2022-2023学年上海市进才中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市进才中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．与反向的单位向量为__________．

【答案】

【分析】反向单位向量即为，代入即可.

【详解】与反向的单位向量为.

故答案为：.

2．函数的单调递增区间为______．

【答案】（）

【分析】根据正切型三角函数单调区间的求法求得正确答案.

【详解】由，

解得，

所以函数的单调递增区间为（）

故答案为：（）

3．设，是不共线向量，与共线，则实数为__________．

【答案】/

【分析】根据向量平行列出方程组，求出实数的值.

【详解】因为，是不共线向量，与共线，

所以存在实数使得，所以，

解得：.

故答案为：

4．已知，，则______.

【答案】/

【分析】根据同角三角函数关系求解即可.

【详解】因为，

所以，

因为，

所以，即，

所以，

故答案为：.

5．函数的单调递减区间是 ______.

【答案】

【详解】试题分析：因为；所以由

可得x∈

所以函数的递减区间为 ．

【解析】三角函数的性质.

6．已知，且，则实数______．

【答案】/-0.2

【分析】利用平面向量的线性运算求解.

【详解】解：∵，

∴，

∴．

故答案为：

7．已知单位向量，满足，则______．

【答案】/0.2

【分析】由向量垂直及向量数量积的运算律、数量积的定义列方程求夹角余弦值即可.

【详解】由题意，解得．

故答案为：

8．已知向量，则在方向上的数量投影为___________

【答案】

【分析】根据平面向量投影的定义计算即可

【详解】向量，

， ，

所以 在 方向上的数量投影为

；

故答案为：

9．如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.

【答案】-3

【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用表示与，然后利用数量积的运算律求解即可

【详解】因为，所以，

所以

，

即，

故答案为：-3

10．如图，中，，，CD与BE交于F，设，，，则为__________．

【答案】

【分析】设，，根据平面向量基本定理，将用已知向量，表示出来，列出方程组即可求解.

【详解】解：设，

，

同理设，

，

根据平面向量基本定理，得

，解得，

，

故答案为：

11．如图，函数 的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则 __________．

【答案】

【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式，得到，结合，即可求解.

【详解】因为O为的重心，且，可得，

解得，所以，

所以，所以，所以，解得，

可得，

由，即，可得，

解得，又由，所以，

所以，

于是，所以.

.

故答案为：.

12．在斜三角形△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的最小值为____________

【答案】/

【分析】利用正弦定理，同角三角函数的基本关系和基本不等式即可求解.

【详解】因为，由正弦定理可得，

又因为，所以，

整理可得，因为，

所以，且，

，

则

，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，

故答案为：.

二、单选题

13．设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（  ）

A．若|＋|＝||－||，则⊥

B．若⊥，则|＋|＝||－||

C．若|＋|＝||－||，则存在实数λ，使得＝λ

D．若存在实数λ，使得＝λ，则|＋|＝||－||

【答案】C

【详解】利用排除法可得选项C是正确的，∵|＋|＝||－||，则，共线，即存在实

数λ，使得＝λ．如选项A：|＋|＝||－||时，，可为异向的共线向量；选项B：若⊥，由正方形得|＋|＝||－||不成立；选项D：若存在实数λ，使得＝λ，，可为同向的共线向量，此时显然|＋|＝||－||不成立

14．已知和都是锐角，向量，，则（    ）

A．存在和，使得 B．存在和，使得

C．存在和，使得 D．存在和，使得

【答案】B

【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示及和角公式得到，即可判断A、C，当时可以判断B，根据数量积的运算律判断D.

【详解】因为和都是锐角，所以，

又，，

所以，，，

因为，所以，故，因此A和C错误；

当时，，即，所以B正确；，所以D错误；

故选：B.

15．已知函数，若的图象关于点对称，且直线与函数的图象的两个交点之间的最短距离为，则下列四个结论中错误的是（　　）

A．的最小正周期为

B．的单调递减区间是，

C．的图象关于直线对称

D．的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数

【答案】C

【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.

【详解】由题知直线与函数的交点之间的最短距离为，所以，故A正确；

所以，所以，

因为的图象关于点对称，所以，即，，

又因为，所以当时，，所以，

令，，解得，，

所以的单调递减区间为，，故B正确；

因为，故C错误；

函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数

为奇函数，故D正确．

故选:C．

16．有下面两个命题：

①若是周期函数，则是周期函数；

②若是周期函数，则是周期函数，

则下列说法中正确的是（    ）．

A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误

【答案】B

【分析】由周期函数的定义判断两个命题即可.

