2022-2023学年上海市文来中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市文来中学高一下学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市文来中学高一下学期期中数学试题 一、填空题1．扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________.【答案】4【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【详解】根据扇形的面积公式得，．故答案为：42．已知，且是第二象限角，则___________．【答案】【详解】∵是第二象限角，∴．又，∴．答案：3．在中，，，，那么的面积等于______．【答案】【分析】由三角形面积公式即可求【详解】由三角形面积公式得.故答案为：4．已知向量，，则与共线，则实数_________．【答案】【分析】根据向量平行得到，解得答案.【详解】向量，，与共线，则，解得.故答案为：5．已知，，则满足条件的__________（用反三角记号表示）【答案】【分析】根据反三角函数求解即可.【详解】因为，，所以.故答案为：6．已知，则在上的数量投影为__________．【答案】【分析】根据题意，由向量的数量投影的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，设与的夹角为，则在上的数量投影为故答案为:7．设是两个单位向量，向量，且，则的夹角为______.【答案】/【分析】利用向量数量积的定义和运算律求解即可.【详解】由可得，又因为是两个单位向量，所以，所以，解得，即的夹角为，故答案为：8．函数的定义域是_________【答案】【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域．【详解】由题意知，，即，所以的定义域为：故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．9．已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数，都有，则的最小值为______．【答案】【解析】根据存在实数，，使得对任意的实数，都有，得到分别是函数的最小值和最大值，则一定是半个周期的整数倍，再求出函数的最小正周期即可.【详解】因为存在实数，，使得对任意的实数，都有，所以分别是函数的最小值和最大值，所以一定是半个周期的整数倍，又函数的最小正周期是，所以，所以的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的周期性的求法及应用以及最值问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.10．已知函数，且，则___．【答案】/【分析】利用正弦函数的的对称性可得，由此求得的值．【详解】∵函数，，（），则由正弦函数的对称性可得：，所以，故答案为：.11．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m．【答案】【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案为：12．已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____.【答案】【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数，结合，作出函数在上的图象，如图示：因为，故时，即或，则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不同的交点，由图象可知，和的图象有6个不同的交点，则和的图象需有2个不同的交点，即，故，则实数的取值范围为，故答案为：【点睛】方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解. 二、单选题13．下列说法正确是（    ）A．角60和角600是终边相同的角B．第三象限角的集合为C．终边在轴上角的集合为D．第二象限角大于第一象限角【答案】C【分析】根据终终边相同角的表示，可以判断A错误，C正确；根据象限角的表示可以判断B错误；举特例可以判断D错误.【详解】，与终边不相，故A错误；第三象限角的集合为，故B错误；终边在轴上角的集合为，即，即，故C正确；是第二象限角，第一象限角，，故D错误；故选：C.14．函数的图像向左平移个单位得到下列哪个函数（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据相位平移,结合诱导公式即可求解.【详解】的图像向左平移个单位得到，故选：D15．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.【详解】因为，，，所以，又，所以，则，由可得，所以，所以，故，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s．故选：C.16．已知，给出下述四个结论:①是偶函数;  ②在上为减函数;③在上为增函数; ④的最大值为.其中所有正确结论的编号是（    ）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④【答案】D【分析】利用偶函数的定义即可判断①；利用举反例即可判断②和③；分四个范围对进行化简，然后利用三角函数的性质进行求值域，即可得到时的最值，结合偶函数即可判断【详解】解：对于①，易得的定义域为，关于原点对称，因为，所以是偶函数，故正确；对于②和③，因为，，且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错误；对于④，当时，，因为，所以，所以，所以；当时，，因为，所以，所以；当时，；当时，，因为，所以，所以，所以，综上所述，当时，的最大值为，由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故④正确；故选：D【点睛】方法点睛：利用四个象限对进行讨论，根据三角函数符号去掉绝对值，然后利用三角函数的性质进行求解值域 三、解答题17．已知.(1)化简；(2)已知，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系化简；（2）直接利用倍角公式求解.【详解】（1）；（2）由（1）得，，.18．已知单位向量，，与的夹角为.(1)求证；(2)若，，且，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)或. 【分析】(1)利用向量数量积的运算即可证明；(2)根据向量的模和数量积的计算公式即可求解.【详解】（1）因为，与的夹角为，所以，所以.（2）由得，即.因为，与的夹角为，所以，，所以，即.所以或.19．已知向量.(1)求函数的最小正周期和严格増区间，(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为(2)故时，取得最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间.（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.【详解】（1）已知向量，，所以.故函数的最小正周期为；由，解得：，，故函数的严格增区间为.（2）由于，得.故当，即时，取得最大值，最大值为；当，即时，取得最小值，最小值为.20．在中，角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；【详解】（1）由正弦定理，，由可得，由余弦定理，则，则，因为，所以；（2）由为锐角三角形，，可得，由正弦定理，则，则，则的周长为，由，则，因为，整理得：，解得或（舍去），所以，则周长范围是.21．已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T.(1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？(2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围；(3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.【答案】(1)是，理由见解析；(2)当时，，且；(3)存在，. 【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答.（3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数定义域是R，，即，成立，所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数.（2）因，是上的P级周期函数，则，即，而当时，，当时，，，当时，，则，当时，，则，……当时，，则，并且有：当时，，当时，，当时，，……，当时，，因是上的严格增函数，则有，解得，所以当时，，且.（3）假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，即，恒有成立，则，恒有成立，即，恒有成立，当时，，则，，于是得，，要使恒成立，则有，当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，此时恒成立，则，即，当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，所以存在，符合题意，其中满足.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.