2022-2023学年天津二十一中高一（下）期中数学试卷含答案

这是一份2022-2023学年天津二十一中高一（下）期中数学试卷含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
  2022-2023学年天津二十一中高一（下）期中数学试卷一、单选题1．（3分）下列说法中，正确的是（　　）A．三点确定一个平面 B．过一条直线的平面有无数多个 C．两条直线确定一个平面 D．三条两两相交的直线确定三个平面2．（3分）已知复数，则（　　）A．z的虚部为1 B．|z|＝2 C．z2为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第二象限3．（3分）一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'B'＝2，则原图形△ABO的面积是（　　）A．1 B． C． D．4．（3分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则等于（　　）A． B． C． D．5．（3分）已知＝1，的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（　　）A． B． C．  D．6．（3分）设复数z的共轭复数为，若2z+＝+2i，则z＝（　　）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．7．（3分）已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（　　）A．27cm2 B． C．9cm2 D．8．（3分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（　　）A．若a＝2，b＝4，A＝30°，则B只有一解 B．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形 C．若bcosC+ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形 D．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形9．（3分）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值是（　　）A．2 B．4 C． D．二.填空题10．（3分）已知平面向量＝（3，﹣2），＝（2，λ），若⊥（），则λ＝　                 　．11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝6，，BB1＝4，则长方体外接球的表面积为 　      　．12．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是　                  　．13．（3分）若直线a∥平面α，直线b∥平面β，且a∈β，b⊂α，则a，b的位置关系是 　        　，若已知α与β相交，则a，b的位置关系是 　           　．14．（3分）如图，已知棱长为1的正方体ABCD﹣EFGH，点P为棱CG的中点，点Q、R分别在棱BF、DH上，且四边形AQPR为平行四边形，则四棱锥G﹣AQPR的体积为 　                　．15．（3分）在△ABC中，∠BAC＝60°，||＝2，＝2，||＝，则||＝　   　，设（λ∈R），且＝4，则λ的值为 　                  　．三、解答题16．已知复数z＝m2﹣5m+6+（m2﹣m﹣2）i（i为虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z＞0，求实数m的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．求证：（1）PD∥平面ANC；（2）M是PC中点．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各条棱长均为2，M，N分别为CC1，AB的中点．（1）求证：CN∥平面AB1M；（2）求异面直线CN与B1M所成角的余弦值．19．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量＝（a，b）与＝（cosA，sinB）平行．（1）求A；（2）若a＝，b＝2，求sinC的值．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA＝0，c＝4，a＝2．（1）求A，b；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 2022-2023学年天津二十一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．【解答】解：∵不在一条直线上的三点确定一个平面，∴A错误；∵过一条直线的平面有无数个，∴B正确；∵两条相交或平行直线确定一个平面，∴C错误；∵空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面．∴D错误．故选：B．2．【解答】解：，则z的虚部为﹣1，，z2＝﹣2i为纯虚数，在复平面内对应的点位于第一象限．故选：C．3．【解答】解：因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，所以△ABO的底OB＝O′B′＝2，腰A′O′＝2，在△ABO中为直角三角形，且高OA＝2A′O′＝2×2＝4，所以直角三角形△ABO的面积是2×4＝4．故选：D．4．【解答】解：因为，所以＝3（），即＝3，所以＝＝4，则＝．故选：B．5．【解答】解：∵，，∴，，∴在方向上的投影向量为．故选：A．6．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则＝a﹣bi，因为2z+＝+2i，所以2（a+bi）+（a﹣bi）＝+2i，整理得3a+bi＝+2i，由复数相等，可得，解得a＝，b＝2；所以z＝+2i．