【详解】若是周期函数，设周期为，则，则也是周期函数，故①正确；

若是周期函数，设周期为，则， 不一定成立，故②错误.

故选：B.

三、解答题

17．已知A，B，C三点的坐标分别为，，，是否存在实数m，使得A，B，C三点能构成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，请说明理由．

【答案】存在；m的取值集合为．

【分析】假设存在，再通过分类讨论以及利用平面向量处理垂直问题进行求解.

【详解】存在实数m，理由如下：

由题意，得，

，

．

若A为直角，则，得．

若B为直角，则，得．

若C为直角，则，

，所以方程无解．

故m的取值集合为．

18．已知向量，，．

(1)若向量，能构成一组基底，求实数m的范围；

(2)若，且，求向量与的夹角大小．

【答案】(1)且

(2)

【分析】（1）若向量，能构成一组基底，则向量，不共线，则，从而可得答案；

（2）由，可得，从而可求的得，再根据向量夹角的坐标公式求解即可.

【详解】（1）若向量，能构成一组基底，

则向量，不共线，

则，解得且；

（2）因为，所以，

即，解得，

所以，，

则，

又因为，所以，

即向量与的夹角为.

19．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，.

(1)求的长度.

(2)假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦定理即可求解；

（2）根据余弦定理求解，进而得，由两角和与差的余弦公式可得，进而由余弦定理求解，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.

【详解】（1）因为，，所以，

在中，由余弦定理，得

.

（2）在中，由余弦定理，得，

所以，

所以.

在中，由余弦定理，得

，解得.

假设小夏先去地，走路线，路长，

假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长，

假设小夏先去地，走路线，路长，

由于，

所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为.

20．如图，梯形，，，，为中点，．

(1)当时，用向量表示的向量；

(2)若为大于零的常数），求的最小值，并指出相应的实数的值．

【答案】(1)

(2)；

【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，从而利用向量的线性运算即可得解.

（2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量的数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得的最小值及相应的值.

【详解】（1）过作交于，如图，

因为，所以，，

则四边形是平行四边形，故，即是的中点，

所以，

当时，，

所以．

.

（2）因为，所以，

所以，

因为，，，

所以，

所以当，即时，取得最小值．

所以的最小值为，此时．

21．已知函数是定在上的函数，且满足关系．

(1)若，若，求的值域；

(2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；

(3)若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与．

【答案】(1)

(2)

(3)当时，；当时，；当时，.

【分析】（1）求出函数的解析式，即可得出在上的值域；

（2）化简函数，通过对应图像即可得出恒成立，求的最小值；

（3）化简函数，设将转化为二次函数，将零点问题转化为图像与轴的交点问题，通过讨论二次函数的周期性，即可得出在内恰有2022个零点，所有满足条件的与．

【详解】（1）由题意，

在中，，

在中，

，

当时，，

∴的值域为：.

（2）由题意及（1）得，

在中，

①当即，

，

函数在定义域上单调递减

，，

②当即时，，

函数在单调递增，

在单调递减，

，，

③当即时，，

函数在上单调递增，

，，

④当即时，，

函数在单调递增，

在单调递减，

，，

∴函数是周期为的周期函数，图像如下：

在中，

存在，对任意，有恒成立，

∴

∴当最小时，由图像可知，，

（3）由题意，，

在中，，

在中，，

在中，，

∵，

设，，

∴函数是以为周期的周期函数，在上最多与轴有1~2个交点，

∵在周期内，与有1~2个交点，

∴在上有1~4个交点，

∴若在内恰有2022个零点，则，

在中，

当即或，此时有1个交点，

①当函数有两个零点时，

若均不为-1和1，此时与有2个交点，则在有4个交点，

，解得：，

∴当有2022个交点时，，

若有一个为-1或1，此时与有2个交点，则在有3个交点，

，解得：，

或，解得：，

∴当有2022个交点时，，，

②当函数有一个零点时，此时与有1个交点，则在有2个交点，

，解得：，

或，解得：，

∴当有2022个交点时，，，

综上：

当时，；

当时，；

当时，.

【点睛】关键点点睛：三角函数，三角函数的图像，二次函数，零点问题等，考查学生的作图能力，三角函数的恒等变换能力，分段函数的应用及去绝对值的能力，具有极强的综合性.