2022-2023学年云南省玉溪第一中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年云南省玉溪第一中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则等于（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据补集的运算，求得，结合交集的运算，即可求解.

【详解】解：由集合，可得，

又由合， 可得.

故选：A.

2．已知平面向量，，且，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量垂直得数量积为0，求出m，由向量线性运算的坐标表示求解.

【详解】由可得，

解得，

所以，

故选：C

3．若，则“”是“”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式，可得，可得，即充分性成立；

反之：由，可得，又因为，所以，所以必要性不成立，

所以是的充分不必要条件.

故选：A.

4．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据分段函数的表达式，代入求解即可.

【详解】解：由函数表达式可得，

故选：D.

【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数表达式中自变量的范围进行代入是关键，比较基础.

5．已知 ，且，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】运用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•（）﹣1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．

【详解】由x+y＝（x+1）+y﹣1

＝[（x+1）+y]•1﹣1

＝[（x+1）+y]•2（）﹣1

＝2（21

≥3+47．

当且仅当x，y＝4取得最小值7．

故选C．

【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．

6．在中，内角所对边分别为，已知，则下列选项中正确的是（     ）

A．

B．外接圆的半径为

C．的面积为

D．内切圆的半径为

【答案】B

【分析】根据正弦定理求出外接圆半径判断B，再求角由正弦定理得判断A，根据三角形面积公式求面积判断C，再由面积等积法求内切圆的半径判断D.

【详解】，

，即，

又，

，故B正确；

，由可得，故A错误；

所以，故C错误；

设内切圆的半径为，则由面积等积法可知，

解得，故D错误.

故选：B

7．一个表面积为的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为的扇形，设该扇形面积为，则为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由弧长公式可求出圆锥母线与底面圆半径的关系，再由圆锥表面积公式可解.

【详解】设圆锥母线长，底面圆半径，

，所以，

圆锥表面积，扇形面积，

所以.

故选：D

8．已知球的半径为，平面截球所得的截面的半径均为4，若，则平面与平面的夹角的余弦值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据截面的夹角与互补，再根据余弦定理求解即可

【详解】由题意，，故，又平面与的夹角与互补，故平面与的夹角的余弦值为

故选：C

二、多选题

9．下列命题中正确的是（     ）

A．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合

B．过直线外一点可以作无数个平面与该直线平行

C．分别在两个平面内的两条直线叫做异面直线

D．若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行

【答案】AB

【分析】利用线面之间的关系一一进行判断即可.

【详解】对于A，根据不共线三点确定一个平面，则两平面相交于一个平面，则这两个平面必重合，故A正确；

对于B，只需将满足题意的一个平面绕该直线进行一定旋转，同时保证过直线外的定点，所得的平面均与该直线平行，故B正确；

对于C，分别在两个平面内的两条直线可能异面，也可能相交或平行，故C错误；

对于D，两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线相交、平行或异面,例如圆锥的两条母线.与底面所成角相等，但是母线是相交直线.

故选：AB.

10．记函数的最小正周期为T，若，且在上单调递增，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】ABC

【分析】由已知可知，利用正弦型函数的单调性可知，求解即可.

【详解】由已知，，

又，，

，，

因为在上单调递增，，解得

所以的取值范围是

故选：ABC

11．在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，点是侧面内一点（包含边界），若，则下面哪些值可能是线段的长度（     ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段长度取最小值、最大值即可得解．

【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，0，，，2，，，2，，，0，，

，2，，，2，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

设，2，，，，则，2，，

平行于平面，

，整理得，

线段长度，

当且仅当时，线段长度取最小值，当时，线段长度取最大值3．

故选：CD．

12．已知向量满足，则以下结论正确的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据所给向量的模平方后做差可求，判断A，再由向量模的三角绝对值不等式求出的范围判断BC，根据模的关系利用的模的范围求出模的范围判断D.

【详解】，

，

，故A错误；

，

，

即，

，故C错误；

又，

，故B正确；

，

，

，

，故D正确.

故选：BD

三、填空题

13．计算：________.

【答案】/

【分析】结合诱导公式、两角差的正弦公式求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

14．已知，则________．

【答案】1

【分析】本题先求出、，再化简代入求值即可.