故选：D．7．【解答】解：由题意可作底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：＝cm，所以正三棱锥的斜高为：＝3cm，所以这个正三棱锥的侧面积为：3×＝27（cm2）．故选：A．8．【解答】解：对于A，根据正弦定理，可得sinB＝＝，结合b＞a可知B有2解，故错误；对于B，△ABC中，∵a2+b2﹣c2＞0，∴角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故错误；对于C，若bcosC+ccosB＝b，sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA＝sinB，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故正确；对于D，若acosA＝bcosB，则由正弦定理得2rsinAcosA＝2rsinBcosB，即sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A+2B＝180，即A＝B或A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；故选：C．9．【解答】解：设＝λ，则＝+＝+λ＝+λ（﹣）＝λ+（1﹣λ）＝+m，∴，解得m＝λ＝．S△ABC＝||•||sin∠BAC＝||•||＝2，∴||•||＝8，||2＝（+）2＝+2+•＝||+||2+||•||cos∠BAC≥2+||•||＝||•||＝4．当且仅当||＝||时，即当||＝||时，等号成立．∴||的最小值为2．故选：A．二.填空题10．【解答】解：∵，，∴，∴．故答案为：．11．【解答】解：由题意可知，长方体的体对角线为其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R＝BD1＝＝8，∴R＝4，因此，该长方体的外接球的表面积为4πR2＝4π×42＝64π．故答案为：64π．12．【解答】解：可以设该侧面的正方形边长为A，则S侧面积＝A2全面积S＝A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比＝＝故答案为：13．【解答】解：直线a∥平面α，直线b∥平面β，且a∈β，b⊂α，则a，b的位置关系是平行或异面，若α与β相交，则a，b的位置关系是相交、平行或异面．故答案为：平行或异面；相交、平行或异面．14．【解答】解：∵VG﹣AQPR＝2VG﹣RQP＝2VR﹣PQG＝＝＝＝，∴四棱锥G﹣AQPR的体积为 ．故答案为：．15．【解答】解：因为＝2，所以点D为线段BC上靠近点C的三等分点，由三点共线定理可知＝+，上式左右同时平方得＝++，已知∠BAC＝60°，||＝2，||＝，所以＝++××2×cos60°，解得＝3；因为＝+，，所以＝（）•（）＝4，化简得﹣++（）＝4，因为||＝3，||＝2，∠BAC＝60°，所以﹣×32+×22+（﹣）×3×2×cos60°＝4，解得λ＝，故答案为：第一空：3；第二空：．三、解答题16．【解答】解：（1）若z是纯虚数，则，解得m＝3．（2）若z＞0，则，解得m＝﹣1．17．【解答】证明：（1）连结BD，AC，设AC∩BD＝O，连结NO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，在△PBD中，N是PB的中点，∴PD∥NO，又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，∴PD∥平面ANC．（2）∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，∴BC∥平面ADMN．∵平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴BC∥MN，又N是PB的中点，∴M是PC的中点．18．【解答】证明：（1）取AB1的中点Q，连结NQ，MQ，∵N，Q分别是AB，AB1的中点，∴NQ，又M是CC1的中点，∴MCBB1，∴NQMC，∴四边形NQMC是平行四边形，∴NC∥MQ，∵CN⊄平面AB1M，MQ⊂平面AB1M，∴CN∥平面AB1M．解：（2）取BB1中点R，连结CR，NR，∵M，R分别是CC1，BB1的中点，∴CMB1R，∴四边形CMBR是平行四边形，∴CR∥B1M，∴∠RCM为异面直线CN与B1M所成角，∵△ABC是边长为2正三角形，∴CN＝，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，∴CR＝＝，NR＝＝，∴CN2+NR2＝CR2，∴∠RNC＝90°，∴cos＝，∴异面直线CN与B1M所成角的余弦值为．19．【解答】解：（1）向量＝（a，b）与＝（cosA，sinB）平行，∴asinB＝bcosA，∴sinAsinB＝sinBcosA，∵sinB≠0，∴sinA＝cosA，∴tanA＝，∵0＜A＜π，∴A＝；（2）由正弦定理可得＝，∴sinB＝＝＝，∵a＞b，∴A＞B，∴cosB＝＝，∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝×+×＝．20．【解答】解：（1）△ABC中，sinA+cosA＝0，所以sinA+cosA＝0，即sin（A+）＝0，因为A∈（0，π），所以A+∈（，），所以A+＝π，解得A＝，又因为a＝2，c＝4，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即28＝b2+16﹣8b×（﹣），即b2+4c﹣12＝0，解得b＝﹣6（舍去）或b＝2，所以b＝2；（2）因为c2＝b2+a2﹣2abcosC，所以16＝28+4﹣2×2×2×cosC，所以cosC＝，解得CD＝＝，所以CD＝BC，因为S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝×4×2×＝2，所以△ABD的面积的面积为S△ABD＝S△ABC＝．