2022延安一中高二下学期期末考试理科数学试题含解析

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2021—2022学年度第二学期期末高二年级（理科）数学试题（全卷150分；时间120分钟）本试卷分为第一卷和第二卷两部分第I卷（选择题  共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 车上有6名乘客，沿途有3个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用每名乘客都有3种下车方式，总共有6名乘客，相乘直接计算得到答案【详解】根据题意，汽车上有6名乘客，沿途有3个车站，每名乘客可以在任意一个车站下车，即每名乘客都有3种下车方式，则6名乘客有种可能的下车方式．故选：B2. 某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（    ）A. 6种 B. 8种C. 9种 D. 10种【答案】C【解析】【分析】由题意，从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有种走法；从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有种走法，由分步计数原理，可得共有种不同的走法.故选：C.3. 甲、乙同时抛掷两枚骰子，正面向上的数字分别记作a、b，则下列说法错误的是（    ）A. “a是奇数”是随机事件 B. “”与“”是互斥事件C. ”与“”是对立事件 D. “”与“”是相互独立事件【答案】C【解析】【分析】利用随机事件，互斥事件，对立事件，相互独立事件的概念逐个判断即可【详解】对于A：“a是奇数”是随机事件，故A正确；对于B：“”与“”是互斥事件，因为“”发生则“”一定不发生，但“”不发生，“”也不一定发生，可能是比如发生，故B正确；对于C：由B可知”与“”是互斥但不对立事件，故C错误；对于D：“”与“”发生与否不受影响，是相互独立事件，故D正确；故选：C4. 2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规则决出前名进行半决赛，胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由已知可得循环赛的比赛场数，再根据半决赛场数及决赛场数计算总场数【详解】由已知可得循环赛的比赛场数为场，故总场数为场，故选：B.5. 的展开式中含项的系数为（    ）A.  B. 24 C.  D. 16【答案】B【解析】【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式中含的项为，系数为.故选：B6. 为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（    ）附表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.026.6357.87910.828 A. 在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物有效”B. 在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物无效”C. 有99％以上的把握认为“药物有效”D. 有99％以上的把握认为“药物无效”【答案】C【解析】【分析】根据与参考值比较，结合独立性检验的定义，即可判断；【详解】解：因为，即，所以有以上的把握认为“药物有效”．故选：C．7. 已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为，回归直线方程为，若，，则（    ）A. 9 B. 4 C. -3 D. -6【答案】A【解析】【分析】求得样本中心，根据回归直线经过样本中心点，列出方程，即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以．因为回归直线经过样本中心点，所以，解得．故选：A.8. 某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（    ）A. 350 B. 500 C. 550 D. 700【答案】C【解析】【分析】根据分类和分步计数原理即可求得.【详解】所选医生中只有一名男主任医师的选法有，所选医生中只有一名女主任医师的选法有，所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有，故所选医师中有主任医师的选派方法共有种，故选：C9. 举世瞩目的第届冬奥会于年月日至月日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊位大学生志愿者前往、、、四个场馆服务，每个场馆至少分配一位志愿者.由于工作需要甲同学不能去场馆，则所有不同的安排方法种数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分两种情况讨论：①场馆安排人；②场馆安排人.再安排其余三个场馆的志愿者，结合分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：①若场馆安排人，则其余人分为三组，每组人数分别为、、，分为三组后再分配给、、三个场馆，此时，安排方法种数为；②若场馆安排人，则其余三个场馆各安排人，此时，安排方法种数为.综上所述，不同的安排方法种数为种.故选：C.10. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（    ）（附：，则，，）A. 2718 B. 3413 C. 4773 D. 4987【答案】D【解析】【分析】结合原则以及正态分布的对称性求得正确答案.【详解】依题意，，所以，，，由于，所以落入阴影部分的点的个数的估计值为：.故选：D11. 展开式中常数项为（    ）.A 11 B.  C. 8 D. 【答案】B【解析】【分析】将看成一个整体，得到，再展开得到，分别取值得到答案.【详解】将看成一个整体，展开得到： 的展开式为：取 当时， 系数为： 当时， 系数为： 常数项为 故答案选B【点睛】本题考查了二项式定理，将看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计算较为复杂.12. 已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（    ）A.  B.  C. 2021 D. 【答案】A【解析】【分析】通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，即可求解出的值.【详解】令，得.又因为，所以.由，得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意的运用.第Ⅱ卷  （非选择题  共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13. 已知随机变量，则___________.【答案】【解析】【分析】由二项分布的概率公式即可求出.【详解】因为，所以.故答案为：.14. 甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是____________．【答案】0.92##【解析】【分析】先求两个都没有解决的概率，然后由对立事件的概率可得.【详解】解：由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是．那么其中至少有1人解决这个问题的概率是1-0.08=0.92.故答案为：0.9215. 