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    2022-2023学年天津市第一中学高一下学期期中数学试题含解析

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    这是一份2022-2023学年天津市第一中学高一下学期期中数学试题含解析,共13页。试卷主要包含了单选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年天津市第一中学高一下学期期中数学试题

     

    一、单选题

    1.若复数z满足其中i为虚数单位,则z=

    A1+2i B12i C D

    【答案】B

    【详解】试题分析:设,则,故,则,选B.

    【解析】注意共轭复数的概念

    【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念,是一道基础题目.从历年高考题目看,复数题目往往不难,有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查,也是考生必定得分的题目之一.

    2.在平行四边形中,    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】由平行四边形的性质可得,从而可求得答案

    【详解】解:因为四边形为平行四边形,

    所以,

    所以

    故选:D

    3.下列说法中,正确的是(    ).

    A.三点确定一个平面 B.过一条直线的平面有无数多个

    C.两条直线确定一个平面 D.三条两两相交的直线确定三个平面

    【答案】B

    【分析】A选项,若三点共线,则此三点不能确定一个平面;B选项,过一条直线的平面有无数多个;C选项,两条直线若异面,则两条直线无法确定一个平面;D选项,三条两两相交的直线若过同一个点,则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面.

    【详解】若三点共线,则此三点不能确定一个平面,A错误;

    过一条直线的平面有无数多个,B正确;

    两条直线若异面,则两条直线无法确定一个平面,C错误;

    三条两两相交的直线若过同一个点,则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面,D错误.

    故选:B

    4.已知点,则与同方向的单位向量为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】列方程即可求得与同方向的单位向量.

    【详解】,设与同方向的单位向量为

    ,解之得

    时,所求向量为,向量,符合题意;

    时,所求向量为,向量,不符合题意,舍去.

    故选:A

    5.在中,已知,则    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】直接利用正弦定理求解即可.

    【详解】中,由正弦定理,得

    所以,又,所以.

    故选:D

    6.已知中,角所对的边分别是,若,且,那么是(    

    A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

    【答案】B

    【分析】化简并结合余弦定理可得的值,再对结合正、余弦定理化简可得边长关系,进行判定三角形形状.

    【详解】,得

    整理得,则

    因为,所以

    又由及正弦定理,得,化简得

    所以为等边三角形,

    故选:B

    7.设向量,且,则    

    A0 B1 C2 D3

    【答案】A

    【分析】根据的垂直关系,可求出 ;根据的平行关系,可求出 ,进而求出的值.

    【详解】因为,所以

    因为,所以

    所以 ,所以

    故选:A

    8.若一个圆锥的高和底面直径相等,且它的体积为,则此圆锥的侧面积为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】由已知求得圆锥的高和底面直径,再求得母线长可得侧面积.

    【详解】设底面半径为,由高为,所以

    所以母线长为

    所以侧面积为

    故选:A

    9.已知mn表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是

    A.若 B.若,则

    C.若,则 D.若,则

    【答案】B

    【详解】试题分析:线面垂直,则有该直线和平面内所有的直线都垂直,故B正确.

    【解析】空间点线面位置关系.

     

    10.如图,正方体的棱长为2E是棱的中点,则点到平面EBD的距离为(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】注意到,利用等体积法可得答案.

    【详解】

    ,则.

    中,由题意及图形结合勾股定理可得

    则由余弦定理可得

    ..

    到平面EBD的距离为,则.

    ,则.

    故选:D

     

    二、填空题

    11是虚数单位,则___________.

    【答案】

    【分析】直接对复数化简即可

    【详解】解:

    故答案为:

    12.已知向量的夹角为,则_______.

    【答案】

    【分析】根据计算可得结果.

    【详解】

    .

    故答案为:

    13.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 .

    【答案】

    【分析】根据正方体的性质,结合球的体积公式进行求解即可.

    【详解】因为正方体体的对角线就是正方体的外接球的直径,所以由外接球的体积公式得:,即,则

    故答案为:

    【点睛】本题考查了正方体外接球的性质,考查了球的体积公式的应用,考查了空间想象能力和数学运算能力.

    14.已知平面上不共线的四点OABC,若,则_____

    【答案】/

    【分析】可得,即可得答案.

    【详解】.

    三点共线,且BA的反向延长线上,如下图所示,则.

