【分析】写出的坐标，求出的模长，利用即可求出的单位向量.

【详解】

即

故答案为

【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查学生对模长和数量积的坐标表示，属于基础题.

5. 已知向量，，则在方向上的数量投影为______.

【答案】2

【解析】

【分析】求出两向量的数量积，根据数量投影的意义即可求得答案.

【详解】由题意向量，，得向量，

，

故在方向上的数量投影为，

故答案为：2

6. 若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】分子、分母同除以解方程即可.

【详解】因为，

所以.

故答案为：.

7. 已知，且，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据诱导公式结合同角的三角函数关系求得，再根据两角和的正切公式即可求得答案.

【详解】由可得，

而，故，故，

则，

故答案为：

8. 已知、均为单位向量，且，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据向量垂直时数量积等于0，可求得，根据向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】由已知、均为单位向量，且，

可得，即，

即，

故，由于，

故，

故答案为：

9. 已知公式，，借助这个公式，我们可以求函数的值域，则该函数的值域是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，可令，结合，再进行整体代换即可求解

详解】令，则，

，，

则，，，则函数值域为

故答案为：

【点睛】本题考查3倍角公式的使用，函数的转化思想，属于中档题

10. 若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】将，转化为，再利用两角和与差的正弦函数求解.

【详解】解：因为，

所以，

展开整理得，

两边同除以，

得，

故答案为：-3

11. 设，若函数在区间上的最小值为，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】恒等变形，使原式变成，根据题目条件，求得的最小值为，结合的函数图象，即可求得的取值范围.

【详解】解：，

因为函数在区间上的最小值为，

所以的最小值为，即的最大值为，

则的最小值为，

因为，

所以.

故答案为：

12. 已知是单位向量，向量满足.若不等式对任意实数都成立，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】结合题目条件，设，，则不等式对任意实数都成立，可转化为，由此求出，即可得到的取值范围.

【详解】不妨设，

由，可设，

则对任意实数，有

，

等价于,

解得，所以，

于是.

故答案为：

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）

13. 设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（   ）

A. 和 B. 和

C. 和 D. 和

【答案】C

【解析】

【分析】根据基底的知识确定正确答案.

【详解】依题意，不共线，

A选项，不存在使，

所以和可以组成基底.

B选项，不存在使，

所以和可以组成基底.

C选项，，

所以和不能构成基底.

D选项，不存在使，

所以和可以组成基底.

故选：C

14. 设且，“z是纯虚数”是“”的

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件条件 D. 即非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分、必要条件的定义，结合“z是纯虚数”“”二者关系，即可求解.

【详解】z是纯虚数,则成立，当时，，即，z不一定是纯虚数，

“z是纯虚数”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查纯虚数的特征，属于基础题.

15. 设.若对任意，都存在，使得，则可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知，，若对任意，都存在，使得成立，得，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可求解.

【详解】因为对任意，都存在，使得成立，

所以，即，

因为，，所以，

若对任意，都存在，使得成立，

得，只需，即可，

因为，则，

对于A：当时，，则，因为，

所以的取值不符合条件，故A错误；

对于B：当时，，则，因为，的取值符合条件，故B正确；

对于C：当时，，则，

因为，的取值不符合条件，故C错误；

对于D：当时，，则，

因为，的取值不符合条件，故D错误；

故选：B

16. 在中，若，则角的大小为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由平面向量数量积的定义得出、与的等量关系，再由并代入、与的等量关系式求出的值，从而得出的大小.

【详解】，，

，由正弦定理边角互化思想得，

，，同理得，

，，则，解得，

中至少有两个锐角，且，，所以，，

，因此，，故选D.

【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17. 设，.

（1）若函数是定义在上的奇函数，求的值；

（2）若，求函数在区间上的取值范围.

【答案】（1）0    （2）

【解析】

【分析】（1）由奇函数的定义，列出等式，即可解出的值；

（2）由，可得的取值，然后对恒等变形得，由条件得的取值范围是，由此即可求得的取值范围.

