福建省宁德市古田县校际联考2022届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份福建省宁德市古田县校际联考2022届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

古田县2021－2022学年第二学期期中考试
九年级数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
2. 北京时间2021年10月16日9时58分，航天员翟志刚、王亚平、叶光富先后进入天和核心舱．后续，航天员乘组将按计划距离地球36000公里的空间站驻留工作6个月，将36000用科学记数法表示应为（ ）
A. 0.36×105 B. 3.6×105 C. 3.6×104 D. 36×104
3. 最近北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”成为了互联网的“顶流”，他呆萌的形象受到了人们的青睐，结合你所学知识，能够通过如图平移得到的选项是（　　）

A B.
C. D.
4. 有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( )

A. B.
C. D.
5. 某班级男生在体育课上进行投篮测试，每人投10次．他们投中的次数统计如下表：
投中次数
5
6
7
8
9
10
人数
2
4
5
10
3
1
则该班级男生在此次测试中投中次数的中位数、众数分别是（ ）
A. 8，8 B. 7.5，7 C. 8，7 D. 7，8
6. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，若AD＝6，BD＝3，AE＝8，则EC的长是（ ）

A. 4 B. 2 C. 5 D.
7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”意思是：一起去买琎（一种像玉的石头），每个人出两，则多4两；每个人出两，则不足3两．问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数x人，琎的价格为y两，那么可列成的方程组为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（　　）

A. 75° B. 70° C. 65° D. 60°
9. 已知一次函数y＝kx＋2的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ）．
A. （﹣1，2） B. （2，﹣1） C. （2，3） D. （3，4）
10. 已知二次函数y＝ax2－2ax＋a＋5（其中x是自变量）的图像上有两点（－2，y1），（3，y2），满足y1＜y2，当－2≦x＜3时，y的最小值为－4，则a的值为（ ）
A. －5 B. －1 C. 1 D. －2
第II卷（非选择题）
二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：__．
12. 分解因式：_____．
13. 已知：如图，中，，为边上一点，且，则______．

14. 若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a=
15. 如图，在四边形纸片ABCD中，ADBC，AB＝10，∠B＝60°，将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF，若∠BFE＝45°，则BF的长为______．

16. 如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点（E不与重合），连接，过点E作，交边于点F，给出以下结论：
①若，则平分；
②若，则；
③在点E运动的过程中，动点F可能与点A重合；
④在点E从C运动到D过程中，逐渐增大；其中正确的是________．（写出正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 解不等式组
18. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，AE＝CF．求证：DE＝BF．

19. 先化简，再求值：，其中．
20. 已知：．

（1）求作：菱形，使菱形的顶点落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的前提下，若，，，求菱形的周长．
21. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且．

（1）求证：是的切线：
（2）若，求的长．
22. 某超市销售A，B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买 A款保温杯的数量相同．
（1）A，B两款保温杯销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯数量不少于B款保温杯数量的一半，若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为30元，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
23. 在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的6000名用户(男性4000人，女性2000人)，从中随机抽取了60名(女性20人），统计他们出门随身携带现金(单位：元)，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”
（1）①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中b=30，c=8）


手机支付
非手机支付
合计
男
a
b

女
c
d

合计


60
②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是多少？
（2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、
方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元：
方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同)的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取)，若摸到1个红球则打9折，若摸到2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算.
24. 如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边CD上的动点P重合（点P不与C、D重合），MN为折痕，点M、N分别在边BC、AD上．连接AM、MP、AP，其中，AP与MN相交于点F，⊙O过点M、C、P．

（1）求证：△AFN≌△ADP；
（2）若AB＝CM，求证：△AMP为等腰直角三角形；
（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M，又与AD相切于点H，且AB＝4，求⊙O的直径．
25. 已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C．顶点为D（-1，4），且OC=3，P为第一象限抛物线上的一点.

（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，抛物线的对称轴交x轴于点N，过点P的直线交对称轴于点Q，若PQ=QN，求t的值；
（3）如图2，连接AC，点E在第二象限的抛物线上，且∠EAC= ∠PAC，设点P、E的横坐标分别为m，n，求证：(m-1)(n-1)为定值．
答案

1. D
解：A. ，不是同类项，不能合并，故该选选错误，
B. ，故该选项错误，
C. ，故该选项错误，
D. ，故该选项正确，
故选D．
2. C
解：将36000用科学记数法表示应为3.6×104．
故选：C．
3. C
解：根据平移的定义，将所给图形沿一个方向移动，只可以得到C选项的图形，A，B，D选项通过旋转可以得到．
故选C．
4. D
解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选D．
5. A
解：根据题意得：一共有人，
则位于第13位的是8，
所以该班级男生在此次测试中投中次数的中位数为8，
∵8出现的次数最多，
∴该班级男生在此次测试中投中次数的众数是8．
故选：A
6. A
解：，

，
解得，
故选：A
7. B
解：由题意知，可列方程为：
故选B．
8. B
解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．
故选：B．
9. B
∵y随x的增大而减小，
∴k＜0
A、当点（﹣1，2）在一次函数y＝kx＋2的图象上时，﹣k＋2＝2
解得：k＝0，选项A不符合题意；
B、当点（2，-1）在一次函数y＝kx＋2的图象上时，2k＋2＝-1
解得：k＝，选项B符合题意；
C、当点（2，3）在一次函数y＝kx＋2的图象上时，2k＋2＝3
解得：k＝，选项C不符合题意；
D、当点（3，4）在一次函数y＝kx＋2的图象上时，3k＋2＝4
解得：k＝，选项D不符合题意
故选：B．
10. B
解：将（－2，y1），（3，y2）代入y＝ax2－2ax＋a＋5得，
y1＝9a＋5，y2＝4a＋5，
∵y1＜y2，
∴9a＋5＜4a＋5，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x=,
∴当－2≦x＜3时，x=-2时，y有最小值，
∴9a＋5＝－4，
∴a＝－1，
故选择B．
11. 3
解：


