2022-2023学年上海市松江二中高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市松江二中高一下学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市松江二中高一下学期期中数学试题 一、填空题1．半径为2且周长为6的扇形的面积是__________．【答案】【分析】根据题意求得弧长，结合扇形的面积公式，即可求解.【详解】设扇形的弧长为，由题意可得，即，又由扇形面积公式，可得扇形的面积为.故答案为：2．设集合，，若，则的取值范围是________．【答案】【分析】，故，得到答案.【详解】，，，故.故答案为：3．已知向量，，且，则实数的值为_____．【答案】10【分析】根据平面向量平行的坐标表示，即可求解【详解】解：因为，所以，即，解得，故答案为：10.4．的内角，，所对的边分别为，，，已知，则的形状是________三角形．【答案】等腰【分析】由结合正弦定理可得，即，结合A、B范围即可得到答案.【详解】因为，由正弦定理，得，即，又，，所以，所以，即，所以是等腰三角形.故答案为：等腰【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，涉及到两角差的正弦公式，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道容易题.5．若，则__________.【答案】/【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】依题意，，所以，，而为锐角，所以.故答案为：6．方程，的解为_______．【答案】【分析】根据给定条件，利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值求解作答.【详解】依题意，，而，即，因此，解得，所以所求方程的解为.故答案为：7．不等式的解集是__________．【答案】【分析】设，判断其单调性，根据函数的单调性即可求得不等式.的解集.【详解】由题意可设，定义域为，由于在都单调递增，故在上单调递增，且，故不等式的解集是，故答案为：8．函数的部分图像如图所示，则____．【答案】【分析】由函数的图象，求得，得到，再由，求得，即可求解.【详解】由函数的图象，可得，即，所以，即，又由，可得，解得，可得，因为，所以，所以.故答案为：.9．菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为______．【答案】/【分析】设，根据数量积的运算律得到，即可得解.【详解】设，则，所以当，时，取得最大值．故答案为：．10．若函数与的图象交于两点,则_______.【答案】【解析】画出与图像,可得与关于点对称,进而求解即可【详解】由题,画出与的图像,如图所示,则与关于点对称,所以,所以,故答案为:【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想11．设平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是__________．【答案】【分析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解【详解】依题意，设，，.根据，即，即，整理得.显然，否则，，与已知矛盾，故可得.由，即，故，解得.故.故答案为：12．记为偶函数，是正整数，，对任意实数，满足中的元素不超过两个，且存在实数使中含有两个元素，则的值是__________．【答案】4、5、6【分析】根据 偶函数，是正整数，推断出的取值范围，相邻的两个的距离是，依照题意列不等式组，求出 的值．【详解】由题意得．∵为偶函数，是正整数，∴，∵对任意实数，满足中的元素不超过两个，且存在实数使中含有两个元素，∴中任意相邻的两个元素的间隔必小于1，任意相邻的三个元素的间隔之和必大于1．∴，解得，又，∴．答案：．【点睛】本题考查了正弦函数的奇偶性和周期性，以及根据集合的运算关系，求参数的值，关键是理解的意义，强调抽象思维与灵活应变的能力． 二、单选题13．下列函数在其定义域内既是严格增函数，又是奇函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据初等函数的单调性和奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数在定义域上不是严格的单调函数，不符合题意；对于B中，函数的定义域为，所以为非奇非偶函数，不符合题意；对于C中，函数，可得，所以函数不是奇函数，不符合题意；对于D中，函数，在定义域上严格的单调递增函数，且，所以函数为奇函数，符合题意.故选：D.14．若，且，则可以为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两角和的余弦公式及二倍角公式得到，即可得到或，再将上式平方即可得解；【详解】因为，所以，所以，即，解得或，当时，，，即，解得；当时，，，即，解得.故选：D15．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则△ACO与△CBP面积比为（    ）A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2【答案】D【分析】利用重心的性质和已知线性关系可得，故P为OA中点，进而可得面积比.【详解】由O是△ABC的重心，得，而，则，故，所以点P为OA中点，即点P、点O为BC边中线的两个三等分点，所以，，所以△ACO与△CBP面积比为1:2.故选：D16．对任意两个非零的平面向量，定义，若平面向量满足，的夹角，且和都在集合中，则=（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由题意可可设，，，，得，对，进行赋值即可得出，的值，进而得出结论．【详解】解：，故．又由，可设，，令，，且又夹角，所以，对，进行赋值即可得出所以．故选：C． 三、解答题17．已知是坐标原点，，(1)求向量在方向上的投影向量的坐标和数量投影；(2)若，，，请判断C、D、E三点是否共线，并说明理由.【答案】(1)坐标，数量投影是(2)共线，理由见解析 【分析】（1）根据投影向量和投影的公式，准确计算，即可求解；（2）根据平面向量的共线的坐标表示，得到，即可求解.【详解】（1）解：由向量，可得则投影向量的坐标是，，数量投影是，，即向量在方向上的数量投影是.（2）解：、、三点共线，理由：向量，因为，，，可得，，，所以，，可得，所以、、三点共线.18．已知，，，.(1)求的值；(2)求的值，并确定的大小.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）由解得，由求出，利用两角差的余弦公式求解的值；（2）由，求出，再求，利用两角差的正切公式计算的值，并得到的大小.【详解】（1），由，，，又，，，.（2）由（1）可知，，，，，.19．如图，某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之问修建一处弓形花园，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为M，，设.(1)将、用含有的关系式表示出来；(2)该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，使得喷泉M与山庄O的距离最大？喷㬌M与山庄O的距离最大？【答案】(1)，.(2)当时，的最大值. 【分析】（1）根据题意和正弦定理，即可求得，；（2）在中，由余弦定理化简得到，结合三角函数的图像与性质，即可求解.【详解】（1）解：在中，由正弦定理得，因为，， 所以，所以，.（2）解：因为，，所以，在中，由余弦定理易知，即，因为，所以，，当，即时，取最大值，即取最大值，此时， ，故当时，取最大值.20．已知函数.(1)当，时，求函数的单调增区间；(2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ；(3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解；（2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解；（3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：当，时，可得函数，令，所以单调增区间为；（2）解：当，时，可得，其中，因为关于直线对称 ，可得，即，解得，所以，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，由，即，则解得，所以不等式的解集为；（3）解：当，，时，则，可得，则，其中且，于是，可化为，即，所以.由已知条件，上式对任意恒成立，故必有，若，则由（1）知，显然不满足（3）式，故，所以由（2）知，故或，当时，，则（1）、（3）两式矛盾，故，由（1）、（3）知，所以.21．已知函数，且.(1)求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）；(2)若，求的值域；(3)是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)，函数的最小正周期为(2)(3)存在正整数，理由见解析 【分析】（1）根据代入即可求解的值．因为的周期是都，故得函数的最小正周期；（2）根据，得到，设，，转化为二次函数求解；（3）分类讨论和时，将转化为二次函数，从而求得其零点个数，进而得解.【详解】（1）函数，∵，∴，解得：，所以，因为的周期是都，又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数，所以函数的最小正周期为.（2）若，则，设，则，则，所以，所以其值域为；（3）存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点．当时，．设，则，于是，令，得或，此时，或或，其中，当时，．设，则，于是，令，解得或，故在没有实根．综上，在上有4个零点，又的最小正周期为，而，所以函数在有2025个零点．