2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．向量的单位向量是______.

【答案】

【分析】利用结论：非零向量的单位向量为，可求得结果.

【详解】因为，则，

所以，向量的单位向量为.

故答案为：.

2．若，，当实数k＝______时，.

【答案】4或0

【分析】根据垂直向量的坐标表示，列出关于的方程求解即可．

【详解】因为，，且，

所以，解得或，

故答案为：4或0．

3．函数的两条对称轴之间距离的最小值为______.

【答案】

【分析】求出函数的对称轴即可求解.

【详解】由已知条件得，Z，即，Z，

因为相邻的两条对称轴之间的距离最小，

所以分别令，得，，

即相邻的两条对称轴之间的距离最小值为，

故答案为：.

4．已知，则_________

【答案】

【分析】原式两边平方后，即可计算的值.

【详解】因为，两边平方后，

，

所以.

故答案为：

5．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是_________．

【答案】

【分析】设顶角为，底角为，先通过倍角公式求出，再利用求解即可.

【详解】设顶角为，底角为，则，，

又，

，

.

故答案为：.

6．方程在区间上的解集为______.

【答案】

【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解.

【详解】由得，

即，解得或，

因为，所以或，

所以方程在区间上的解集为,

故答案为：.

7．将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为__________．

【答案】

【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：，

函数图象关于点成中心对称，则：，

整理可得：，

则当时，有最小值.

【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．函数的最小正周期为____________．

【答案】

【详解】解析：当时，，

当时，，其中且，

画出图象可得函数周期为．

故答案为：.

9．已知，都是定义在R上的函数，若，其中m，n实数，则称为，在R上的生成函数.已知，，，，则，在上的生成函数的单调增区间为______.

【答案】,Z

【分析】求出的周期及其奇偶性，在一个周期内判断函数的单调性，最后写出单调递增区间即可.

【详解】由题意可知，

则，

所以是函数的周期，

又∵，

∴函数为偶函数，

当时，，

此时函数的单调递增区间为，Z,

解得，Z,

当时，单调递增区间为，故在上函数单调递增，

当时，，

此时函数的单调递减区间为，Z，

解得，Z,

当时，单调递减区间为，故在上函数单调递减，

综上所述，函数的单调递增区间为,Z,

故答案为：,Z.

10．已知向量的夹角为锐角，且满足、，若对任意的，都有成立，则的最小值为_______.

【答案】

【详解】分析：设单位向量的夹角为锐角，由，得，由得出，令，得出，求不等式的解集可得结果.

详解：设向量的夹角为锐角，由，，得，∴，

即；又，由柯西不等式得 ；

令，则，化简得，

解得，所以，即的最小值为，故答案为．

点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.

二、单选题

11．已知，则“”是“是直角三角形”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】若，则或；若，则；由充分条件和必要条件的概念即可得解.

【详解】若，则或，不能推出是直角三角形；

若，则，所以是直角三角形不能推出;

所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.

12．为了使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是(　　)．

A．98π B．π C．π D．100π

【答案】B

【详解】试题分析：因为，使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值，

所以，49×T≤1，即≤1，

所以，ω≥π，故选B．

【解析】本题主要考查正弦型函数的图象和性质．

点评：简单题，根据正弦型函数的图象和性质，确定应满足的条件．

13．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，下列关于说法正确的是（    ）

①的值域为；②为奇函数；③为周期函数，且最小正周期；④与的图像有且仅有两个公共点.

A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③

【答案】C

【分析】利用函数的奇偶性、周期性以及取整的定义求解即可.

【详解】由已知条件得：当时，，；

当时，，；当时，，；

当时，，；当时，，；…；

则，

所以为周期函数，且最小正周期，即③正确；

由此可知的值域为，即①错误；

若为奇函数，则，

当时，，，

故当时，不成立，故不是奇函数，即②错误；

在一个周期内作出的图象，如下图所示，

由图象可知与的图像有且仅有两个公共点，分别为坐标原点和点,

即④正确；

故选：C.

14．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接AC，BD．利用正弦定理求出，，，再利用托勒密定理求出，即得解.

【详解】连接AC，BD．

由，及正弦定理，得，

解得，．

在中，，，，

所以．

因为四边形ABCD内接于半径为的圆，

它的对角互补，所以，

所以,所以，

所以四边形ABCD的周长为．

故选：A．

三、解答题

15．已知函数.

(1)求的单调增区间；

(2)求函数在的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可；

（2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可．

【详解】（1）由可得，

所以，

所以函数单调递增区间为：；

（2）令，由可得，

又因为函数在单调递减，在单调递增，

所以在时有最小值-1，又，，

所以，所以函数在上的值域为．

16．已知函数，若对任意的实数x都成立．

（1）求的最小值；

（2）在（1）中值的条件下，若函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据条件得到为函数的最大值，结合函数的最值求出即可．

（2）根据条件求出的解析式，在同一坐标系中，作出函数和的图象，利用数形结合求解．

【详解】（1）若对任意的实数x都成立，则为函数的最大值，

则，得，即，

∵，∴当时，取得最小值，最小值为；

（2）在（1）中值的条件下，则，

，

∵的最小正周期为，∴，即，则，

作出函数和的图象如图：

，则，所以，则，

且，

由图象知：要使恰有两个不同的解，则．

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

17．如图是函数图像的一部分，M、N是它与x轴的两个交点，C、D分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MC的中点，

(1)若点M的坐标为（-1，0），求点C、点N和点D的坐标

(2)若点M的坐标为（-,0）（>0），，试确定函数的解析式

【答案】(1) (2)

【分析】（1）根据中点坐标公式可得C,根据对称可得N，D点坐标（2）先根据中点坐标公式以及对称性可得C,D坐标，再代入向量数量积坐标公式可得值，根据点坐标确定周期、振幅以及初始角，即得三角函数解析式

【详解】(1)设点C(a,b)，由中点坐标公式得

由中点坐标公式可得解得a=1，b=2，

∴点C(1,2)，

∴点N(3,0),点D(5,−2)；

(2)同样由E(0,1)是线段MC的中点，得A=2，

由M(−m,0),得C(m,2),D(5m,−2)；

∴，

又，

解得m=；

由，解得ω=1，

∴φ=；

∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+).

【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查了平面向量数量积的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于综合题.

18．已知常数，定义在R上的函数.

(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x的值；

(2)已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数a及n的值.

【答案】(1)最大值为，；

(2)，.

【分析】（1）利用二倍角公式化简，利用二次函数的性质求其最值以及此时满足要求所有的x值；

（2）利用换元法将零点问题转化为与的交点问题，先分析在一个周期内零点的个数，然后再分析多周期内零点的临界值即可求解.

【详解】（1）当时，

则当时，，此时，

（2），

令，，则，

得，，则方程有两个不相等的实数根，

由韦达定理得，即两根异号，

①当两根的绝对值在之间，，，在区间上均为偶数根，则不符合题意；

②当，，即，，

当，，即，，即，，

所以方程在上有三个根，

因为，所以方程在上有个根，

又因为方程在上有个根，在上有个根，

所以在（）内恰有2021个根是不可能的，

③当，，即，，

当，，即，，即，，

所以方程在上有三个根，

因为，所以方程在上有个根，

又因为方程在上有个根，在上有个根，

所以在内恰有2021个根，

故满足题意，此时，.