故答案为：3
12.
解：原式，
故答案：．
13.
解：设，
由得，
∵AB＝AC
∴AB＝AC＝AD+DC＝
∵
∴△ABD是直角三角形
∴tan∠DBA＝＝＝
故答案为：
14. -1
解：∵关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，
∴9+3a-6=0，
解得a=-1．
故答案为：-1
15.
解：如图，过点A作于点H，

由折叠的性质知，，
，
，
在中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：．
16. ①②
解：①如图，延长、交于，

四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
垂直平分，
，
∵EF=EG，
平分，故①正确；
②，
，
，
，
，
，，
，
，，
，故②正确；
③当点与重合时，设，，，则，
由勾股定理得，，
整理得，，
△，
，
△，
方程无解，
说明不存在，即点与不重合，故③错误；
④由②知，，
，
，
不变，
点从运动到的过程中，逐渐减小，故④错误，
综上：正确的有①②，
故答案为：①②．
17. 解：
∵解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集是x＜1．
18. 证明：连接BF，DE，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣FO，
∴EO＝FO，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE＝DF，∠BEO＝∠DFO，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF＝DE．
19. 解：原式



代入 原式

20. （1）
解：如图，菱形即为所求作；

（2）
解：由（1）得四边形是菱形，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
，
解得，
，
菱形的周长是20．
21. 解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，

∴∠ACB=90°，
∵OC，OB是圆O的半径，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
又∵∠DCA=∠ABC，
∴∠DCA=∠OCB，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，
∴OC⊥DC，
又∵OC是圆O的半径，
∴DC是圆O的切线；
（2）∵，
∴，化简得OA=2DA，
由（1）知，∠DCO=90°，
∵BE⊥DC，即∠DEB=90°，
∴∠DCO=∠DEB，
∴OC∥BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴，即，
∴DA=EB，
∵BE=3，
∴DA=EB=，
经检验：DA=是分式方程的解，
∴DA=．
22. （1）
解：设A款保温杯销售单价为x元，则B款保温杯销售单价为（x+10）元，
根据题意得：，
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的解且符合题意，
∴x+10=40+10=50，
答：A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元；
（2）
解：由已知B款保温杯销售价为50×（1-10%）=45（元），
设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯（120-m）个，总利润为W元，
∵0≤m≤120，且，
∴40≤m≤120，
根据题意得：W=（40-30）m+（45-30）（120-m）=-5m+1800，
∵-5＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴m=40时，W最大，最大值为-5×40+1800=1600，
此时120-m=120-40=80，
答：购进A款保温杯40个，购进B款保温杯80个，才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1600元．
23. 解：（1）①因为随机抽取了60名（女性20人），所以男性40人，
∵b=30，c=8，
∴a=10，d=12，
补充表格如下：

手机支付
非手机支付
合计
男
a
b
40
女
c
d
20
合计
18
42
60
故答案为：18，42，40，20；
②由①可得，女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是；
（2）若选方案一：则需付款：1200-100=1100元；
若选方案二：设实际付款x元，则x取值为：1200元，1080元，1020元，
∵从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），
设两个红球为A、B，白球为C、D，
画出树状图为：

根据树状图可知：
所有可能的结果共16种，摸到1个红球的有8种，摸到2个红球的有4种，未摸到红球的有4种，
所以摸到1个红球的概率为：，则打9折，
摸到2个红球的概率为：，则打8.5折，
未摸到红球的概率为：，按原价付款．
所以实际付款的平均金额为：1080×+1020×+1200×=1095（元）．
因为1100元＞1095元，
所以选择方案二更划算．
24. （1）
证明：由折叠的性质可得：∠AFN=∠PFN=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°=∠AFN，
∵∠DAP=∠DAP，
∴△AFN∽△ADP；
（2）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
由折叠的性质可得：AM=MP，
∵AB=CM，
∴Rt△ABM≌Rt△MCP（HL），
∴∠MAB=∠PMC，
∵∠BAM+∠BMA=90°，
∴∠PMC+∠BMA=90°，
∴∠AMP=90°，
∴△AMP是等腰直角三角形；
（3）
解：∵AM是⊙O的切线，
∴∠AMP=90°，
∴∠CMP+∠AMB=90°，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CMP=∠BAM，
由折叠的性质得：MN垂直平分AP，
∴MA=MP，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABM≌△MCP（AAS），
∴MC=AB=4，
设PD=x，则CP=4-x，
∴BM=PC=4-x，
连接HO并延长交BC于J，如图2所示：

∵AD是⊙O的切线，
∴∠JHD=90°，
∴HDCJ为矩形，
∴OJ∥CP，
∴△MOJ∽△MPC，
∴OJ：CP=MO：MP=1：2，
∴OJ=（4-x），
OH=MP=4-OJ=（4+x），
∵MC2=MP2-CP2，
∴（4+x）2-（4-x）2=16，
解得：x=1，即PD=1，
∴PC=3，
∴MP==5，即⊙O的直径为5．
25. （1）
解：

顶点为D（-1，4），
设抛物线解析式为，
将D（-1，4）代入解析式的，
抛物线解析式为，
即；
（2）
如图，设直线交轴于点，交轴于点，分别过点作轴的平行线交于点，
，
由，令，则，
令，则
，


设，则，
在对称轴上，则
，



即①，
又在直线上，
②
联立①②得
解得（舍去）
当时，，
综上：；

（3）
证明：如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，则，
，令，即
解得




，
设，，则




又


点P、E的横坐标分别为m，n，
的纵坐标分别为
又


即
为定值．