2022-2023学年上海市行知中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市行知中学高一下学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市行知中学高一下学期期中数学试题 一、填空题1．已知角的终边经过则_______.【答案】【分析】由条件得出点到原点的距离，再利用任意角的三角函数的定义可得的值.【详解】根据角的终边经过点，所以，所以，故答案为：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，需注意角终边上的点的坐标有字母时，求点到原点的距离时的符号，属于基础题．2．已知向量，，则与共线，则实数_________．【答案】【分析】根据向量平行得到，解得答案.【详解】向量，，与共线，则，解得.故答案为：3．一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．【答案】【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，根据题意，由，求解.【详解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，则．①由扇形的面积公式，得．②由①②得，，∴．∴扇形的圆心角为．故答案为：4．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数的值为__________.【答案】【解析】利用复数的除法运算化简复数z，由几何意义可得所对应的点的坐标，进一步可得答案.【详解】由已知，，所以所对应的点为，此点在实轴上，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的几何意义，是一道容易题.5．若，则x的取值范围是_______．【答案】【分析】先求函数定义域，再根据函数的单调性求解.【详解】解：该函数的定义域为：，，又在定义域上单调递减，故，解得：，综上x的取值范围是.故答案为：6．已知为第三象限角，且，则_____________.【答案】【分析】利用诱导公式计算出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求出结果.【详解】由诱导公式可得，为第三象限角，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.7．已知函数，若，则__________．【答案】【分析】利用诱导公式先将中的化为,然后将中替换成，进而再利用诱导公式化简即得.【详解】,故答案为：.8．设且，若，则______．【答案】1【分析】根据对数函数的运算性质，得到，再根据三角函数的基本关系，准确化简，即可求解，得到答案.【详解】设且，若， 所以，所以，又，所以，又由，则所以故答案为1．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系的化简求值问题，其中解答中合理利用三角函数的基本关系式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是__．【答案】【分析】根据增函数的定义及所给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围.【详解】函数在上为严格增函数，可得，解得，故实数的取值范围为，故答案为：10．已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，且，则的解析式为___________.【答案】【分析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求，根据周期公式求，再代入对称轴，求，最后再验证，确定函数的解析式.【详解】【点睛】本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.11．已知为单位向量,且,则在上的投影为_____【答案】【解析】由已知向量等式两边平方求得，进一步求出 ，的值，再根据投影的概念，即可求出结果．【详解】由为单位向量,知,由且,得, 即   , ∴ ． 则．   ． ∴ 在上的投影为． 故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算,考查了平面向量投影的概念,是中档题．12．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于_______．【答案】4【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用函数的图象的对称性求得所有交点的横坐标之和.【详解】由于函数与函数 均关于点成中心对称，结合图形两函数有如图所示的共4个交点，其中和都关于点对称.其横坐标分别记作,则有 ，同理有，所以所有交点的横坐标之和为4.故答案为：4. 【点睛】本题考查利用数形结合方法，涉及分式函数，三角函数的图象和对称性之，属中档题，关键是熟练掌握分式函数和正弦型函数的图象的对称性. 二、单选题13．在中，已知为上的一点，且满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；【详解】因为，所以,所以.故选：C.14．已知复数，则（    ）A．的实部为 B．的虚部为C．在复平面内对应的点在第三象限 D．【答案】A【分析】根据复数的实部为x,虚部为y,对应点,共轭复数为,进行判定.【详解】复数的实部为2，虚部为，对应点坐标,是第四象限，共轭复数为，故选：A.15．若幂函数（，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（    ）A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且【答案】C【分析】利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果.【详解】将分数指数式化为根式，，由定义域为，值域为知为奇数，为偶数，故排除A、D，又由幂函数，当时，图像在第一象限的部分下凸，当时，图像在第一象限的部分上凸.故选：C【点睛】本题考查了幂函数的性质，需熟记幂函数的性质，属于基础题.16．已知，，，，满足，，，有以下个结论：①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.下列说法正确的是（    ）A．结论①、②都成立B．结论①不成立、②成立C．结论①成立、②不成立D．结论①、②都不成立【答案】B【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可.【详解】对于结论①，∵，，∴，，∴，∴，∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立；对于结论②，方法一：∵又∵∴化简得，∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.方法二：（特值法）当时，，∴，∴.∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.故选：B.【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量. 三、解答题17．设为关于的方程的虚根，为虚数单位.（1）当时，求的值；（2）在（1）的条件下，若，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）将代入方程，并根据复数相等时实部、虚部对应相等计算的值；（2）根据复数模的计算公式：，的值已知，再根据不等式即可求解出的取值范围.【详解】（1）将代入方程可得：，所以，所以有：，解得；（2）因为，所以，所以，则，解得：，所以：.【点睛】本题考查实系数方程的解以及复数的模长计算，难度较易.（1）已知实系数方程的虚根，求解方程中参数的方法：将虚根代入方程，利用复数相等计算参数值；（2）复数的模长计算：已知复数，则.18．已知向量、满足：，，且．（1）求与的夹角；（2）若，求实数的值．【答案】(1) (2) 【分析】（1）由展开，可解出，根据向量夹角公式，即可求出夹角的大小；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出的值．【详解】（1）∵∴ ∵∴．（2）∵∴，即∴．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题．19．如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且．(1)求小岛与小岛之间的距离；(2)记为，为，求的值．【答案】(1)2(2) 【分析】(1) 在中，利用余弦定理即可求解；(2) 在中，先利用正弦定理求出，然后利用两角和的正弦公式即可求解.【详解】（1）由题意可知：，，因为角为钝角，，所以，在中，由余弦定理得，，所以，解得或（舍），所以小岛与小岛之间的距离为2．（2）在中，由正弦定理，因为，所以，则，因为，所以为锐角，所以，因为，，所以．20．已知函数．(1)将函数形式化简为的形式，写出其振幅、初相与最小正周期；(2)求函数的最小值与此时所有的取值；(3)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，如果在区间上至少有100个最大值，那么求的取值范围．【答案】(1)；振幅为2，初相，最小正周期.(2)；(3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简后直接由定义求振幅、初相与最小正周期；（2）直接令求最小值；（3）先平移变换后，求出在轴左右两侧的第50个最大值点，列出不等式即可.【详解】（1），振幅为2，初相，最小正周期.（2）由，可得当时，取得最小值，此时.（3）向右移动个单位得到，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到，，，又在轴右侧的第50个最大值点为，在轴左侧的第50个最大值点为，故，解得，所以.21．对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.(1)若是由“基函数和”生成的，求实数的值；(2)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足为偶函数，且.①求函数的解析式；②已知，对于区间上的任意值，，若恒成立，求实数的最小值.（注：.）【答案】(1)；(2)①；②. 【分析】(1)根据题意，可得，化简，利用对应项的系数相等即可求解；①设，根据函数为偶函数得出，再结合，即可求出的值，进而求出函数的解析式；②利用定义证明函数的单调，将式子化简为，然后根据条件求解即可.【详解】（1）由已知，可得，则，则，解得，所以实数的值为.（2）①设，因为为偶函数，所以，由，可得，整理可得，即，所以，所以对任意恒成立，所以，所以，又因为，所以，所以，故函数的解析式为.②由①知.在内任取，且，则，因为，，所以，，所以，所以，即，所以，即，所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.设，则，所以，当且仅当或时，有最大值，故的最小值为.【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.