2022-2023学年上海市奉贤中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市奉贤中学高一下学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市奉贤中学高一下学期期中数学试题 一、填空题1．已知扇形的半径为10，圆心角为，则扇形的弧长为______．【答案】20【分析】根据弧长公式计算.【详解】弧长；故答案为：20.2．已知向量，方向相反，且，，则在方向上的数量投影为______.【答案】-4【分析】根据给定条件，利用在方向上的数量投影的定义直接计算作答.【详解】因向量，方向相反，且，，则，所以，在方向上的数量投影是.故答案为：3．在平面直角坐标系xOy中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的圆交于点，则______．【答案】/【分析】利用诱导公式，结合三角函数定义求值作答.【详解】依题意，，所以.故答案为：4．函数，的增区间为______．【答案】（开闭均可）【分析】由，求得的范围，令，即可求得函数的单调增区间.【详解】由，可得，令，解得，即函数在的单调增区间为.故答案为：.（开闭均可）5．函数的最小正周期为______．【答案】【分析】利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质求出周期作答.【详解】函数，所以所求最小正周期为.故答案为：6．已知向量，，若，则m＝______．【答案】1【分析】根据向量的坐标运算可得向量，，再利用模长公式整理即可计算出.【详解】根据题意可知，,,所以，由可得，整理可得，解得.故答案为：17．函数在上的值域为______．【答案】【分析】根据给定区间，求出函数相位的范围，再利用正弦函数性质求解作答.【详解】，则，于是，所以所求值域为.故答案为：8．在中，若，，，则______．【答案】或【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】根据正弦定理可得：，解得，且，或故答案为：或9．函数的部分图象如图所示，则______．【答案】/【分析】由图象可知，即可推出．进而根据图象可推得，即可得出，进而可得出答案.【详解】由题图知，，则，解得．设的最小正周期为T，易知，所以.因为，所以，解得，当且仅当时，符合题意，此时．故答案为：.10．在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________【答案】【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，设，，则，当时，故答案为：.11．已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着顺时针滚刓，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：①一个周期是6；②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点的轨迹长度是；④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是；其中说法正确的是__________.【答案】①③【分析】根据题目分析出图像的运动情况，画出简图，可以得到一个周期为6，可以判断①正确：根据运动情况完成一个周期，顶点的轨迹是两段曲线，不是半圆，可以判断②错误；利用弧长公式可以判断③正确；利用面积公式可以判断④错误.【详解】如下图：沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由原点沿运动至位置；第二步，绕点顺时针旋转至线段落在轴上位置，得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，为半行的一段圆弧，即顶点由沿运动至位置，落到轴，完成一个周期.对于①，，所以一个周期，故①正确：对于②，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线，不是半圆，故②错误；对于③，由已知，的㧓长，的弧长，完成一个周期，顶点的轨迹长度为，故③正确；如图④，完成一个周期，顶点的轨迹与软围成的图形为扇形，扇形与的面积和，，，等边边长为，完成个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是：，故④错误.故答案为：①③.12．已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是______．【答案】/【分析】由题意画出图形，知，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，在上的射影最长为，，设，则，，可得，代入．整理后利用二次函数求最值．【详解】如图，设，，若对任意实数，都有，成立，则，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，在上的射影最长为，．设，则，，，，则当时，有最大值为．故答案为：. 二、单选题13．已知向量，，若与同向共线，则（    ）A．3 B． C．或3 D．0或3【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示结合条件即得.【详解】因为向量，，由，可得或，当时，，，，满足题意，当时，，，，不满足题意，所以.故选：A.14．已知，其中，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦两角差公式将展开，根据已知等式对应系数相等可得，从而得，再根据以及的取值情况，即可求得的值.【详解】因为，所以，则，即又，所以或，由，可知，所以.故选：C.15．在中，“”是“为钝角三角形”的（    ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】A【分析】根据三角函数线，充分与必要条件概念即可求解.【详解】因为为的内角，所以，又，由单位圆中三角函数线，可得，所以是钝角三角形，则充分性成立；反过来，若是钝角三角形，则不一定是钝角，所以必要性不成立，所以“”是“为钝角三角形”的充分非必要条件，故选：.16．在直角坐标系中，如果不同的两点都在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作同一组），函数，关于原点的中心对称点的组数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由于图象关于原点对称后对应解析式是，因此只要研究函数和的图象的交点个数即可．【详解】由于是奇函数，因此图象关于原点对称后对应解析式是，由题意的中心对称点的组数就是函数与的图象交点个数（原点除外），作出它们的图象，如图，，，而在是是增函数，它们在上只有一个交点，∴函数，关于原点的中心对称点的组数为1.故选：B.【点睛】本题考查新定义问题，考查创新意识，解题关键是把新定义中的中心对称点组数转化为函数图象交点个数，从而由数形结合思想可求解． 三、解答题17．已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)3；(2)1. 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用齐次式法求值作答.（2）利用二倍角公式变形，再利用齐次式法求值作答.【详解】（1）由，得，所以.（2）由（1）知，，.18．已知、是同一平面内的两个向量，其中，．(1)求与的夹角；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）运用数量积求夹角；（2）夹角为锐角即，并且不平行于 ，运用数量积求解.【详解】（1） ；（2）因为与得夹角为锐角，，并且与不平行，其中， 解得，并且；；综上，，.19．已知，，函数，．(1)求函数的对称轴方程；(2)将函数按照的方向平移后得到的函数是奇函数，求最小时的．【答案】(1)(2) 【分析】（1）运用坐标法计算数量积，求得得解析式后再对解析式作恒等变换；（2）按照图像平移的规则求解.【详解】（1）， ；对称轴为 ，即 ；（2）先将向下平移2个单位，得到，再将向左平移个单位得到奇函数 ，，欲使得最小，则，即；综上，得对称轴方程为 ，.20．如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔与桥面垂直，通过测量得知，当为中点时，.(1)求的长；(2)设，写出与的函数关系式；(3)已知命题：函数在内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解在线段的何处时，达到最大，最大值为多少？【答案】(1)75m(2)(3)证明见解析，时，最大值为 【分析】(1)利用两角和的正切公式结合条件即得；(2)利用两角和的正切公式即可求出结果；(3)利用函数单调性定义即可进行证明；再结合基本不等式求出结果.【详解】（1）设，则，由，解得m；（2）设，则，所以.（3）任取，且，，所以命题成立.因为，所以，即为锐角，令，则，所以，所以，当且仅当时，即，所以时，最大,最大值为.21．已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．(1)若，求函数的“平衡”数对；(2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；(3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．【答案】(1)(2)是(3) 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；(2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；(3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,,即,即对于任意实数恒成立,只有,,故函数的“平衡”数对为,（2）若,则,,要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有,此时,,故存在,所以是“可平衡”函数.（3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有则均为函数的“平衡”数对，，函数单调递增，即的取范围为