【小问1详解】

由题意知，对于任意给定的实数，有，

即，

移项整理得，

因此.

【小问2详解】

由题意知，解得.

故.

当时，取值范围是，

的取值范围是，

因此函数在区间上取值范围是.

18. 在中，角、、的对边分别为、、.设向量，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，的面积为，求的周长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

分析】（1）由题，得，利用正弦定理以及和差公式，诱导公式，逐步化简，即可求解；

（2）由题目条件，结合余弦定理和面积公式，得，，然后两式相加即可求得本题答案.

【小问1详解】

由于，故，

利用正弦定理，有，

又，故，

由于为三角形内角，故，因此，进而；

【小问2详解】

由（1）知，由余弦定理知，即.

由知，即.

将上面两式相加得，故，因此的周长为.

19. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽米，设.

（1）求灯柱的高（用表示）；

（2）此公司应该如何设置的值，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米）

【答案】（1）,   

（2）当时，取得最小值米

【解析】

【分析】（1）在中先用正弦定理表示出，然后在中利用正弦定理表示出；

（2）在中利用正弦定理表示出，从而得到的表达式，再利用三角函数的性质求解最小值即可.

【小问1详解】

由题意知，在中，，

由正弦定理，得.

在中，由正弦定理，

得，.

【小问2详解】

在中，由正弦定理，得，

故，

由于，故，

所以当时，取得最小值米.

20. 如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点.

（1）求的值；

（2）若为线段上一点，且，求实数的值；

（3）若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置.

【答案】（1）6    （2）   

（3）时，取最小值

【解析】

【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可；

（2）利用三点共线定理建立等式，得出方程组求出参数即可；

（3）记，，设，其中，表示出向量，，然后表示出的结果，转化为二次函数求最值即可.

【小问1详解】

由于为边的中点，

所以，

故.

由于，

故.

因此.

【小问2详解】

由于，

故.

由于为线段上一点，设，

有.

由向量基本定理得，解得，因此.

【小问3详解】

记，，

由得.

设，其中，

则，.

进而有

，.

当且仅当即时，

取最小值.

21. 已知，.设，并记.

（1）若，，求集合；

（2）若，试求的值，使得集合恰有两个元素；

（3）若集合恰有三个元素，且对于任意的都成立，其中为不大于7的正整数，求的所有可能值.

【答案】（1）   

（2）或   

（3）3、4、5、6

【解析】

【分析】（1）当，时，找出周期计算即可；

（2）若，则，然后根据已知所给条件进行分析讨论即可；

（3）根据定义以及结合所给条件进行计算，然后讨论分析即可；

【小问1详解】

当，时，.

函数是以为周期的周期函数，

故.

由于，，，

得.

【小问2详解】

若，则.

由题意知，又，得，知.

由于恰有两个元素，故或，

即或.

若，由于，解得.此时，满足题目要求.

若，即，

所以或

由于，解得.

此时，满足题目要求.

综上可知，或.

【小问3详解】

由于中恰有3个元素，显见.

首先说明、4、5、6都是可能的.

当时，取，，由（1）知，满足要求.

当时，取，，，

此时周期为，且有：

，，，，

所以，满足要求.

当时，取，，，

此时周期为，

，，，

，，，

所以，满足要求.

当时，取，，，

此时周期为，

所以，，，

，，，

所以，满足要求.

下面证明不成立.

假设存在、，使得，且恰有3个元素.注意，

故，，，…，这7个数恰好取3个不同的值，

知其中至少有3个数相等.

不妨设，其中，

即，

知、、中必有两个角的终边重合.

不妨设，则，

进而有，

结合知，

与恰有3个元素矛盾.

综上可知，的所有可能值为3、4、5、6.

【点睛】方法点睛：对于此类题型属于新题型难度很大，解决问题是需要注意：

①注意所给的条件，尤其是定义

②注意分类讨论分析的思想

③对所有可能性的值都不能漏掉.