2021年6月14日是中国的传统节日“端午节”，这天人们会吃粽子、赛龙舟．现有七个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，记事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个都是豆沙馅”，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，可知．故答案为：.16. 已知，则__________．【答案】120【解析】【分析】首先求出的值，再根据计算可得；【详解】解：因为，所以所以故答案为：三、解答题（共70分，第17题10分，第18-22题各12分.解答应写出文字说明、推理过程或演算过程.）17. 在某次1500米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为，，，求：（1）3人都通过体能测试的概率；（2）只有2人通过体能测试的概率；（3）至少有1人通过体能测试的概率.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）设事件表示“甲通过体能测试”，事件表示“乙通过体能测试”，事件表示“丙通过体能测试”，利用相互独立事件的概率公式即可求得；（2）事件“甲，乙，丙3人中只有2人通过体能测试”可表示为，然后利用相互独立事件的概率公式即可求得；（3）根据对立事件的概率公式即可求得.【小问1详解】设事件表示“甲通过体能测试”，事件表示“乙通过体能测试”，事件表示“丙通过体能测试”，则由题意知：，，.设表示事件“甲，乙，丙3人都通过体能测试”，即，由事件，，相互独立，可得.所以3人都通过体能测试的概率为.【小问2详解】设表示事件“甲，乙，丙3人中只有2人通过体能测试”，则，由于事件，，，，，均相互独立，并且事件，，两两互斥，因此所求概率为.所以只有2人通过体能测试概率为.【小问3详解】设表示事件“甲，乙，丙3人中至少1人通过体能测试”，.18. 请从下列三个条件中任选一个，补充在下面已知条件中的横线上，并解答问题.①第2项与第3项的二项式系数之比是；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为；③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大.已知在的展开式中，___________.（1）求展开式中的常数项，并指出是第几项；（2）求展开式中的所有有理项.（注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.）【答案】（1），第五项    （2）【解析】【分析】根据所选的项，结合所给条件分别有①，②，③根据有且只有第四项的二项式系数最大，求n值，均为.（1）将代入二项式确定展开式通项，令的指数为0时求，进而求出常数项；（2）将代入并写出展开式通项，再根据有偶数，从而可确定有理项．【小问1详解】由二项式知：展开式通项为，①第2项与第3项的二项式系数分别为、，故，∴，整理得，又，解得.②第2项与第3项的系数分别为，，则有，解得.③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大，可知.展开式共有7项，从而可知.由上知：展开式通项为，当，有时，常数项为.【小问2详解】由上知：的展开项通项为，要求有理项，可知，∴有理项分别为，，，，即为19. 一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球（假设取到任何—个小球的可能性相同）.（1）求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；（2）在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）计算取出的3个小球所有的结果数，然后计算含有编号为4的结果数，最后利用古典概型进行计算，可得结果.（2）列出的所有可能取值，并计算相对应的概率，然后画出分布列，根据期望公式，可得结果.【详解】（1）由题可知：取出的3个小球所有的结果数含有编号为4的结果数所以所求得概率为（2）所有得可能取值为：3，4，5所以的分布列为所以【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，掌握离散型随机变量的数学期望以及方差的公式计算，审清题意，使用排列组合细心计算，属基础题.20. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称礼让行人．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不礼让行人行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009580 （1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；（2）预测该路口9月份的不礼让行人违章驾驶员人数.参考公式：．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据公式计算，，，，从而可求得回归方程；（2）将代入（1）中求得的回归方程即可得出答案.【小问1详解】（1）由表中的数据可得：，，所以，所以，即所求的回归直线方程为.【小问2详解】（2）由（1）令，则，即该路口月份“不礼让行人”的违章驾驶人次预测为人次.21. 某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表： 女生男生合计环境保护8040120社会援助404080合计12080200 （1）能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？（2）以样本频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为，求的分布列和期望．附：，其中．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828 【答案】（1）没有    （2）分布列见解析，【解析】【详解】解：（1）因为，所以没有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关．（2）由统计表得，女生参加环境保护的频率为，故从女生中随机抽取1人，此人参加环境保护的概率为，由题意知，，则，．的分布列为01234故22. 某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，共1000名学生参加，答对题数（共60题）分布如下表所示：答对题数频数1018526540011525答对题数近似服从正态分布，为这1000人答对题数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．（1）估计答对题数在内的人数（精确到整数位）；（2）将频率视为概率，现从该中学随机抽取4名学生，记答对题数位于的人数为，求的分布列和数学期望．附：若，则，，．【答案】（1）954人    （2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）根据题意求出正态分布的均值，结合正态分布相关性质即可求解；（2）先求出从该中学随机抽取1名学生，答对题数位于的概率，再根据二项分布相关知识求解即可.小问1详解】根据题意，可得，所以．又因为，，所以，所以人．故答对题数在内的人数约为954人．【小问2详解】从该中学随机抽取1名学生，答对题数位于概率为.由条件可知，的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，．的分布列为01234则．