    故答案为:

    15.已知在ABC中,内角ABC的对边分别为abc,若,则的周长的最大值为_________.

    【答案】

    【分析】根据,利用余弦定理求得角A,进而得到外接圆半径,再由的周长为求解.

    【详解】解:因为

    所以

    因为

    所以,则

    所以的周长为

    ,即时, 的周长取得最大值为6

    故答案为:

     

    三、双空题

    16.在梯形中,,且分别为线段的中点,若,用表示__________.若,则余弦值的最小值为__________

    【答案】         

    【分析】空(1)使用向量线性运算求解即可;

    空(2)以为基底,用数量积的形式表示出,再由基本不等式求解即可.

    【详解】

    如图,由已知,

    .

    .

    ,即的夹角为

    ,则

    由基本不等式,

    .

    当且仅当,即时,等号成立.

    故答案为:.

    【点睛】关键点睛:解决本题第2空的关键,是用以为夹角的两个向量作为基底,将垂直关系转化为数量积的形式,再借助基本不等式求解.

     

    四、解答题

    17.已知的内角的对边分别为,且.

    (1)求角的大小;

    (2),且,求的周长.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)利用正弦定理结合余弦定理可求得的值,结合角的取值范围可求得角的值;

    2)利用三角形的面积公式可求得的值,利用余弦定理可求得的值,进而可求得的周长.

    【详解】1)解:由

    利用正弦定理可得,化为

    所以,.

    2)解:,且,所以,

    由余弦定理可得

    所以,,解得

    因此,周长为.

    18.如图,在正方体中,点为棱的中点.

    1)求证:平面

    2)求异面直线所成角的余弦值.

    【答案】1)证明见解析;(2.

    【分析】1)连接BDAC交于点O,根据OE为为中点,易得,再利用线面平行的判定定理证明;

    2)根据(1),由得到异面直线所成的角,然后证得 ,得到是直角三角形求解.

    【详解】1)如图所示:

    连接BDAC交于点O

    因为OE为为中点,

    所以,平面平面

    所以平面

    2)由(1)知,则异面直线所成的角,

    在正方体中,

    因为,且

    所以平面,又因为平面

    所以

    所以是直角三角形,

    设正方体的棱长为a,

    所以

    所以

    故答案为:

    【点睛】方法点睛:求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.

    19.如图,已知平面ABC,点分别为的中点.

    (1)求证:平面

    (2)求直线与平面所成角的大小.

    【答案】(1)证明见解析

    (2)

     

    【分析】1)根据平面,得到平面,即可得到平面平面,根据等腰三角形三线合一的性质得到,然后利用面面垂直的性质定理即可得到平面

    2)根据,点中点得到,即可将直线与平面所成角转化为直线与平面所成角,由(1)的结论可得为直线与平面所成角,然后利用勾股定理得到的长度,即可求直线与平面所成角.

    【详解】1平面

    平面

    平面

    平面平面

    ,点中点,

    平面平面平面

    平面.

    2

    中点,连接

    ,点中点,

    四边为平行四边形,

    直线与平面所成角和直线与平面所成角相等,

    平面

    为直线与平面所成角,

    中点,

    ,又,所以

    所以直线与平面所成角为.

    20.如图,已知正方形的边长为2,点为正方形内一点.

    1)如图1

    i)求的值;

    ii)求的值;

    2)如图2,若点满足.是线段的中点,点是平面上动点,且满足,其中,求的最小值.

    【答案】(1) i4    ii8    2  

    【分析】(1) i)由向量的数量积的运算性质和向量的加法法则可得,结合数量积的定义可得答案.

    ii)利用向量数量积的运算性质结合图形将原式化为,利用向量的加法法则即化为,结合数量积的定义可得答案.

    2)以 为原点,轴,轴,建立平面直角坐标系,得出相应点的坐标,根据条件得出点的坐标,再由向量数量积的坐标公式可得答案.

    【详解】1)(i)正方形的边长为2,则,.

    ii

    2)以 为原点,轴,轴,建立平面直角坐标系.

    ,则

    所以,

    是线段的中点,则

    ,即

    所以 ,解得,即

    ,

    时,的最小值为

    【点睛】关键点睛:本题考查向量的加法法则和数量积的运算,建立坐标系利用坐标法求解向量的数量积的最值,解答本题的关键是建立坐标系,根据条件得出点坐标,从而得出,属于中档题.

     

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