【详解】解：∵ ，，，

∴  或

①当且时，

；

②当且时，

.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题.

15．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据零点定义，转化为与在上有交点，求出值域即可得解.

【详解】因为函数在区间上存在零点，

即与在上有交点，

又， 在上单调递增，

故时，则，

设，则，

由可得，

即与在上有交点，则.

故答案为：

16．在中，，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的表面积为___________.

【答案】

【分析】作出几何体的直观图，可知该几何体是以为底面圆半径，、为母线的两个圆锥拼接而成的组合体，利用等面积法计算出该几何体内切球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果.

【详解】过点作，垂足为点，

将以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，

则该几何体是以为底面圆半径，、为母线的两个圆锥拼接而成的组合体，

设该组合体的内切球球心为点，则点在线段上，点到、的距离相等，

设内切球的半径为，则，即，

所以，，

因此，该几何体的内切球的表面积为.

故答案为：.

四、解答题

17．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1平面BCHG.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得，由此得证；

（2）利用线面平行的判定定理证得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，从而利用面面平行的判定定理即可得证.

【详解】（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点

∴GH是的中位线，∴GHB1C1，

又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，

∴B，C，H，G四点共面．

（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，

∴EFBC，

∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF平面BCHG，

∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，

∴A1GEB，，

∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB，

∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E平面BCHG，

∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，

∴平面EFA1平面BCHG.

18．在中，角所对的边分别为，且.

(1)求证：；

(2)求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)最小值为

【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.

（2）将问题转化 ，根据第一问解得，然后结合不等式求解.

【详解】（1）在中，，

由正弦定理得，

又，

因为,

所以,

所以,又,

所以，且,

所以，

故.

（2）由（1）得，

所以，

因为，

所以

，

当且仅当即，且，即当且仅当时等号成立，

所以当时，的最小值为.

19．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，8，.

(1)求证：；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取CD中点O，连接PO，AO，BO，证明平面POA即可得证；

（2）证明是二面角的平面角，利用余弦定理求解.

【详解】（1）取CD中点O，连接PO，AO，BO，证明

因为，所以，

又平面平面ABCD，平面PCD，平面平面，

所以平面ABCD，

而平面ABCD，所以；

因为4且，所以四边形ABOD为平行四边形，

又4，所以平行四边形ABOD为菱形，

因此，

因为，平面POA，平面POA，

所以平面POA，

因为平面POA，所以；

（2）设AO与BD交与M点，连接，

由（1）知平面POA，

而且平面POA，平面POA，

所以，

所以是二面角的平面角

又所以

所以

所以在P中，.

即二面角的余弦值为.

20．已知函数，，若，.

(1)求，的解析式；

(2)若，试比较的大小.

【答案】(1)，；

(2)答案见解析

【分析】（1）列方程组求出，由对数的运算即可求解；

（2）对分类讨论，由对数的运算及性质比较大小即可.

【详解】（1）由，解得：，

即

，；

（2）由，得；

当时，有，所以，此时；

当时，因为，

所以，所以，此时；

当时，因为，

所以，所以，此时.

21．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.

(1)求的解析式与单调递减区间；

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.

【答案】(1)，递减区间为，

(2)

【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；

（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.

【详解】（1）由题意，

图象的相邻两对称轴间的距离为，

的最小正周期为，即可得，

又为奇函数，则，，

又，，故，

令，得

函数的递减区间为，

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，

再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，

又，则或，

即或.

令，当时，，

画出的图象如图所示：

有两个根,关于对称，即,

有,

在上有两个不同的根，,；

又的根为，

所以方程在内所有根的和为.

22．向量是解决数学问题的有力工具，我们可以利用向量探究的面积问题：

(1)已知，，，求的面积；

(2)已知不共线的两个向量，，探究的面积表达式；

(3)已知，若抛物线上两点、满足，求面积的最小值．

【答案】(1)3

(2)

(3)

【分析】（1）根据数量积夹角公式求，再求后，即可求三角形的面积；

（2）将三角形的面积公式转化为向量的坐标表示，即可求解；

（3）根据（2）的结果，表示的面积，再结合二次函数求最值.

【详解】（1）由平面向量的数量积可得，则为锐角，

故，

因此，;

（2）

（3）由已知可得，，

，

故当时，的面积取到最小值.